Fuerza ficticia

Parte de una serie sobre
Mecánica clásica
${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}$ Segunda ley del movimiento
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Fundamentos Aceleración Momento angular Pareja Principio de D'Alembert Energía cinético potencial Fuerza Marco de referencia Marco de referencia inercial Impulso Inercia  / Momento de inercia Masa Potencia mecánica Trabajo mecánico Momento Impulso Espacio Velocidad Tiempo Esfuerzo de torsión Velocidad Trabajo virtual
Formulaciones Leyes del movimiento de Newton Mecánica analítica Mecánica lagrangiana Mecánica hamiltoniana Mecánica de Routh Ecuación de Hamilton-Jacobi Ecuación de movimiento de Appell Mecánica de Koopman-von Neumann
Temas centrales Mojadura Desplazamiento Ecuaciones de movimiento Leyes del movimiento de Euler Fuerza ficticia Fricción Oscilador armónico Marco de referencia inercial  / no inercial Mecánica del movimiento de partículas planas Movimiento  ( lineal ) Ley de gravitación universal de Newton Leyes del movimiento de Newton Velocidad relativa Cuerpo rígido dinámica Ecuaciones de Euler Movimiento armónico simple Vibración
Rotación Movimiento circular Marco de referencia giratorio Fuerza centrípeta Fuerza centrífuga reactivo Fuerza de Coriolis Péndulo Velocidad tangencial Frecuencia rotacional Aceleración angular  / desplazamiento  / frecuencia  / velocidad
Científicos Kepler Galileo Huygens Newton Horrocas Halley Maupertuis Daniel Bernoulli Juan Bernoulli Euler de Alembert Claro Lagrange Laplace Pescado Hamilton Jacobi Cauchy Rutina Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
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v t e

Una fuerza ficticia es una fuerza que parece actuar sobre una masa cuyo movimiento se describe utilizando un marco de referencia no inercial , como un marco de referencia que gira o acelera linealmente . ^[1] Se invocan fuerzas ficticias para mantener la validez y, por lo tanto, el uso de la segunda ley del movimiento de Newton , en marcos de referencia que no son inerciales. ^[2]

Los pasajeros de un vehículo que acelera hacia delante pueden percibir que se ejerce sobre ellos una fuerza que los desplaza hacia el respaldo de sus asientos, por ejemplo. Un ejemplo en un sistema de referencia giratorio puede ser la impresión de que se trata de una fuerza que parece mover objetos hacia el borde de una centrífuga o un carrusel.

La fuerza ficticia llamada pseudofuerza también podría denominarse fuerza corporal . Se debe a la inercia de un objeto cuando el marco de referencia ya no se mueve inercialmente sino que comienza a acelerarse en relación con el objeto libre. En términos del ejemplo del vehículo de pasajeros, una pseudofuerza parece estar activa justo antes de que el cuerpo toque el respaldo del asiento del automóvil. Una persona en el automóvil que se inclina hacia adelante primero se mueve un poco hacia atrás en relación con el automóvil que ya acelera, antes de tocar el respaldo. El movimiento en este corto período parece ser simplemente el resultado de una fuerza sobre la persona; es decir, es una pseudofuerza. Una pseudofuerza no surge de ninguna interacción física entre dos objetos, como el electromagnetismo o las fuerzas de contacto. Es simplemente una consecuencia de la aceleración a del objeto físico al que está conectado el marco de referencia no inercial , es decir, el vehículo en este caso. Desde el punto de vista del respectivo marco de aceleración, parece estar presente una aceleración del objeto inerte, aparentemente requiriendo una "fuerza" para que esto haya sucedido.

Como afirma Iro: ^[3]

Esta fuerza adicional debida al movimiento relativo no uniforme de dos marcos de referencia se denomina pseudofuerza .

—  Harald Iro en Un enfoque moderno de la mecánica clásica p. 180

La pseudofuerza sobre un objeto surge como una influencia imaginaria cuando el marco de referencia utilizado para describir el movimiento del objeto se acelera en comparación con un marco que no acelera. La pseudofuerza "explica", utilizando la mecánica de la segunda ley de Newton, por qué un objeto no sigue la segunda ley de Newton y "flota libremente" como si no tuviera peso. Como un marco puede acelerarse de cualquier manera arbitraria, las pseudofuerzas también pueden ser arbitrarias (pero solo en respuesta directa a la aceleración del marco). Un ejemplo de una pseudofuerza según la definición de Iro es la fuerza de Coriolis , tal vez sea mejor llamarla: el efecto Coriolis. ^{[4] [5] [6]} La fuerza gravitacional también sería una fuerza ficticia (pseudofuerza) en un modelo de campo en el que las partículas distorsionan el espacio-tiempo debido a su masa, como en la teoría de la relatividad general .

Suponiendo la segunda ley de Newton en la forma F  =  m a , las fuerzas ficticias son siempre proporcionales a la masa m .

