Teorema de Erdös-Fuchs

En matemáticas , en el área de la teoría de números aditivos , el teorema de Erdős-Fuchs es una afirmación sobre el número de formas en que los números pueden representarse como una suma de elementos de una base aditiva dada , afirmando que el orden promedio de este número no puede estar demasiado cerca de ser una función lineal .

El teorema recibe su nombre de Paul Erdős y Wolfgang Heinrich Johannes Fuchs , quienes lo publicaron en 1956. ^[1]

Sea un subconjunto infinito de los números naturales y su función de representación , que denota el número de formas en que un número natural puede expresarse como suma de elementos de (teniendo en cuenta el orden). Luego, consideramos la función de representación acumulada que cuenta (teniendo en cuenta también el orden) el número de soluciones de , donde . El teorema establece entonces que, para cualquier , la relación no puede satisfacerse; es decir, no hay forma de satisfacer la estimación anterior.${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq \mathbb {N} }$${\displaystyle r_{{\mathcal {A}},h}(n)}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización h}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$$${\displaystyle s_{{\mathcal {A}},h}(x):=\sum _{n\leqslant x}r_{{\mathcal {A}},h}(n),}$$${\displaystyle k_{1}+\cdots +k_{h}\leqslant x}$${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{h}\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle c>0}$$${\displaystyle s_{{\mathcal {A}},2}(n)=cn+o\left(n^{1/4}\log(n)^{-1/2}\right)}$$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq \mathbb {N} }$

El teorema de Erdős-Fuchs tiene una interesante historia de precedentes y generalizaciones. En 1915, ya era conocido por GH Hardy ^[2] que en el caso de la sucesión de cuadrados perfectos se tiene Esta estimación es un poco mejor que la descrita por Erdős-Fuchs, pero a costa de una ligera pérdida de precisión, P. Erdős y WHJ Fuchs lograron una generalidad completa en su resultado (al menos para el caso ). Otra razón por la que este resultado es tan celebrado puede deberse al hecho de que, en 1941, P. Erdős y P. Turán ^[3] conjeturaron que, sujeta a las mismas hipótesis que en el teorema enunciado, la relación no podía cumplirse. Este hecho permaneció sin demostrar hasta 1956, cuando Erdős y Fuchs obtuvieron su teorema, que es incluso más fuerte que la estimación conjeturada anteriormente.${\displaystyle {\mathcal {Q}}:=\{0,1,4,9,\ldots \}}$$${\displaystyle \limsup _{n\to +\infty} {\frac {\left|s_{{\mathcal {Q}},2}(n)-\pi n\right|}{n^{1/4}\log(n)^{1/4}}}>0}$$${\estilo de visualización h=2}$$${\displaystyle s_{{\mathcal {A}},2}(n)=cn+O(1)}$$

Este teorema se ha ampliado en diversas direcciones. En 1980, A. Sárközy ^[4] consideró dos sucesiones que son "próximas" en algún sentido. Demostró lo siguiente:

• Teorema (Sárközy, 1980) . Si y son dos subconjuntos infinitos de números naturales con , entonces no puede cumplirse para ninguna constante${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{a_{1}<a_{2}<\ldots \}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{b_{1}<b_{2}<\ldots \}}$${\displaystyle a_{i}-b_{i}=o{\big (}a_{i}^{1/2}\log(a_{i})^{-1}{\big )}}$${\displaystyle |\{(i,j):a_{i}+b_{j}\leqslant n\}|=cn+o{\big (}n^{1/4}\log(n)^{-1/2}{\big )}}$ .${\displaystyle c>0}$

En 1990, HL Montgomery y RC Vaughan ^[5] lograron eliminar el logaritmo del lado derecho del enunciado original de Erdős–Fuchs, demostrando que no se cumple. En 2004, Gábor Horváth ^[6] amplió ambos resultados y demostró lo siguiente:$${\displaystyle s_{{\mathcal {A}},2}(n)=cn+o(n^{1/4})}$$

• Teorema (Horváth, 2004). Si y son subconjuntos infinitos de números naturales con y , entonces no puede cumplirse para ninguna constante .${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{a_{1}<a_{2}<\ldots \}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{b_{1}<b_{2}<\ldots \}}$${\displaystyle a_{i}-b_{i}=o{\big (}a_{i}^{1/2}{\big )}}$${\displaystyle |{\mathcal {A}}\cap [0,n]|-|{\mathcal {B}}\cap [0,n]|=O(1)}$${\displaystyle |\{(i,j):a_{i}+b_{j}\leqslant n\}|=cn+o{\big (}n^{1/4}{\big )}}$${\displaystyle c>0}$

