Álgebra de Lie solucionable

Grupos de Lie y álgebras de Lie
Grupos clásicos GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) O( n ) ortogonal SO( n ) ortogonal especial Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n)
Simple Lie groups Classical An Bn Cn Dn Exceptional G2 F4 E6 E7 E8
Other Lie groups Circle Lorentz Poincaré Conformal group Diffeomorphism Loop Euclidean
Lie algebras Lie group–Lie algebra correspondence Exponential map Adjoint representation Killing form Index Simple Lie algebra Loop algebra Affine Lie algebra
Semisimple Lie algebra Dynkin diagrams Cartan subalgebra Root system Weyl group Real form Complexification Split Lie algebra Compact Lie algebra
Representation theory Lie group representation Lie algebra representation Representation theory of semisimple Lie algebras Representations of classical Lie groups Theorem of the highest weight Borel–Weil–Bott theorem
Lie groups in physics Particle physics and representation theory Lorentz group representations Poincaré group representations Galilean group representations
Scientists Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glossary Table of Lie groups
v t e

En matemáticas , un álgebra de Lie es resoluble si su serie derivada termina en la subálgebra cero. El álgebra de Lie derivada del álgebra de Lie es la subálgebra de , denotada${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$

que consta de todas las combinaciones lineales de corchetes de Lie de pares de elementos de . La serie derivada es la secuencia de subálgebras${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\geq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\geq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]\geq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\geq ...}$

Si la serie derivada finalmente llega al subálgebra cero, entonces el álgebra de Lie se llama resoluble. ^[1] La serie derivada para las álgebras de Lie es análoga a la serie derivada para los subgrupos de conmutadores en la teoría de grupos , y las álgebras de Lie resolubles son análogas de los grupos resolubles .

Cualquier álgebra de Lie nilpotente es a fortiori resoluble, pero la recíproca no es cierta. Las álgebras de Lie resolubles y las álgebras de Lie semisimples forman dos clases grandes y generalmente complementarias, como lo demuestra la descomposición de Levi . Las álgebras de Lie resolubles son precisamente aquellas que se pueden obtener a partir de productos semidirectos , comenzando desde 0 y añadiendo una dimensión a la vez. ^[2]

Una subálgebra resoluble máxima se denomina subálgebra de Borel . El ideal resoluble más grande de un álgebra de Lie se denomina radical .

Sea un álgebra de Lie de dimensión finita sobre un cuerpo de característica 0. Las siguientes son equivalentes.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• (i) es solucionable.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• (ii) , la representación adjunta de , es solucionable.${\displaystyle {\rm {ad}}({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• (iii) Existe una secuencia finita de ideales de :${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{r}=0,\quad [{\mathfrak {a}}_{i},{\mathfrak {a}}_{i}]\subset {\mathfrak {a}}_{i+1}\,\,\forall i.}$

• (iv) es nilpotente. ^[3]${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$
• (v) Para -dimensional, existe una secuencia finita de subálgebras de :${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{n}=0,\quad \operatorname {dim} {\mathfrak {a}}_{i}/{\mathfrak {a}}_{i+1}=1\,\,\forall i,}$

siendo cada uno un ideal en . ^[4] Una secuencia de este tipo se llama secuencia elemental .${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i+1}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$

• (vi) Hay una secuencia finita de subálgebras de ,${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\supset {\mathfrak {g}}_{1}\supset ...{\mathfrak {g}}_{r}=0,}$

tal que es un ideal en y es abeliano. ^[5]${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i+1}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}/{\mathfrak {g}}_{i+1}}$

• (vii) La forma Killing de satisface para todos los X en e Y en . ^[6] Este es el criterio de Cartan para la solubilidad .${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle B(X,Y)=0}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$

El teorema de Lie establece que si es un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero , y es un álgebra de Lie resoluble, y si es una representación de sobre , entonces existe un vector propio simultáneo de los endomorfismos para todos los elementos . ^[7]${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle \pi (X)}$${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$

• Toda subálgebra de Lie y cociente de un álgebra de Lie resoluble son resolubles. ^[8]
• Dada un álgebra de Lie y un ideal en ella,${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es solucionable si y sólo si tanto y son solucionables. ^{[8] [2]}${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$

La afirmación análoga es cierta para las álgebras de Lie nilpotentes siempre que esté contenida en el centro. Por lo tanto, una extensión de un álgebra resoluble por un álgebra resoluble es resoluble, mientras que una extensión central de un álgebra nilpotente por un álgebra nilpotente es nilpotente.${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