La fuerza ficticia que se ha denominado fuerza inercial ^{[7] [8] [9]} también se conoce como fuerza de D'Alembert ^[10] [ ^11] o, a veces, como pseudofuerza ^[12] . El principio de D'Alembert es simplemente otra forma de formular la segunda ley de movimiento de Newton. Define una fuerza inercial como el negativo del producto de la masa por la aceleración, simplemente para facilitar los cálculos.

(Una fuerza de d'Alembert no debe confundirse con una fuerza de contacto que surge de la interacción física entre dos objetos, que es el tema de la tercera ley de Newton: "la acción es reacción ". ^{[13] [14]} En términos del ejemplo del vehículo de pasajeros mencionado anteriormente, una fuerza de contacto surge cuando el cuerpo del pasajero toca el respaldo del asiento del automóvil. Está presente mientras el automóvil esté acelerado).

Se han definido cuatro fuerzas ficticias para marcos acelerados de formas que ocurren comúnmente:

• una causada por cualquier aceleración relativa al origen en una línea recta ( aceleración rectilínea ); ^[15]
• Dos que involucran rotación: fuerza centrífuga y efecto Coriolis
• y una cuarta, llamada fuerza de Euler , causada por una tasa de rotación variable, si esto ocurriera.

Tonnelat describe el papel de las fuerzas ficticias en la mecánica newtoniana : ^[16]

Para Newton, la aparición de aceleración indica siempre la existencia de movimiento absoluto: movimiento absoluto de la materia cuando se trata de fuerzas reales ; movimiento absoluto del sistema de referencia cuando se trata de las llamadas fuerzas ficticias , como las de inercia o las de Coriolis.

—  Marie-Antoinette Tonnelat en Los principios de la teoría electromagnética y la relatividad , p.113

Las fuerzas ficticias surgen en la mecánica clásica y la relatividad especial en todos los sistemas no inerciales. Los sistemas inerciales tienen prioridad sobre los no inerciales porque no tienen una física cuyas causas estén fuera del sistema, mientras que los sistemas no inerciales sí. Las fuerzas ficticias, o la física cuya causa está fuera del sistema, ya no son necesarias en la relatividad general , ya que esta física se explica con las geodésicas del espacio-tiempo : "El campo de todas las geodésicas nulas o trayectorias de fotones posibles unifica el estándar absoluto local de no rotación en todo el espacio-tiempo". ^[17]

La superficie de la Tierra es un sistema de referencia giratorio . Para resolver problemas de mecánica clásica exactamente en un sistema de referencia terrestre, se deben introducir tres fuerzas ficticias: la fuerza de Coriolis , la fuerza centrífuga (descrita a continuación) y la fuerza de Euler . La fuerza de Euler suele ignorarse porque las variaciones en la velocidad angular de la superficie giratoria de la Tierra suelen ser insignificantes. Las otras dos fuerzas ficticias son débiles en comparación con la mayoría de las fuerzas típicas de la vida cotidiana, pero se pueden detectar en condiciones cuidadosas.

Por ejemplo, Léon Foucault utilizó su péndulo de Foucault para demostrar que la fuerza de Coriolis es resultado de la rotación de la Tierra. Si la Tierra girara veinte veces más rápido (lo que haría que cada día durara sólo unos 72 minutos), la gente podría fácilmente tener la impresión de que esas fuerzas ficticias tiraban de ellos, como si se tratara de un carrusel que giraba. De hecho, las personas que viven en latitudes templadas y tropicales tendrían que agarrarse para evitar ser lanzadas a la órbita por la fuerza centrífuga.

Al navegar a lo largo del ecuador en un barco rumbo al este, los objetos parecen ligeramente más ligeros que en el camino de regreso. Este fenómeno se ha observado y se denomina efecto Eötvös .

Los observadores que se encuentran dentro de una caja cerrada que se mueve a una velocidad constante no pueden detectar su propio movimiento; sin embargo, los observadores que se encuentran dentro de un marco de referencia en aceleración pueden detectar que se encuentran en un marco de referencia no inercial a partir de las fuerzas ficticias que surgen. Por ejemplo, para la aceleración en línea recta, Vladimir Arnold presenta el siguiente teorema: ^[18]

En un sistema de coordenadas K que se mueve por traslación respecto a un sistema inercial k , el movimiento de un sistema mecánico tiene lugar como si el sistema de coordenadas fuera inercial, pero en cada punto de masa m actúa una "fuerza inercial" adicional: F  = − m a , donde a es la aceleración del sistema K .

Otras aceleraciones también dan lugar a fuerzas ficticias, como se describe matemáticamente a continuación. La explicación física de los movimientos en un sistema inercial es la más simple posible y no requiere fuerzas ficticias: las fuerzas ficticias son cero, lo que proporciona un medio para distinguir los sistemas inerciales de otros. ^[19]

Un ejemplo de la detección de un sistema de referencia no inercial y rotatorio es la precesión de un péndulo de Foucault . En el sistema no inercial de la Tierra, la fuerza ficticia de Coriolis es necesaria para explicar las observaciones. En un sistema inercial fuera de la Tierra, no es necesaria tal fuerza ficticia.

