Equivalencia elemental

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En la teoría de modelos , una rama de la lógica matemática , dos estructuras M y N de la misma firma σ se denominan elementalmente equivalentes si satisfacen las mismas oraciones σ de primer orden .

Si N es una subestructura de M , a menudo se necesita una condición más fuerte. En este caso, N se llama subestructura elemental de M si cada σ -fórmula de primer orden φ ( a ₁ , …,  a _n ) con parámetros a ₁ , …,  a _n de N es verdadera en N si y solo si es verdadera en  M . Si N es una subestructura elemental de M , entonces M se llama extensión elemental de  N . Una incrustación h :  N  →  M se llama incrustación elemental de N en M si h ( N ) es una subestructura elemental de  M .

Una subestructura N de M es elemental si y solo si pasa la prueba de Tarski–Vaught : toda fórmula de primer orden φ ( x ,  b ₁ , …,  b _n ) con parámetros en N que tiene una solución en M también tiene una solución en  N cuando se evalúa en  M . Se puede demostrar que dos estructuras son elementalmente equivalentes con los juegos de Ehrenfeucht–Fraïssé .

Las incrustaciones elementales se utilizan en el estudio de cardinales grandes , incluido el rango dentro de rango .

Dos estructuras M y N de la misma signatura  σ son elementalmente equivalentes si cada enunciado de primer orden (fórmula sin variables libres) sobre  σ es verdadero en M si y solo si es verdadero en N , es decir, si M y N tienen la misma teoría completa de primer orden. Si M y N son elementalmente equivalentes, se escribe M  ≡  N .

Una teoría de primer orden está completa si y sólo si dos de sus modelos son elementalmente equivalentes.

Por ejemplo, considere el lenguaje con un símbolo de relación binaria '<'. El modelo R de números reales con su orden habitual y el modelo Q de números racionales con su orden habitual son elementalmente equivalentes, ya que ambos interpretan '<' como un ordenamiento lineal denso ilimitado . Esto es suficiente para asegurar la equivalencia elemental, porque la teoría de los ordenamientos lineales densos ilimitados está completa, como se puede demostrar mediante la prueba de Łoś–Vaught .

En términos más generales, cualquier teoría de primer orden con un modelo infinito tiene modelos no isomorfos, elementalmente equivalentes, que pueden obtenerse mediante el teorema de Löwenheim-Skolem . Así, por ejemplo, existen modelos no estándar de la aritmética de Peano , que contienen otros objetos además de los números 0, 1, 2, etc., y sin embargo son elementalmente equivalentes al modelo estándar.

N es una subestructura elemental o submodelo elemental de M si N y M son estructuras de la misma firma  σ tales que para todas las σ -fórmulas de primer orden φ ( x ₁ , …,  x _n ) con variables libres x ₁ , …,  x _n , y todos los elementos a ₁ , …,  a _n de  N , φ ( a ₁ , …,  a _n ) se cumple en N si y solo si se cumple en M :$${\displaystyle N\models \varphi (a_{1},\dots ,a_{n}){\text{ si y solo si }}M\models \varphi (a_{1},\dots ,a_{n}).}$$

Esta definición aparece por primera vez en Tarski, Vaught (1957). ^[1] De ello se deduce que N es una subestructura de M .

Si N es una subestructura de M , entonces tanto N como M pueden interpretarse como estructuras en la signatura σ _N que consisten en σ junto con un nuevo símbolo constante para cada elemento de  N . Entonces N es una subestructura elemental de M si y solo si N es una subestructura de M y N y M son elementalmente equivalentes como σ _N -estructuras.

Si N es una subestructura elemental de M , se escribe N M y se dice que M es una extensión elemental de N : M N .${\displaystyle \precisión}$ ${\displaystyle \succeq}$

El teorema de Löwenheim-Skolem descendente proporciona una subestructura elemental contable para cualquier estructura infinita de primer orden con una firma contable como máximo; el teorema de Löwenheim-Skolem ascendente proporciona extensiones elementales de cualquier estructura infinita de primer orden con una cardinalidad arbitrariamente grande.

La prueba de Tarski-Vaught (o criterio de Tarski-Vaught ) es una condición necesaria y suficiente para que una subestructura N de una estructura M sea una subestructura elemental. Puede ser útil para construir una subestructura elemental de una estructura grande.

Sea M una estructura de signatura σ y N una subestructura de M . Entonces N es una subestructura elemental de M si y solo si para cada fórmula de primer orden φ ( x ,  y ₁ , …,  y _n ) sobre σ y todos los elementos b ₁ , …,  b _n de N , si M x φ ( x ,  b ₁ , …,  b _n ), entonces hay un elemento a en N tal que M φ ( a ,  b ₁ , …,  b _n ).${\displaystyle \modelos}$ ${\displaystyle \existe}$  ${\displaystyle \modelos}$

Una incrustación elemental de una estructura N en una estructura M de la misma firma σ es una función h :  N  →  M tal que para cada σ -fórmula de primer orden φ ( x ₁ , …,  x _n ) y todos los elementos a ₁ , …,  a _n de  N ,

N φ ( a ₁ , …,  a _n ) si y sólo si M φ ( h ( a ₁ ), …,  h ( a _n )).${\displaystyle \modelos}$ ${\displaystyle \modelos}$

Toda incrustación elemental es un homomorfismo fuerte , y su imagen es una subestructura elemental.

Las incrustaciones elementales son las aplicaciones más importantes en la teoría de modelos. En la teoría de conjuntos , las incrustaciones elementales cuyo dominio es V (el universo de la teoría de conjuntos) desempeñan un papel importante en la teoría de cardinales grandes (véase también Punto crítico ).

• Chang, Chen Chung ; Keisler, H. Jerome (1990) [1973], Teoría de modelos , Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas (3.ª ed.), Elsevier, ISBN 978-0-444-88054-3.
• Hodges, Wilfrid (1997), Una teoría de modelos más breve , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58713-6.
• Monk, J. Donald (1976), Lógica matemática , Textos de posgrado en matemáticas, Nueva York • Heidelberg • Berlín: Springer Verlag, ISBN 0-387-90170-1