Estabilidad exponencial

En teoría de control , un sistema lineal continuo invariante en el tiempo (LTI) es exponencialmente estable si y solo si el sistema tiene valores propios (es decir, los polos de los sistemas de entrada a salida) con partes reales estrictamente negativas (es decir, en la mitad izquierda del plano complejo ). ^[1] Un sistema LTI de entrada a salida de tiempo discreto es exponencialmente estable si y solo si los polos de su función de transferencia se encuentran estrictamente dentro del círculo unitario centrado en el origen del plano complejo. Los sistemas que no son LTI son exponencialmente estables si su convergencia está limitada por el decaimiento exponencial . La estabilidad exponencial es una forma de estabilidad asintótica , válida para sistemas dinámicos más generales .

Un sistema LTI exponencialmente estable es aquel que no "explotará" (es decir, no dará una salida ilimitada) cuando se le dé una entrada finita o una condición inicial distinta de cero. Además, si se le da al sistema una entrada finita y fija (es decir, un paso ), entonces cualquier oscilación resultante en la salida decaerá a una tasa exponencial , y la salida tenderá asintóticamente a un nuevo valor final de estado estable. Si, en cambio, se le da al sistema un impulso delta de Dirac como entrada, entonces las oscilaciones inducidas desaparecerán y el sistema volverá a su valor anterior. Si las oscilaciones no desaparecen, o el sistema no vuelve a su salida original cuando se aplica un impulso, el sistema es, en cambio, marginalmente estable .

El gráfico de la derecha muestra la respuesta al impulso de dos sistemas similares. La curva verde es la respuesta del sistema con respuesta al impulso , mientras que la azul representa el sistema . Aunque una respuesta es oscilatoria, ambas vuelven al valor original de 0 con el tiempo. ${\displaystyle y(t)=e^{-{\frac {t}{5}}}}$${\displaystyle y(t)=e^{-{\frac {t}{5}}}\sin(t)}$

Imaginemos que ponemos una canica en un cucharón. Se asentará en el punto más bajo del cucharón y, a menos que la toquen, se quedará allí. Ahora imaginemos que le damos un empujón, lo que es una aproximación a un impulso delta de Dirac . La canica rodará hacia adelante y hacia atrás, pero finalmente se asentará en el fondo del cucharón. Si dibujáramos la posición horizontal de la canica a lo largo del tiempo, obtendríamos una sinusoide que disminuye gradualmente, similar a la curva azul de la imagen de arriba.

En este caso, la entrada escalonada requiere que la canica se mantenga alejada del fondo del cucharón para que no pueda rodar hacia atrás. Permanecerá en la misma posición y no seguirá alejándose del fondo del cucharón bajo esta fuerza constante igual a su peso, como sucedería si el sistema fuera solo marginalmente estable o completamente inestable.

Es importante señalar que en este ejemplo el sistema no es estable para todas las entradas. Si se le da un empujón lo suficientemente fuerte a la canica, esta se caerá del cucharón y caerá, deteniéndose solo cuando llegue al suelo. Por lo tanto, para algunos sistemas es adecuado afirmar que un sistema es exponencialmente estable en un cierto rango de entradas .

• Estabilidad marginal
• Teoría del control
• Espacio de estados (controles)

• Estimación de parámetros y estabilidad asintótica en el filtrado estocástico, Anastasia Papavasiliou∗28 de septiembre de 2004