El efecto de una fuerza ficticia también se produce cuando un coche toma una curva . Observada desde un sistema de referencia no inercial unido al coche, aparece la fuerza ficticia llamada fuerza centrífuga . Cuando el coche entra en una curva a la izquierda, una maleta que primero está en el asiento trasero izquierdo se desliza hacia el asiento trasero derecho y luego continúa hasta que entra en contacto con la puerta cerrada de la derecha. Este movimiento marca la fase de la fuerza centrífuga ficticia, ya que es la inercia de la maleta la que juega un papel en este fragmento de movimiento. Puede parecer que debe haber una fuerza responsable de este movimiento, pero en realidad, este movimiento surge debido a la inercia de la maleta, que es (todavía) un "objeto libre" dentro de un sistema de referencia que ya está acelerando. Después de que la maleta ha entrado en contacto con la puerta cerrada del coche, la situación con la aparición de fuerzas de contacto se vuelve actual. La fuerza centrípeta que actúa sobre el coche se transmite ahora también a la maleta, y entra en juego la situación de la tercera ley de Newton, con la fuerza centrípeta como parte de acción y con la llamada fuerza centrífuga reactiva como parte de reacción. La fuerza centrífuga reactiva también se debe a la inercia de la maleta, pero ahora la inercia se presenta en forma de una resistencia manifiesta a un cambio en su estado de movimiento. ^[20]

Supongamos que unos cuantos kilómetros más adelante el coche se mueve a velocidad constante recorriendo una rotonda una y otra vez, entonces los ocupantes sentirán como si estuvieran siendo empujados hacia el exterior del vehículo por la fuerza centrífuga (reactiva), lejos del centro de la curva.

La situación puede verse tanto desde marcos inerciales como no inerciales.

• Desde el punto de vista de un sistema de referencia inercial estacionario con respecto a la carretera, el automóvil está acelerando hacia el centro del círculo. Está acelerando porque la dirección de la velocidad está cambiando, a pesar de que el automóvil tiene una velocidad constante. Esta aceleración hacia adentro se llama aceleración centrípeta y requiere una fuerza centrípeta para mantener el movimiento circular. Esta fuerza la ejerce el suelo sobre las ruedas, en este caso, a partir de la fricción entre las ruedas y la carretera. ^[21] El automóvil está acelerando debido a la fuerza desequilibrada, que hace que se mueva en un círculo. (Véase también curva peraltada .)
• Desde el punto de vista de un marco giratorio que se mueve con el automóvil, parece existir una fuerza centrífuga ficticia que empuja el automóvil hacia el exterior de la carretera (y empuja a los ocupantes hacia el exterior del automóvil). La fuerza centrífuga equilibra la fricción entre las ruedas y la carretera, haciendo que el automóvil permanezca estacionario en este marco no inercial.

Un ejemplo clásico de una fuerza ficticia en el movimiento circular es el experimento de esferas giratorias atadas con una cuerda y girando alrededor de su centro de masa. En este caso, la identificación de un marco de referencia giratorio y no inercial puede basarse en la desaparición de fuerzas ficticias. En un marco inercial, las fuerzas ficticias no son necesarias para explicar la tensión en la cuerda que une las esferas. En un marco giratorio, deben introducirse las fuerzas de Coriolis y centrífugas para predecir la tensión observada.

En el sistema de referencia giratorio percibido en la superficie de la Tierra, una fuerza centrífuga reduce la fuerza aparente de la gravedad en aproximadamente una parte por mil, dependiendo de la latitud. Esta reducción es nula en los polos y máxima en el ecuador .

Animación: objeto liberado de un carrusel

Para alguien que se encuentra en la perspectiva del mapa, una sola fuerza es suficiente para explicar el movimiento: la flecha roja: fuerza centrípeta . Después de soltar, el número de fuerzas es cero. Para alguien que se encuentra en el marco giratorio, el objeto se mueve de una manera complicada que necesita una fuerza centrífuga : la flecha azul. Nota: Con algunos navegadores, al presionar [Esc] se congelará el movimiento para un análisis más detallado. Sin embargo, es posible que deba volver a cargar la página para reiniciarla.

La fuerza ficticia de Coriolis , que se observa en sistemas rotacionales, es visible normalmente solo en movimientos de gran escala, como el movimiento de proyectiles de armas de largo alcance o la circulación de la atmósfera terrestre (véase el número de Rossby ). Si se desprecia la resistencia del aire, un objeto arrojado desde una torre de 50 metros de altura en el ecuador caerá 7,7 milímetros al este del punto debajo del cual se dejó caer debido a la fuerza de Coriolis. ^[22]

Se puede considerar que las fuerzas ficticias realizan trabajo , siempre que muevan un objeto en una trayectoria que cambie su energía de potencial a cinética . Por ejemplo, considere algunas personas en sillas giratorias que sostienen un peso en sus manos extendidas. Si tiran de su mano hacia adentro en dirección a su cuerpo, desde la perspectiva del marco de referencia giratorio, han realizado trabajo contra la fuerza centrífuga. Cuando se suelta el peso, vuela espontáneamente hacia afuera en relación con el marco de referencia giratorio, porque la fuerza centrífuga realiza trabajo sobre el objeto, convirtiendo su energía potencial en cinética. Desde un punto de vista inercial, por supuesto, el objeto se aleja de ellos porque de repente se le permite moverse en línea recta. Esto ilustra que el trabajo realizado, al igual que la energía potencial y cinética total de un objeto, puede ser diferente en un marco no inercial que en uno inercial.

