Medidas exponencialmente equivalentes

En matemáticas , la equivalencia exponencial de medidas es cómo dos secuencias o familias de medidas de probabilidad son "iguales" desde el punto de vista de la teoría de grandes desviaciones .

Sea un espacio métrico y considere dos familias de medidas de probabilidad de un parámetro en , digamos y . Se dice que estas dos familias son exponencialmente equivalentes si existen${\estilo de visualización (M,d)}$${\estilo de visualización M}$${\displaystyle (\mu _{\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$${\displaystyle (\nu _ {\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$

• una familia de espacios de probabilidad de un solo parámetro ,${\displaystyle (\Omega ,\Sigma _{\varepsilon },P_{\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$
• dos familias de variables aleatorias con valores y ,${\estilo de visualización M}$${\displaystyle (Y_{\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$${\displaystyle (Z_{\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$

de tal manera que

• para cada , la -ley (es decir, la medida de empuje hacia adelante ) de es , y la -ley de es ,${\displaystyle \varepsilon >0}$${\ Displaystyle P _ {\ varepsilon}}$${\displaystyle Y_{\varepsilon}}$${\displaystyle \mu _{\varepsilon }}$${\ Displaystyle P _ {\ varepsilon}}$${\displaystyle Z_{\varepsilon }}$${\displaystyle \nu _{\varepsilon }}$
• para cada uno , " y están más separados" es un evento medible , es decir${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle Y_{\varepsilon}}$${\displaystyle Z_{\varepsilon }}$${\estilo de visualización \delta}$${\displaystyle \Sigma _{\varepsilon }}$

${\displaystyle {\big \{}\omega \en \Omega {\big |}d(Y_{\varepsilon }(\omega ),Z_{\varepsilon }(\omega ))>\delta {\big \}}\en \Sigma _{\varepsilon },}$

• Para cada uno ,${\displaystyle \delta >0}$

${\displaystyle \limsup _{\varepsilon \downarrow 0}\,\varepsilon \log P_{\varepsilon }{\big (}d(Y_{\varepsilon },Z_{\varepsilon })>\delta {\big )}=-\infty .}$

También se dice que las dos familias de variables aleatorias son exponencialmente equivalentes .${\displaystyle (Y_{\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$${\displaystyle (Z_{\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$

El uso principal de la equivalencia exponencial es que, en lo que respecta a los principios de grandes desviaciones, las familias de medidas exponencialmente equivalentes son indistinguibles. Más precisamente, si un principio de grandes desviaciones se cumple para con una buena función de tasa , y y son exponencialmente equivalentes, entonces el mismo principio de grandes desviaciones se cumple para con la misma buena función de tasa .${\displaystyle (\mu _{\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle (\mu _{\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$${\displaystyle (\nu _ {\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$${\displaystyle (\nu _ {\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$${\displaystyle I}$

• Dembo, Amir; Zeitouni, Ofer (1998). Grandes desviaciones, técnicas y aplicaciones . Aplicaciones de las matemáticas (Nueva York) 38 (segunda edición). Nueva York: Springer-Verlag. pp. xvi+396. ISBN 0-387-98406-2.Señor 1619036  .(Véase la sección 4.2.2)