Producto vacío

En matemáticas , un producto vacío , o producto nulo o producto vacuo , es el resultado de no multiplicar ningún factor . Por convención, es igual a la identidad multiplicativa (suponiendo que hay una identidad para la operación de multiplicación en cuestión), así como la suma vacía —el resultado de no sumar números— es por convención cero , o la identidad aditiva. ^{[1] [2] [3] [4]} Cuando se implican números, el producto vacío se convierte en uno .

El término producto vacío se utiliza con mayor frecuencia en el sentido antes mencionado cuando se habla de operaciones aritméticas . Sin embargo, el término se emplea a veces cuando se habla de intersecciones de teoría de conjuntos , productos categóricos y productos en programación informática .

Sea a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... una secuencia de números, y sea

${\displaystyle P_{m}=\prod_{i=1}^{m}a_{i}=a_{1}\cdots a_{m}}$

sea ​​el producto de los primeros m elementos de la secuencia. Entonces

${\displaystyle P_{m}=P_{m-1}a_{m}}$

para todo m = 1, 2, ... siempre que usemos la convención . En otras palabras, un "producto" sin factores en absoluto evalúa a 1. Permitir un "producto" con cero factores reduce el número de casos a considerar en muchas fórmulas matemáticas . Un "producto" de este tipo es un punto de partida natural en las demostraciones de inducción , así como en los algoritmos . Por estas razones, la convención "el producto vacío es uno" es una práctica común en matemáticas y programación informática.$Estilo de visualización P_{0}=1$

La noción de producto vacío es útil por la misma razón que lo son el número cero y el conjunto vacío : si bien parecen representar nociones bastante poco interesantes, su existencia permite una presentación matemática mucho más breve de muchos temas.

Por ejemplo, los productos vacíos 0! = 1 (el factorial de cero) y x ⁰  = 1 acortan la notación de la serie de Taylor (ver cero a la potencia de cero para una discusión de cuándo x  = 0). De la misma manera, si M es una matriz n  ×  n , entonces M ⁰ es la matriz identidad n  ×  n , lo que refleja el hecho de que aplicar una función lineal cero veces tiene el mismo efecto que aplicar la función identidad .

Como otro ejemplo, el teorema fundamental de la aritmética dice que todo entero positivo mayor que 1 puede escribirse únicamente como producto de primos. Sin embargo, si no permitimos productos con sólo 0 o 1 factores, entonces el teorema (y su demostración) se hacen más largos. ^{[5] [6]}

Se pueden encontrar más ejemplos del uso del producto vacío en matemáticas en el teorema binomial (que supone e implica que x ⁰ = 1 para todo x ), el número de Stirling , el teorema de König , el tipo binomial , la serie binomial , el operador de diferencia y el símbolo de Pochhammer .

Dado que los logaritmos convierten productos en sumas:

${\displaystyle \ln \prod _{i}x_{i}=\sum _{i}\ln x_{i}}$

Asignan un producto vacío a una suma vacía .

Por el contrario, la función exponencial transforma las sumas en productos:

${\displaystyle e^{\sum _{i}x_{i}}=\prod _{i}e^{x_{i}}}$

y asigna una suma vacía a un producto vacío.

Consideremos la definición general del producto cartesiano :

${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}=\left\{g:I\to \bigcup _{i\in I}X_{i}\mid \forall i\ g(i)\in X_{i}\right\}.}$

Si I está vacío, la única g tal es la función vacía , que es el único subconjunto de que es una función , es decir, el subconjunto vacío (el único subconjunto que tiene):${\displaystyle f_{\varnothing }}$${\displaystyle \varnothing \times \varnothing }$${\displaystyle \varnothing \to \varnothing }$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle \varnothing \times \varnothing =\varnothing }$

${\displaystyle \prod _{\varnothing }{}=\left\{f_{\varnothing }:\varnothing \to \varnothing \right\}=\{\varnothing \}.}$

Por lo tanto, la cardinalidad del producto cartesiano de ningún conjunto es 1.