La noción de "fuerza ficticia" también surge en la teoría general de la relatividad de Einstein . ^{[23] [24]} Todas las fuerzas ficticias son proporcionales a la masa del objeto sobre el que actúan, lo que también es cierto para la gravedad . ^{[25] [26]} Esto llevó a Albert Einstein a preguntarse si la gravedad podría modelarse como una fuerza ficticia. Observó que un observador en caída libre en una caja cerrada no podría detectar la fuerza de la gravedad; por lo tanto, los marcos de referencia en caída libre son equivalentes a los marcos de referencia inerciales (el principio de equivalencia ). Desarrollando esta idea, Einstein formuló una teoría con la gravedad como una fuerza ficticia y atribuyó la aceleración aparente debida a la gravedad a la curvatura del espacio-tiempo . Esta idea subyace a la teoría de la relatividad general de Einstein . Véase el experimento de Eötvös .

Animación: pelota que rueda por un acantilado

Nota: La perspectiva del marco de lluvia que se muestra aquí, en lugar de ser la de una gota de lluvia, se parece más a la de un saltador de trampolín cuya trayectoria llega a su punto máximo justo cuando la pelota llega al borde del acantilado. La perspectiva del marco de concha [27] puede resultar familiar para los habitantes de los planetas que dependen minuto a minuto de las fuerzas físicas ascendentes de su entorno para protegerse de la aceleración geométrica debida al espacio-tiempo curvo.

Muchos problemas requieren el uso de marcos de referencia no inerciales, por ejemplo, aquellos que involucran satélites ^{[28] [29]} y aceleradores de partículas. ^[30] La Figura 2 muestra una partícula con masa m y vector de posición x _A ( t ) en un marco inercial particular A. Considere un marco no inercial B cuyo origen relativo al inercial está dado por X _AB ( t ). Sea x _B ( t ) la posición de la partícula en el marco B. ¿Cuál es la fuerza sobre la partícula expresada en el sistema de coordenadas del marco B? ^{[31] [32]}

Para responder a esta pregunta, supongamos que el eje de coordenadas en B está representado por vectores unitarios u _j con j cualquiera de {1, 2, 3} para los tres ejes de coordenadas. Entonces

${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {B} }=\sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}\,.}$

La interpretación de esta ecuación es que x _B es el desplazamiento vectorial de la partícula expresado en términos de las coordenadas en el marco B en el tiempo t . Desde el marco A la partícula se encuentra en:

${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {A} }=\mathbf {X} _{\mathrm {AB} }+\sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}\,.}$

Por otra parte, los vectores unitarios {  u _j  } no pueden cambiar de magnitud, por lo que las derivadas de estos vectores expresan solo la rotación del sistema de coordenadas B. Por otro lado, el vector X _AB simplemente ubica el origen del marco B en relación con el marco A, y por lo tanto no puede incluir la rotación del marco B.

Tomando una derivada del tiempo, la velocidad de la partícula es:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt}}={\frac {d\mathbf {X} _{\mathrm {AB} }}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {dx_{j}}{dt}}\mathbf {u} _{j}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}\,.}$

El segundo término sumatorio es la velocidad de la partícula, digamos v _B , medida en el marco B. Es decir:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt}}=\mathbf {v} _{\mathrm {AB} }+\mathbf {v} _{\mathrm {B} }+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}.}$

La interpretación de esta ecuación es que la velocidad de la partícula vista por los observadores en el marco A consiste en lo que los observadores en el marco B llaman la velocidad, es decir v _B , más dos términos adicionales relacionados con la tasa de cambio de los ejes de coordenadas del marco B. Uno de ellos es simplemente la velocidad del origen en movimiento v _AB . El otro es una contribución a la velocidad debido al hecho de que diferentes ubicaciones en el marco no inercial tienen diferentes velocidades aparentes debido a la rotación del marco; un punto visto desde un marco giratorio tiene un componente rotacional de velocidad que es mayor cuanto más lejos está el punto del origen.