Se sabe que la generalización natural del teorema de Erdős-Fuchs, es decir, para , es válida con la misma fuerza que la versión de Montgomery-Vaughan. De hecho, M. Tang ^[7] demostró en 2009 que, en las mismas condiciones que en el enunciado original de Erdős-Fuchs, para cada la relación no puede ser válida. En otra dirección, en 2002, Gábor Horváth ^[8] dio una generalización precisa del resultado de Sárközy de 1980, mostrando que${\displaystyle h\geqslant 3}$${\displaystyle h\geqslant 2}$$${\displaystyle s_{{\mathcal {A}},h}(n)=cn+o(n^{1/4})}$$

• Teorema (Horváth, 2002) Si ( ) son ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{(j)}=\{a_{1}^{(j)}<a_{2}^{(j)}<\ldots \}}$${\displaystyle j=1,\lpuntos ,k}$ (al menos dos) subconjuntos infinitos de números naturales y las siguientes estimaciones son válidas:${\estilo de visualización k}$

1. ${\displaystyle a_{i}^{(1)}-a_{i}^{(2)}=o{\big (}(a_{i}^{(1)})^{1/2}\log(a_{i}^{(1)})^{-k/2}{\big )}}$
2. ${\displaystyle |{\mathcal {A}}^{(j)}\cap [0,n]|=\Theta {\big (}|{\mathcal {A}}^{(1)}\cap [0,n]|{\big )}}$(para )${\displaystyle j=3,\lpuntos ,k}$

entonces la relación:

${\displaystyle |\{(i_{1},\ldots ,i_{k}):a_{i_{1}}^{(1)}+\ldots +a_{i_{k}}^{(k)}\leqslant n,~a_{i_{j}}^{(j)}\in {\mathcal {A}}^{(j)}(j=1,\ldots ,k)\}|=cn+o{\big (}n^{1/4}\log(n)^{1-3k/4}{\big )}}$

no puede sostenerse para ninguna constante .${\displaystyle c>0}$

Otra dirección en la que se puede mejorar el teorema de Erdős-Fuchs es considerando aproximaciones a valores distintos de los de algún . En 1963, Paul T. Bateman , Eugene E. Kohlbecker y Jack P. Tull ^[9] demostraron una versión ligeramente más sólida de lo siguiente:${\displaystyle s_{{\mathcal {A}},h}(n)}$${\estilo de visualización cn}$${\displaystyle c>0}$

• Teorema (Bateman–Kohlbecker–Tull, 1963). Sea una función que varía lentamente y que es convexa o cóncava a partir de un punto determinado. Entonces, en las mismas condiciones que en el teorema original de Erdős–Fuchs, no podemos tener${\estilo de visualización L(x)}$ , donde si está acotado, y en caso contrario.${\displaystyle s_{{\mathcal {A}},2}(n)=nL(n)+o{\big (}n^{1/4}\log(n)^{-1/2}L(n)^{\alpha }{\big )}}$ ${\displaystyle \alpha = 3/4}$ ${\estilo de visualización L(x)}$ ${\estilo de visualización 1/4}$

Al final de su artículo también se observa que es posible ampliar su método para obtener resultados considerando con , pero dichos resultados se consideran no suficientemente definitivos.${\displaystyle n^{\gamma}}$${\displaystyle \gamma \neq 1}$

• Teorema de Erdős-Tetali : Para cualquier , existe un conjunto que satisface . (Existencia de bases económicas)${\displaystyle h\geq 2}$${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq \mathbb {N} }$${\displaystyle r_{{\mathcal {A}},h}(n)=\Theta (\log(n))}$
• Conjetura de Erdős–Turán sobre bases aditivas : Si es una base aditiva de orden 2, entonces . (Las bases no pueden ser demasiado económicas)${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq \mathbb {N} }$${\displaystyle r_{{\mathcal {A}},2}(n)\neq O(1)}$

• Newman, DJ (1998). Teoría analítica de números . GTM . Vol. 177. Nueva York: Springer. Págs. 31–38. ISBN. 0-387-98308-2.
• Halberstam, H. ; Roth, KF (1983) [1966]. Secuencias (2.ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90801-4.Sr. 0210679  .