Factorial exponencial

El factorial exponencial es un entero positivo n elevado a la potencia n −  1, que a su vez se eleva a la potencia n  − 2, y así sucesivamente en orden de agrupación por la derecha. Es decir,

${\displaystyle n^{(n-1)^{(n-2)\cdots}}}$

El factorial exponencial también se puede definir con la relación de recurrencia

${\displaystyle a_{1}=1,\quad a_{n}=n^{a_{n-1}}}$

Los primeros factores exponenciales son 1 , 2 , 9 , 262144 , ... ( OEIS : A049384 o OEIS : A132859 ). Por ejemplo, 262144 es un factorial exponencial ya que

${\displaystyle 262144=4^{3^{2^{1}}}}$

Utilizando la relación de recurrencia, los primeros factoriales exponenciales son:

1

2 ¹ = 2

3 ² = 9

4 ⁹ = 262144

5 ²⁶²¹⁴⁴ = 6206069878...8212890625 (183231 dígitos)

Los factoriales exponenciales crecen mucho más rápido que los factoriales regulares o incluso los hiperfactoriales . El número de dígitos del factorial exponencial de 6 es aproximadamente 5 × 10 ^{183 230} .

La suma de los recíprocos de los factoriales exponenciales de 1 en adelante es el siguiente número trascendental :

${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2^{1}}}+{\frac {1}{3^{2^{1}}}}+{\frac {1}{4^{3^{2^{1}}}}}+{\frac {1}{5^{4^{3^{2^{1}}}}}}+{\frac {1}{6^{5^{4^{3^{2^{1}}}}}}}+\ldots =1.611114925808376736\underbrace {111111111111\ldots 111111111111} _{183212}272243682859\ldots }$

Esta suma es trascendental porque es un número de Liouville .

Al igual que la tetración , actualmente no existe un método aceptado de extensión de la función factorial exponencial a valores reales y complejos de su argumento, a diferencia de la función factorial , para la cual dicha extensión la proporciona la función gamma . Pero es posible expandirla si se define en un ancho de banda de 1.

De manera similar, existe un desacuerdo sobre el valor apropiado en 0; cualquier valor sería coherente con la definición recursiva. Una extensión suave a los números reales satisfaría , lo que sugiere un valor estrictamente entre 0 y 1.${\displaystyle f(0)=f'(1)}$

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• Jonathan Sondow, "Factorial exponencial" De Mathworld , un recurso web de Wolfram

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