Para encontrar la aceleración, otra diferenciación temporal proporciona:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+{\frac {d\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {dx_{j}}{dt}}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}.}$

Utilizando la misma fórmula ya utilizada para la derivada del tiempo de x _B , la derivada de la velocidad a la derecha es:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{dt}}=\sum _{j=1}^{3}{\frac {dv_{j}}{dt}}\mathbf {u} _{j}+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}.}$

Como consecuencia,

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}.}$$

( 1 )

La interpretación de esta ecuación es la siguiente: la aceleración de la partícula en el marco A consiste en lo que los observadores en el marco B llaman la aceleración de la partícula a _B , pero además, hay tres términos de aceleración relacionados con el movimiento de los ejes de coordenadas del marco B: un término relacionado con la aceleración del origen del marco B, es decir, a _AB , y dos términos relacionados con la rotación del marco B. En consecuencia, los observadores en B verán el movimiento de la partícula como si tuviera una aceleración "extra", que atribuirán a "fuerzas" que actúan sobre la partícula, pero que los observadores en A dicen que son fuerzas "ficticias" que surgen simplemente porque los observadores en B no reconocen la naturaleza no inercial del marco B.

El factor dos en la fuerza de Coriolis surge de dos contribuciones iguales: (i) el cambio aparente de una velocidad inercialmente constante con el tiempo debido a que la rotación hace que la dirección de la velocidad parezca cambiar (un término d v _B /d t ) y (ii) un cambio aparente en la velocidad de un objeto cuando su posición cambia, acercándolo o alejándolo del eje de rotación (el cambio en debido al cambio en x _j ).${\textstyle \sum x_{j}\,d\mathbf {u} _{j}/dt}$

Para expresarlo en términos de fuerzas, las aceleraciones se multiplican por la masa de la partícula:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {A} }=\mathbf {F} _{\mathrm {B} }+m\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+2m\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+m\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\ .}$

La fuerza observada en el marco B, F _B = m a _B está relacionada con la fuerza real sobre la partícula, F _A , por

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {B} }=\mathbf {F} _{\mathrm {A} }+\mathbf {F} _{\mathrm {fictitious} },}$

dónde:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fictitious} }=-m\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }-2m\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}-m\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\,.}$

Por lo tanto, los problemas pueden resolverse en el marco B suponiendo que se cumple la segunda ley de Newton (con respecto a las cantidades en ese marco) y tratando a F _ficticia como una fuerza adicional. ^{[18] [33] [34]}

A continuación se muestran varios ejemplos de aplicación de este resultado a fuerzas ficticias. Se pueden encontrar más ejemplos en el artículo sobre fuerza centrífuga .

Una situación común en la que los marcos de referencia no inerciales son útiles es cuando el marco de referencia está rotando. Debido a que dicho movimiento rotacional no es inercial, debido a la aceleración presente en cualquier movimiento rotacional, siempre se puede invocar una fuerza ficticia utilizando un marco de referencia rotacional. A pesar de esta complicación, el uso de fuerzas ficticias a menudo simplifica los cálculos involucrados.

Para derivar expresiones para las fuerzas ficticias, se necesitan derivadas para la tasa temporal aparente de cambio de vectores que tengan en cuenta la variación temporal de los ejes de coordenadas. Si la rotación del marco 'B' está representada por un vector Ω apuntando a lo largo del eje de rotación con la orientación dada por la regla de la mano derecha y con magnitud dada por

${\displaystyle |{\boldsymbol {\Omega }}|={\frac {d\theta }{dt}}=\omega (t),}$

entonces la derivada temporal de cualquiera de los tres vectores unitarios que describen el marco B es ^{[33] [35]}

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {u} _{j}(t)}{dt}}={\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t),}$

y

${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}(t)}{dt^{2}}}={\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\frac {d\mathbf {u} _{j}(t)}{dt}}={\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)\right],}$

como se verifica utilizando las propiedades del producto vectorial . Estas fórmulas derivadas se aplican ahora a la relación entre la aceleración en un marco inercial y la de un marco de coordenadas que gira con una velocidad angular variable en el tiempo ω( _{t ). De la sección anterior, donde el subíndice A se refiere al marco inercial y B al marco giratorio, se establece AB} = 0 para eliminar cualquier aceleración traslacional y se centra únicamente en las propiedades rotacionales (véase la ecuación 1):

${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2\sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} _{\mathrm {A} }&=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+\ 2\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}\ +\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)\right]\\&=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2{\boldsymbol {\Omega }}\times \sum _{j=1}^{3}v_{j}\mathbf {u} _{j}(t)+{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}(t)\right].\end{aligned}}}$

Reuniendo términos, el resultado es la llamada fórmula de transformación de aceleración : ^[36]

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {A} }=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }+{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }\right)\,.}$

La aceleración física a _A debida a lo que los observadores en el marco inercial A llaman fuerzas externas reales sobre el objeto no es, por lo tanto, simplemente la aceleración a _B vista por los observadores en el marco rotacional B, sino que tiene varios términos de aceleración geométrica adicionales asociados con la rotación de B. Como se ve en el marco rotacional, la aceleración a _B de la partícula se da por la reorganización de la ecuación anterior como:

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {B} }=\mathbf {a} _{\mathrm {A} }-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }-{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} })-{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }.}$

La fuerza neta sobre el objeto según los observadores en el marco giratorio es F _B = m a _B . Para que sus observaciones den como resultado la fuerza correcta sobre el objeto al utilizar las leyes de Newton, deben considerar que la fuerza adicional F _fict está presente, por lo que el resultado final es F _B = F _A + F _fict . Por lo tanto, la fuerza ficticia utilizada por los observadores en B para obtener el comportamiento correcto del objeto a partir de las leyes de Newton es igual a:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} })-m{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }.}$