Según la interpretación de n - tuplas , quizás más conocida ,

${\displaystyle \prod _{\varnothing }{}=\{()\},}$

es decir, el conjunto singleton que contiene la tupla vacía . Nótese que en ambas representaciones el producto vacío tiene cardinalidad 1 – la cantidad de todas las maneras de producir 0 salidas a partir de 0 entradas es 1.

En cualquier categoría , el producto de una familia vacía es un objeto terminal de esa categoría. Esto se puede demostrar utilizando la definición límite del producto. Un producto categórico n -fold se puede definir como el límite con respecto a un diagrama dado por la categoría discreta con n objetos. Un producto vacío se da entonces por el límite con respecto a la categoría vacía, que es el objeto terminal de la categoría si existe. Esta definición se especializa para dar resultados como los anteriores. Por ejemplo, en la categoría de conjuntos el producto categórico es el producto cartesiano habitual, y el objeto terminal es un conjunto singleton. En la categoría de grupos el producto categórico es el producto cartesiano de grupos, y el objeto terminal es un grupo trivial con un elemento. Para obtener la definición aritmética habitual del producto vacío debemos tomar la descategorización del producto vacío en la categoría de conjuntos finitos.

Dualmente , el coproducto de una familia vacía es un objeto inicial . Los productos o coproductos categóricos nulos pueden no existir en una categoría dada; por ejemplo, en la categoría de los cuerpos , no existe ninguno.

La lógica clásica define la operación de conjunción , que se generaliza a la cuantificación universal en el cálculo de predicados y se conoce ampliamente como multiplicación lógica porque intuitivamente identificamos verdadero con 1 y falso con 0 y nuestra conjunción se comporta como un multiplicador ordinario. Los multiplicadores pueden tener un número arbitrario de entradas. En el caso de 0 entradas, tenemos una conjunción vacía , que es idénticamente igual a verdadero.

Esto está relacionado con otro concepto de la lógica, la verdad vacía , que nos dice que un conjunto vacío de objetos puede tener cualquier propiedad. Se puede explicar por la forma en que la conjunción (como parte de la lógica en general) trata con valores menores o iguales a 1. Esto significa que cuanto más larga sea la conjunción, mayor será la probabilidad de terminar con 0. La conjunción simplemente comprueba las proposiciones y devuelve 0 (o falso) tan pronto como una de las proposiciones se evalúa como falsa. Reducir el número de proposiciones unidas aumenta la posibilidad de pasar la verificación y quedarse con 1. En particular, si hay 0 pruebas o miembros para verificar, ninguno puede fallar, por lo que, por defecto, siempre debemos tener éxito independientemente de qué proposiciones o propiedades de los miembros se vayan a probar.

Muchos lenguajes de programación, como Python , permiten la expresión directa de listas de números, e incluso funciones que admiten una cantidad arbitraria de parámetros. Si un lenguaje de este tipo tiene una función que devuelve el producto de todos los números de una lista, normalmente funciona así:

>>> matemáticas . prod ([ 2 ,  3 ,  5 ]) 30 >>> matemáticas . prod ([ 2 ,  3 ]) 6 >>> matemáticas . prod ([ 2 ]) 2 >>> matemáticas . prod ([]) 1

(Nota: prodno está disponible en el mathmódulo anterior a la versión 3.8).

Esta convención ayuda a evitar tener que codificar casos especiales como "si la longitud de la lista es 1" o "si la longitud de la lista es cero".

La multiplicación es un operador infijo y, por lo tanto, un operador binario, lo que complica la notación de un producto vacío. Algunos lenguajes de programación solucionan este problema implementando funciones variádicas . Por ejemplo, la notación de prefijo completamente entre paréntesis de los lenguajes Lisp da lugar a una notación natural para funciones nularias :

(* 2 2 2) ; evalúa a 8(* 2 2) ; evalúa a 4(* 2) ; evalúa a 2(*) ; evalúa a 1

• Operación binaria iterada
• Función vacía

• Artículo de PlanetMath sobre el producto vacío