• Un álgebra de Lie resoluble no nula tiene un ideal abeliano no nulo, el último término no cero en la serie derivada. ^[2]
• Si son ideales resolubles, entonces también lo es . ^[1] En consecuencia, si es de dimensión finita, entonces existe un único ideal resoluble que contiene todos los ideales resolubles en . Este ideal es el radical de . ^[2]${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {r}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• Un álgebra de Lie resoluble tiene un único ideal nilpotente más grande , llamado el nilradical , el conjunto de todos los que son nilpotentes. Si D es cualquier derivación de , entonces . ^[9]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\rm {ad}}_{X}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle D({\mathfrak {g}})\subset {\mathfrak {n}}}$

Un álgebra de Lie se llama completamente resoluble o resoluble dividida si tiene una secuencia elemental {(V) Como la definición anterior} de ideales en de a . Un álgebra de Lie nilpotente de dimensión finita es completamente resoluble, y un álgebra de Lie completamente resoluble es resoluble. Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, un álgebra de Lie resoluble es completamente resoluble, pero el álgebra de Lie real -dimensional del grupo de isometrías euclidianas del plano es resoluble pero no completamente resoluble.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle 3}$

Un álgebra de Lie resoluble es resoluble si y solo si los valores propios de están en para todo en . ^[2]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\rm {ad}}_{X}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Toda álgebra de Lie abeliana es resoluble por definición, ya que su conmutador . Esto incluye el álgebra de Lie de matrices diagonales en , que tienen la forma${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle [{\mathfrak {a}},{\mathfrak {a}}]=0}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&0&0\\0&*&0\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}}$

La estructura del álgebra de Lie en un espacio vectorial dada por el corchete trivial para dos matrices cualesquiera proporciona otro ejemplo.${\displaystyle n=3}$${\displaystyle V}$${\displaystyle [m,n]=0}$${\displaystyle m,n\in {\text{End}}(V)}$

Otra clase de ejemplos proviene de las álgebras de Lie nilpotentes , ya que la representación adjunta es resoluble. Algunos ejemplos incluyen las matrices de la diagonal superior, como la clase de matrices de la forma

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}0&*&*\\0&0&*\\0&0&0\end{bmatrix}}\right\}}$

llamada álgebra de Lie de matrices triangulares superiores estrictas . Además, el álgebra de Lie de matrices diagonales superiores forma un álgebra de Lie resoluble. Esto incluye matrices de la forma${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}}$

y se denota .${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{k}}$

Sea el conjunto de matrices en la forma${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle X=\left({\begin{matrix}0&\theta &x\\-\theta &0&y\\0&0&0\end{matrix}}\right),\quad \theta ,x,y\in \mathbb {R} .}$

Entonces es resoluble, pero no resoluble en división. ^[2] Es isomorfo con el álgebra de Lie del grupo de traslaciones y rotaciones en el plano.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Un álgebra de Lie semisimple nunca es solucionable ya que su radical , que es el ideal solucionable más grande en , es trivial. ^{[1] página 11}${\displaystyle {\mathfrak {l}}}$ ${\displaystyle {\text{Rad}}({\mathfrak {l}})}$${\displaystyle {\mathfrak {l}}}$

Debido a que el término "soluble" también se utiliza para grupos solubles en la teoría de grupos , existen varias definiciones posibles de grupo de Lie soluble . Para un grupo de Lie , hay${\displaystyle G}$

• terminación de la serie derivada habitual del grupo (como grupo abstracto);${\displaystyle G}$
• terminación de los cierres de las series derivadas;
• Tener un álgebra de Lie solucionable

• El criterio de Cartan
• Forma de matar
• Teorema de Lie-Kolchin
• Variedad Solv
• Mapeo de Dixmier

• Fulton, W. ; Harris, J. (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97527-6.Señor 1153249  .
• Humphreys, James E. (1972). Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 9. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5.
• Knapp, AW (2002). Grupos de Lie más allá de una introducción . Progreso en Matemáticas. Vol. 120 (2.ª ed.). Boston·Basel·Berlín: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5..
• Serre, Jean-Pierre (2001). Álgebras de mentira complejas semisimples . Berlín: Springer. ISBN 3-5406-7827-1.

• Artículo de EoM Álgebra de Lie, solucionable
• Artículo de EoM Grupo de Lie, solucionable