Aquí, el primer término es la fuerza de Coriolis , ^[37] el segundo término es la fuerza centrífuga , ^[38] y el tercer término es la fuerza de Euler . ^{[39] [40]}

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Como ejemplo relacionado, supongamos que el sistema de coordenadas móvil B gira con una velocidad angular constante ω en un círculo de radio R alrededor del origen fijo del marco inercial A , pero mantiene sus ejes de coordenadas fijos en orientación, como en la Figura 3. La aceleración de un cuerpo observado es ahora (ver Ec. 1):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{A}}{dt^{2}}}&=\mathbf {a} _{AB}+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\\&=\mathbf {a} _{AB}\ +\mathbf {a} _{B}\ ,\end{aligned}}}$

donde las sumas son cero puesto que los vectores unitarios no tienen dependencia del tiempo. El origen del sistema B se encuentra según el marco A en:

${\displaystyle \mathbf {X} _{AB}=R\left(\cos(\omega t),\ \sin(\omega t)\right)\ ,}$

conduciendo a una velocidad del origen del marco B como:

${\displaystyle \mathbf {v} _{AB}={\frac {d}{dt}}\mathbf {X} _{AB}=\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\ ,}$

conduciendo a una aceleración del origen de B dada por:

${\displaystyle \mathbf {a} _{AB}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\mathbf {X} _{AB}=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)=-\omega ^{2}\mathbf {X} _{AB}\,.}$

Debido a que el primer término, que es tiene la misma forma que la expresión normal de fuerza centrífuga, es una extensión natural de la terminología estándar (aunque no existe una terminología estándar para este caso) llamar a este término "fuerza centrífuga". Cualquiera sea la terminología que se adopte, los observadores en el marco B deben introducir una fuerza ficticia, esta vez debida a la aceleración del movimiento orbital de todo su marco de coordenadas, que se aleja radialmente del centro de rotación del origen de su sistema de coordenadas:$${\displaystyle \mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)\,,}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\,,}$$

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=m\omega ^{2}\mathbf {X} _{AB}\,,}$

y de magnitud:

${\displaystyle |\mathbf {F} _{\mathrm {fict} }|=m\omega ^{2}R\,.}$

Esta "fuerza centrífuga" tiene diferencias con el caso de un marco giratorio. En el marco giratorio, la fuerza centrífuga está relacionada con la distancia del objeto al origen del marco B , mientras que en el caso de un marco en órbita, la fuerza centrífuga es independiente de la distancia del objeto al origen del marco B , sino que depende de la distancia del origen del marco B a su centro de rotación, lo que da como resultado la misma fuerza centrífuga ficticia para todos los objetos observados en el marco B.

Como ejemplo de combinación, la Figura 4 muestra un sistema de coordenadas B que orbita el marco inercial A como en la Figura 3, pero los ejes de coordenadas en el marco B giran de modo que el vector unitario u ₁ siempre apunta hacia el centro de rotación. Este ejemplo podría aplicarse a un tubo de ensayo en una centrífuga, donde el vector u ₁ apunta a lo largo del eje del tubo hacia su abertura en la parte superior. También se asemeja al sistema Tierra-Luna, donde la Luna siempre presenta la misma cara a la Tierra. ^[41] En este ejemplo, el vector unitario u ₃ conserva una orientación fija, mientras que los vectores u ₁ , u ₂ giran a la misma velocidad que el origen de coordenadas. Es decir,

${\displaystyle \mathbf {u} _{1}=(-\cos \omega t,\ -\sin \omega t)\ ;\ }$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{2}=(\sin \omega t,\ -\cos \omega t)\,.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {u} _{1}=\mathbf {\Omega \times u_{1}} =\omega \mathbf {u} _{2}\ ;}$ ${\displaystyle \ {\frac {d}{dt}}\mathbf {u} _{2}=\mathbf {\Omega \times u_{2}} =-\omega \mathbf {u} _{1}\ \ .}$

Por lo tanto, la aceleración de un objeto en movimiento se expresa como (ver ecuación 1):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{A}}{dt^{2}}}&=\mathbf {a} _{AB}+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\ \sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\\&=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ \mathbf {\Omega \times u_{j}} \ +\ \sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}\right)\\&=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}\ \ +\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\\&=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times } (\mathbf {X} _{AB}+\mathbf {x} _{B})\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}\ \,,\end{aligned}}}$

