Primer ordinal incontable

En matemáticas , el primer ordinal incontable , tradicionalmente denotado por o a veces por , es el número ordinal más pequeño que, considerado como un conjunto , es incontable . Es el supremo (límite superior mínimo) de todos los ordinales contables. Cuando se considera como un conjunto, los elementos de son los ordinales contables (incluidos los ordinales finitos), ^[1] de los cuales hay un número incontable.${\displaystyle \omega _{1}}$${\estilo de visualización\Omega}$${\displaystyle \omega _{1}}$

Como cualquier número ordinal (en el enfoque de von Neumann ), es un conjunto bien ordenado , donde la pertenencia al conjunto sirve como relación de orden. es un ordinal límite , es decir, no hay ningún ordinal tal que .${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\estilo de visualización \alpha}$${\displaystyle \omega _ {1}=\alpha +1}$

La cardinalidad del conjunto es el primer número cardinal incontable , ( aleph-one ). El ordinal es, por tanto, el ordinal inicial de . Según la hipótesis del continuo , la cardinalidad de es , la misma que la del conjunto de números reales . ^[2]${\displaystyle \omega _{1}}$$estilo de visualización {\aleph _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}}$$estilo de visualización {\aleph _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \beth _{1}}$${\displaystyle \mathbb {R}}$

En la mayoría de las construcciones, y se consideran conjuntos iguales. Para generalizar: si es un ordinal arbitrario, lo definimos como el ordinal inicial del cardinal .${\displaystyle \omega _{1}}$$estilo de visualización {\aleph _{1}}$${\estilo de visualización \alpha}$${\displaystyle \omega _ {\alpha }}$${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$

La existencia de se puede demostrar sin el axioma de elección . Para más información, véase el número de Hartog .${\displaystyle \omega _{1}}$

Cualquier número ordinal se puede convertir en un espacio topológico mediante el uso de la topología de orden . Cuando se lo considera como un espacio topológico, a menudo se escribe como , para enfatizar que es el espacio que consta de todos los ordinales menores que .${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle [0,\omega _ {1})}$${\displaystyle \omega _{1}}$

Si se cumple el axioma de elección contable , cada ω-secuencia creciente de elementos de converge a un límite en . La razón es que la unión (es decir, el supremo) de cada conjunto contable de ordinales contables es otro ordinal contable.${\displaystyle [0,\omega _ {1})}$${\displaystyle [0,\omega _ {1})}$

El espacio topológico es secuencialmente compacto , pero no compacto . En consecuencia, no es metrizable . Sin embargo, es numerablemente compacto y, por lo tanto, no es Lindelöf (un espacio numerablemente compacto es compacto si y solo si es Lindelöf). En términos de axiomas de numerabilidad , es primero-contable , pero no separable ni segundo-contable . ${\displaystyle [0,\omega _ {1})}$${\displaystyle [0,\omega _ {1})}$

El espacio es compacto y no es numerable en primer lugar. se utiliza para definir la línea larga y la tabla de Tichonoff , dos contraejemplos importantes en topología .${\displaystyle [0,\omega _{1}]=\omega _{1}+1}$${\displaystyle \omega _{1}}$

• Números épsilon (matemáticas)
• Ordinal contable grande
• Aritmética ordinal