Factoriales ascendentes y descendentes

En matemáticas , el factorial descendente (a veces llamado factorial descendente , ^[1] producto secuencial descendente o factorial inferior ) se define como el polinomio$${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n}=x^{\underline {n}}&=\overbrace {x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)} ^{n{\text{ factores}}}\\&=\prod _{k=1}^{n}(x-k+1)=\prod _{k=0}^{n-1}(xk).\end{aligned}}}$$

El factorial ascendente (a veces llamado función Pochhammer , polinomio de Pochhammer , factorial ascendente , ^[1] producto secuencial ascendente o factorial superior ) se define como$${\displaystyle {\begin{aligned}(x)^{n}=x^{\overline {n}}&=\overbrace {x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)} ^{n{\text{ factores}}}\\&=\prod _{k=1}^{n}(x+k-1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x+k).\end{aligned}}}$$

El valor de cada uno se toma como 1 (un producto vacío ) cuando . Estos símbolos se denominan colectivamente potencias factoriales . ^[2]${\estilo de visualización n=0}$

El símbolo de Pochhammer , introducido por Leo August Pochhammer , es la notación , donde n es un entero no negativo . Puede representar tanto el factorial ascendente como el descendente, y en diferentes artículos y autores se utilizan diferentes convenciones. El propio Pochhammer lo utilizó con otro significado, es decir, para denotar el coeficiente binomial . ^[3]$Estilo de visualización (x)_{n}}$$Estilo de visualización (x)_{n}}$ ${\displaystyle {\tbinom {x}{n}}}$

En este artículo, el símbolo se utiliza para representar el factorial descendente, y el símbolo se utiliza para el factorial ascendente. Estas convenciones se utilizan en combinatoria , ^[4] aunque las notaciones de subrayado y sobrerrayado de Knuth son cada vez más populares. ^{[2] [5]} En la teoría de funciones especiales (en particular la función hipergeométrica ) y en la obra de referencia estándar Abramowitz y Stegun , el símbolo de Pochhammer se utiliza para representar el factorial ascendente. ^{[6] [7]}$Estilo de visualización (x)_{n}}$${\displaystyle x^{(n)}}$${\displaystyle x^{\underline {n}}}$${\displaystyle x^{\overline {n}}}$$Estilo de visualización (x)_{n}}$

Cuando es un entero positivo, da el número de n -permutaciones (secuencias de elementos distintos) de un conjunto de x elementos, o equivalentemente el número de funciones inyectivas de un conjunto de tamaño a un conjunto de tamaño . El factorial ascendente da el número de particiones de un conjunto de x elementos en secuencias ordenadas (posiblemente vacías). ^[a]${\estilo de visualización x}$$Estilo de visualización (x)_{n}}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle x^{(n)}}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización x}$

Los primeros factoriales descendentes son los siguientes: Los primeros factoriales ascendentes son los siguientes: Los coeficientes que aparecen en las expansiones son números de Stirling del primer tipo (ver más abajo).$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(x)_{0}&&&=1\\(x)_{1}&&&=x\\(x)_{2}&=x(x-1)&&=x^{2}-x\\(x)_{3}&=x(x-1)(x-2)&&=x^{3}-3x^{2}+2x\\(x)_{4}&=x(x-1)(x-2)(x-3)&&=x^{4}-6x^{3}+11x^{2}-6x\end{alignedat}}}$$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x^{(0)}&&&=1\\x^{(1)}&&&=x\\x^{(2)}&=x(x+1)&&=x^{2}+x\\x^{(3)}&=x(x+1)(x+2)&&=x^{3}+3x^{2}+2x\\x^{(4)}&=x(x+1)(x+2)(x+3)&&=x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x\end{alignedat}}}$$