donde el término de aceleración angular es cero para la tasa de rotación constante. Debido a que el primer término, que es tiene la misma forma que la expresión de fuerza centrífuga normal: es una extensión natural de la terminología estándar (aunque no hay terminología estándar para este caso) llamar a este término "fuerza centrífuga". Aplicando esta terminología al ejemplo de un tubo en una centrífuga, si el tubo está lo suficientemente lejos del centro de rotación, | X _AB | = R ≫ | x _B |, toda la materia en el tubo de ensayo ve la misma aceleración (la misma fuerza centrífuga). Por lo tanto, en este caso, la fuerza ficticia es principalmente una fuerza centrífuga uniforme a lo largo del eje del tubo, lejos del centro de rotación, con un valor | F _fict | = ω ² R , donde R es la distancia de la materia en el tubo desde el centro de la centrífuga. Es la especificación estándar de una centrífuga utilizar el radio "efectivo" de la centrífuga para estimar su capacidad para proporcionar fuerza centrífuga. De esta forma, la primera estimación de la fuerza centrífuga en una centrífuga puede basarse en la distancia de los tubos desde el centro de rotación, y aplicar correcciones si es necesario. ^{[42] [43]}$${\displaystyle \mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times } (\mathbf {X} _{AB}+\mathbf {x} _{B})\right)\,,}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\,,}$$

Además, el tubo de ensayo limita el movimiento a la dirección que recorre la longitud del tubo, por lo que v _B es opuesta a u ₁ y la fuerza de Coriolis es opuesta a u ₂ , es decir, contra la pared del tubo. Si el tubo se hace girar durante un tiempo suficientemente prolongado, la velocidad v _B cae a cero a medida que la materia alcanza una distribución de equilibrio. Para obtener más detalles, consulte los artículos sobre sedimentación y la ecuación de Lamm .

Un problema relacionado es el de las fuerzas centrífugas para el sistema Tierra-Luna-Sol, donde aparecen tres rotaciones: la rotación diaria de la Tierra sobre su eje, la rotación mensual lunar del sistema Tierra-Luna sobre su centro de masas y la revolución anual del sistema Tierra-Luna alrededor del Sol. Estos tres movimientos influyen en las mareas . ^[44]

La figura 5 muestra otro ejemplo que compara las observaciones de un observador inercial con las de un observador en un carrusel giratorio . ^[45] El carrusel gira a una velocidad angular constante representada por el vector Ω con magnitud ω , apuntando hacia arriba de acuerdo con la regla de la mano derecha . Un ciclista en el carrusel camina radialmente a través de él a una velocidad constante, en lo que parece ser para el caminante la trayectoria en línea recta inclinada a 45° en la figura 5. Para el observador estacionario, sin embargo, el caminante recorre una trayectoria en espiral. Los puntos identificados en ambas trayectorias en la figura 5 corresponden a los mismos tiempos espaciados a intervalos de tiempo iguales. Preguntamos cómo dos observadores, uno en el carrusel y otro en un marco inercial, formulan lo que ven utilizando las leyes de Newton.

El observador en reposo describe la trayectoria seguida por el caminante como una espiral. Adoptando el sistema de coordenadas mostrado en la Figura 5, la trayectoria se describe mediante r ( t ):

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=R(t)\mathbf {u} _{R}={\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}R(t)\cos(\omega t+\pi /4)\\R(t)\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}},}$

donde el π/4 añadido establece el ángulo de la trayectoria en 45° para empezar (simplemente una elección arbitraria de dirección), u _R es un vector unitario en la dirección radial que apunta desde el centro del carrusel hasta el caminante en el momento t . La distancia radial R ( t ) aumenta de manera constante con el tiempo de acuerdo con:

${\displaystyle R(t)=st,}$

donde s es la velocidad de la marcha. Según la cinemática simple, la velocidad es entonces la primera derivada de la trayectoria:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} (t)&={\frac {dR}{dt}}{\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}+\omega R(t){\begin{bmatrix}-\sin(\omega t+\pi /4)\\\cos(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}\\&={\frac {dR}{dt}}\mathbf {u} _{R}+\omega R(t)\mathbf {u} _{\theta },\end{aligned}}}$

con u _θ un vector unitario perpendicular a u _R en el instante t (como se puede verificar al observar que el producto escalar del vector con el vector radial es cero) y apuntando en la dirección del desplazamiento. La aceleración es la primera derivada de la velocidad:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (t)&={\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}{\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}+2{\frac {dR}{dt}}\omega {\begin{bmatrix}-\sin(\omega t+\pi /4)\\\cos(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}-\omega ^{2}R(t){\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}\\&=2s\omega {\begin{bmatrix}-\sin(\omega t+\pi /4)\\\cos(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}-\omega ^{2}R(t){\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}\\&=2s\ \omega \ \mathbf {u} _{\theta }-\omega ^{2}R(t)\ \mathbf {u} _{R}\,.\end{aligned}}}$

El último término de la aceleración es radialmente hacia adentro de magnitud ω ² R , que es por lo tanto la aceleración centrípeta instantánea del movimiento circular . ^[46] El primer término es perpendicular a la dirección radial y apunta en la dirección del viaje. Su magnitud es 2 sω , y representa la aceleración del caminante a medida que se acerca al borde del carrusel, y el arco del círculo recorrido en un tiempo fijo aumenta, como se puede ver por el mayor espaciamiento entre puntos para pasos de tiempo iguales en la espiral en la Figura 5 a medida que se acerca al borde exterior del carrusel.

Aplicando las leyes de Newton, multiplicando la aceleración por la masa del caminante, el observador inercial concluye que el caminante está sujeto a dos fuerzas: la fuerza centrípeta dirigida radialmente hacia adentro y otra fuerza perpendicular a la dirección radial que es proporcional a la velocidad del caminante.

El observador que gira ve al caminante recorrer una línea recta desde el centro del carrusel hasta la periferia, como se muestra en la Figura 5. Además, el observador que gira ve que el caminante se mueve a una velocidad constante en la misma dirección, por lo que, aplicando la ley de inercia de Newton, no hay ninguna fuerza sobre el caminante. Estas conclusiones no concuerdan con las del observador inercial. Para obtener un acuerdo, el observador que gira tiene que introducir fuerzas ficticias que parecen existir en el mundo giratorio, aunque no haya una razón aparente para ellas, ninguna masa gravitatoria aparente, carga eléctrica o lo que sea, que pueda explicar estas fuerzas ficticias.

Para que coincida con el observador inercial, las fuerzas aplicadas al caminante deben ser exactamente las halladas anteriormente. Pueden relacionarse con las fórmulas generales ya derivadas, a saber:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} })-m{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }.}$

En este ejemplo, la velocidad observada en el marco giratorio es:

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B} }=s\mathbf {u} _{R},}$

con u _R como vector unitario en dirección radial. La posición del andador tal como se ve en el carrusel es:

${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {B} }=R(t)\mathbf {u} _{R},}$

y la derivada temporal de Ω es cero para una rotación angular uniforme. Observando que

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{R}=\omega \mathbf {u} _{\theta }}$

y

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{\theta }=-\omega \mathbf {u} _{R}\,,}$

Encontramos:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m\omega s\mathbf {u} _{\theta }+m\omega ^{2}R(t)\mathbf {u} _{R}.}$

Para obtener un movimiento en línea recta en el mundo giratorio, se debe aplicar una fuerza exactamente opuesta en signo a la fuerza ficticia para reducir la fuerza neta sobre el caminante a cero, por lo que la ley de inercia de Newton predecirá un movimiento en línea recta, de acuerdo con lo que ve el observador rotatorio. Las fuerzas ficticias que deben combatirse son la fuerza de Coriolis (primer término) y la fuerza centrífuga (segundo término). (Estos términos son aproximados. ^[47] ) Al aplicar fuerzas para contrarrestar estas dos fuerzas ficticias, el observador rotatorio termina aplicando exactamente las mismas fuerzas sobre el caminante que el observador inercial predijo que eran necesarias.

Como sólo se diferencian en la velocidad constante de la marcha, el caminante y el observador rotacional ven las mismas aceleraciones. Desde la perspectiva del caminante, la fuerza ficticia se experimenta como real, y es necesario combatirla para permanecer en una trayectoria radial en línea recta manteniendo una velocidad constante. Es como luchar contra un viento cruzado mientras te lanzan al borde del tiovivo. ^[48]

Obsérvese que esta discusión cinemática no profundiza en el mecanismo por el cual se generan las fuerzas requeridas. Ése es el tema de la cinética . En el caso del carrusel, la discusión cinética implicaría tal vez un estudio de los zapatos del caminante y la fricción que necesitan generar contra el piso del carrusel, o tal vez la dinámica de andar en patineta si el caminante cambiara a viajar en patineta. Cualquiera que sea el medio de viaje a través del carrusel, las fuerzas calculadas anteriormente deben realizarse. Una analogía muy aproximada es la calefacción de su casa: debe tener cierta temperatura para estar cómodo, pero si se calienta quemando gas o quemando carbón es otro problema. La cinemática fija el termostato, la cinética enciende el horno.

• Lev D. Landau y EM Lifshitz (1976). Mecánica. Curso de Física Teórica . Vol. 1 (3.ª ed.). Butterworth-Heinenan. Págs. 128-130. ISBN. 0-7506-2896-0.
• Keith Symon (1971). Mecánica (3.ª ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7.
• Jerry B. Marion (1970). Dinámica clásica de partículas y sistemas. Academic Press. ISBN 0-12-472252-0.
• Marcel J. Sidi (1997). Dinámica y control de naves espaciales: un enfoque práctico de ingeniería. Cambridge University Press. Capítulo 4.8. ISBN 0-521-78780-7.

• Preguntas y respuestas de Richard C. Brill, Honolulu Community College
• David Stern de la NASA: Planes de lecciones para docentes n.° 23 sobre fuerzas inerciales
• Fuerza de Coriolis
• Movimiento sobre una superficie plana. Fislet de Java de Brian Fiedler que ilustra fuerzas ficticias. El fislet muestra tanto la perspectiva vista desde un punto de vista giratorio como desde uno no giratorio.
• Movimiento sobre una superficie parabólica. Fislet de Java de Brian Fiedler que ilustra fuerzas ficticias. El fislet muestra tanto la perspectiva vista desde un punto de vista giratorio como desde uno no giratorio.