Cuando la variable es un entero positivo, el número es igual al número de n -permutaciones de un conjunto de x elementos , es decir, el número de formas de elegir una lista ordenada de longitud n que consta de elementos distintos extraídos de una colección de tamaño . Por ejemplo, es el número de podios diferentes (asignaciones de medallas de oro, plata y bronce) posibles en una carrera de ocho personas. Por otro lado, es "el número de formas de organizar las banderas en los mástiles", ^[8] donde se deben usar todas las banderas y cada mástil puede tener cualquier número de banderas. Equivalentemente, este es el número de formas de dividir un conjunto de tamaño (las banderas) en partes distinguibles (los mástiles), con un orden lineal en los elementos asignados a cada parte (el orden de las banderas en un mástil dado).${\estilo de visualización x}$$Estilo de visualización (x)_{n}}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle (8)_{3}=8\veces 7\veces 6=336}$${\displaystyle x^{(n)}}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización x}$

Los factoriales ascendentes y descendentes están simplemente relacionados entre sí:$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{(x)}_{n}&={(x-n+1)}^{(n)}&&=(-1)^{n}(- x)^{(n)},\\x^{(n)}&={(x+n-1)}_{n}&&=(-1)^{n}(-x)_{n }.\end{alignedat}}}$$

Los factoriales ascendentes y descendentes de números enteros están directamente relacionados con el factorial ordinario :$${\displaystyle {\begin{aligned}n!&=1^{(n)}=(n)_{n},\\[6pt](m)_{n}&={\frac {m!}{(mn)!}},\\[6pt]m^{(n)}&={\frac {(m+n-1)!}{(m-1)!}}.\end{aligned}}}$$

Los factoriales ascendentes de seminúmeros enteros están directamente relacionados con el factorial doble :$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {1}{2}}\right]^{(n)}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}},\quad \left[{\frac {2m+1}{2}}\right]^{(n)}={\frac {(2(n+m)-1)!!}{2^{n}(2m-1)!!}}.\end{aligned}}}$$

Los factoriales ascendentes y descendentes se pueden utilizar para expresar un coeficiente binomial :$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(x)_{n}}{n!}}&={\binom {x}{n}},\\[6pt]{\frac {x^{(n)}}{n!}}&={\binom {x+n-1}{n}}.\end{aligned}}}$$

De esta forma, muchas identidades en los coeficientes binomiales se trasladan a los factoriales descendentes y ascendentes.

Los factoriales ascendentes y descendentes están bien definidos en cualquier anillo unitario y, por lo tanto, pueden tomarse como, por ejemplo, un número complejo , incluidos los enteros negativos, o un polinomio con coeficientes complejos, o cualquier función de valor complejo .${\estilo de visualización x}$

El factorial descendente se puede extender a valores reales utilizando la función gamma proporcionada y son números reales que no son enteros negativos: y lo mismo se puede hacer con el factorial ascendente:${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle x+n}$$${\displaystyle (x)_{n}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}\ ,}$$$${\displaystyle x^{(n)}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}\ .}$$

Los factoriales descendentes aparecen en la diferenciación múltiple de funciones de potencia simples:$${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{n}x^{a}=(a)_{n}\cdot x^{a-n}.}$$

El factorial ascendente también es parte integral de la definición de la función hipergeométrica : La función hipergeométrica se define para por la serie de potencias siempre que . Sin embargo, tenga en cuenta que la literatura sobre funciones hipergeométricas generalmente utiliza la notación para factoriales ascendentes.${\displaystyle |z|<1}$$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}b^{(n)}}{c^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n!}}}$$${\displaystyle c\neq 0,-1,-2,\ldots }$${\displaystyle (a)_{n}}$

Los factores ascendentes y descendentes están estrechamente relacionados con los números de Stirling . De hecho, al expandir el producto se obtienen números de Stirling de primera clase.$${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n}&=\sum _{k=0}^{n}s(n,k)x^{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}(-1)^{n-k}x^{k}\\x^{(n)}&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}x^{k}\\\end{aligned}}}$$

Y las relaciones inversas utilizan números de Stirling del segundo tipo.$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{n}&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}(x)_{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}(-1)^{n-k}x^{(k)}.\end{aligned}}}$$

Los factoriales descendentes y ascendentes están relacionados entre sí a través de los números de Lah${\textstyle L(n,k)={\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}}$ : ^[9]$${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n}&=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)x^{(k)}\\x^{(n)}&=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(-1)^{n-k}(x)_{k}\end{aligned}}}$$

Dado que los factoriales descendentes son una base para el anillo polinomial , se puede expresar el producto de dos de ellos como una combinación lineal de factoriales descendentes: ^[10]$${\displaystyle (x)_{m}(x)_{n}=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}{\binom {n}{k}}k!\cdot (x)_{m+n-k}\ .}$$

Los coeficientes se denominan coeficientes de conexión y tienen una interpretación combinatoria como el número de formas de identificar (o "unir") k elementos de un conjunto de tamaño m y un conjunto de tamaño n .${\displaystyle {\tbinom {m}{k}}{\tbinom {n}{k}}k!}$

También existe una fórmula de conexión para la relación de dos factoriales ascendentes dada por$${\displaystyle {\frac {x^{(n)}}{x^{(i)}}}=(x+i)^{(n-i)},\quad {\text{for }}n\geq i.}$$

Además, podemos expandir las leyes de exponentes generalizados y las potencias negativas ascendentes y descendentes a través de las siguientes identidades: ^{[11] (p. 52)}

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{m+n}&=(x)_{m}(x-m)_{n}=(x)_{n}(x-n)_{m}\\[6pt]x^{(m+n)}&=x^{(m)}(x+m)^{(n)}=x^{(n)}(x+n)^{(m)}\\[6pt]x^{(-n)}&={\frac {\Gamma (x-n)}{\Gamma (x)}}={\frac {(x-n-1)!}{(x-1)!}}={\frac {1}{(x-n)^{(n)}}}={\frac {1}{(x-1)_{n}}}={\frac {1}{(x-1)(x-2)\cdots (x-n)}}\\[6pt](x)_{-n}&={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+n+1)}}={\frac {x!}{(x+n)!}}={\frac {1}{(x+n)_{n}}}={\frac {1}{(x+1)^{(n)}}}={\frac {1}{(x+1)(x+2)\cdots (x+n)}}\end{aligned}}}$$

Finalmente, las fórmulas de duplicación y multiplicación para los factoriales descendentes y ascendentes proporcionan las siguientes relaciones:$${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{k+mn}&=x^{(k)}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x-k-j}{m}}\right)_{n}\,,&{\text{for }}m&\in \mathbb {N} \\[6pt]x^{(k+mn)}&=x^{(k)}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x+k+j}{m}}\right)^{(n)},&{\text{for }}m&\in \mathbb {N} \\[6pt](ax+b)^{(n)}&=x^{n}\prod _{j=0}^{n-1}\left(a+{\frac {b+j}{x}}\right),&{\text{for }}x&\in \mathbb {Z} ^{+}\\[6pt](2x)^{(2n)}&=2^{2n}x^{(n)}\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{(n)}.\end{aligned}}}$$

El factorial descendente se presenta en una fórmula que representa polinomios utilizando el operador de diferencia hacia adelante y que es formalmente similar al teorema de Taylor :${\displaystyle \Delta f(x){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}f(x{+}1)-f(x),}$$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{n}f(0)}{n!}}(x)_{n}.}$$

En esta fórmula y en muchos otros lugares, el factorial descendente en el cálculo de diferencias finitas desempeña el papel de en el cálculo diferencial. Nótese, por ejemplo, la similitud de con .${\displaystyle (x)_{n}}$${\displaystyle x^{n}}$${\displaystyle \Delta (x)_{n}=n(x)_{n-1}}$${\displaystyle {\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}x^{n}=nx^{n-1}}$

Un resultado similar se aplica al operador factorial ascendente y al operador de diferencia hacia atrás.

El estudio de analogías de este tipo se conoce como cálculo umbral . Una teoría general que abarca tales relaciones, incluidas las funciones factoriales descendentes y ascendentes, está dada por la teoría de sucesiones polinómicas de tipo binomial y las sucesiones de Sheffer . Las sucesiones factoriales descendentes y ascendentes son sucesiones de Sheffer de tipo binomial, como lo muestran las relaciones:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}(a)_{n-j}(b)_{j}\\[6pt](a+b)^{(n)}&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}a^{(n-j)}b^{(j)}\end{aligned}}}$$

donde los coeficientes son los mismos que los del teorema binomial .

De manera similar, la función generadora de polinomios de Pochhammer equivale entonces a la exponencial umbral,

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(x)_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=\left(1+t\right)^{x},}$$

desde

$${\displaystyle \operatorname {\Delta } _{x}\left(1+t\right)^{x}=t\cdot \left(1+t\right)^{x}.}$$

Una notación alternativa para el factorial ascendente$${\displaystyle x^{\overline {m}}\equiv (x)_{+m}\equiv (x)_{m}=\overbrace {x(x+1)\ldots (x+m-1)} ^{m{\text{ factors}}}\quad {\text{for integer }}m\geq 0}$$

y para el factorial descendente$${\displaystyle x^{\underline {m}}\equiv (x)_{-m}=\overbrace {x(x-1)\ldots (x-m+1)} ^{m{\text{ factors}}}\quad {\text{for integer }}m\geq 0}$$

se remonta a A. Capelli (1893) y L. Toscano (1939), respectivamente. ^[2] Graham, Knuth y Patashnik ^{[11] (pp 47, 48)} proponen pronunciar estas expresiones como " to the rising" y " to the dropping", respectivamente.${\displaystyle x}$${\displaystyle m}$${\displaystyle x}$${\displaystyle m}$

Una notación alternativa para el factorial ascendente es la menos común . Cuando se utiliza para denotar el factorial ascendente, la notación se utiliza normalmente para el factorial descendente ordinario, para evitar confusiones. ^[3]${\displaystyle x^{(n)}}$${\displaystyle (x)_{n}^{+}}$${\displaystyle (x)_{n}^{+}}$${\displaystyle (x)_{n}^{-}}$

El símbolo de Pochhammer tiene una versión generalizada llamada símbolo de Pochhammer generalizado , que se utiliza en el análisis multivariante . También existe un análogo q , el símbolo q -Pochhammer .

Para cualquier función aritmética fija y parámetros simbólicos x , t , productos factoriales generalizados relacionados de la forma${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }$

$${\displaystyle (x)_{n,f,t}:=\prod _{k=0}^{n-1}\left(x+{\frac {f(k)}{t^{k}}}\right)}$$

puede estudiarse desde el punto de vista de las clases de números de Stirling generalizados de primera especie definidos por los siguientes coeficientes de las potencias de x en las expansiones de ( x ) _{n , f , t} y luego por la siguiente relación de recurrencia triangular correspondiente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}&=\left[x^{k-1}\right](x)_{n,f,t}\\&=f(n-1)t^{1-n}\left[{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}+\left[{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right]_{f,t}+\delta _{n,0}\delta _{k,0}.\end{aligned}}}$$

Estos coeficientes satisfacen una serie de propiedades análogas a las de los números de Stirling de primer tipo , así como relaciones de recurrencia y ecuaciones funcionales relacionadas con los números f -armónicos, ^[12]$${\displaystyle F_{n}^{(r)}(t):=\sum _{k\leq n}{\frac {t^{k}}{f(k)^{r}}}\,.}$$

• Símbolo k del martillo perforador
• Identidad de Vandermonde

• Weisstein, Eric W. "Símbolo del martillo perforador". MathWorld .