Teorema de Dedekind-Kummer

En la teoría de números algebraicos , el teorema de Dedekind-Kummer describe cómo un ideal primo en un dominio de Dedekind se factoriza sobre el cierre integral del dominio . ^[1]

Sea un cuerpo de números tal que para y sea el polinomio mínimo para sobre . Para cualquier primo que no divida a , escribe donde son polinomios mónicos irreducibles en . Luego, factoriza en ideales primos tales que . ^[2]${\estilo de visualización K}$${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\alpha )}$${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{K}}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización \alpha}$${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$${\estilo de visualización p}$${\displaystyle [{\mathcal {O}}_{K}:\mathbb {Z} [\alpha ]]}$$${\displaystyle f(x)\equiv \pi _{1}(x)^{e_{1}}\cdots \pi _{g}(x)^{e_{g}}\mod p}$$$estilo de visualización {\pi _{i}(x)}$${\displaystyle \mathbb {F}_{p}[x]}$${\displaystyle (p)=p{\mathcal {O}}_{K}}$$${\displaystyle (p)={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{g}^{e_{g}}}$$${\displaystyle N({\mathfrak {p}}_{i})=p^{\deg \pi _ {i}}}$

El teorema de Dedekind-Kummer se cumple de manera más general que en la situación de cuerpos numéricos: Sea un dominio de Dedekind contenido en su cuerpo cociente , una extensión de cuerpo finito y separable con para un generador adecuado y la clausura integral de . La situación anterior es solo un caso especial ya que se puede elegir ). ${\displaystyle {\mathcal {o}}}$${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización L/K}$${\displaystyle L=K[\theta ]}$${\estilo de visualización \theta}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {o}}}$${\displaystyle {\mathcal {o}}=\mathbb {Z}, K=\mathbb {Q},{\mathcal {O}}={\mathcal {O}}_{L}}$

Si es un ideal primo coprimo del conductor (es decir, su suma es ). Considere el polinomio mínimo de . El polinomio tiene la descomposición con polinomios irreducibles distintos por pares . La factorización de en ideales primos sobre está dada entonces por donde y son los polinomios elevados a . ^[1]${\displaystyle (0)\neq {\mathfrak {p}}\subseteq {\mathcal {o}}}$${\displaystyle {\mathfrak {F}}=\{a\in {\mathcal {O}}\mid a{\mathcal {O}}\subseteq {\mathcal {o}}[\theta ]\}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle f\in {\mathcal {o}}[x]}$${\estilo de visualización \theta}$${\displaystyle {\overline {f}}\en ({\mathcal {o}}/{\mathfrak {p}})[x]}$$${\displaystyle {\overline {f}}={\overline {f_{1}}}^{e_{1}}\cdots {\overline {f_{r}}}^{e_{r}}}$$${\displaystyle {\overline {f_{i}}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$$${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {P}}_{r}^{e_{r}}}$$${\displaystyle {\mathfrak {P}}_{i}={\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}+(f_{i}(\theta){\mathcal {O}})}$$estilo de visualización f_{i}}$${\displaystyle {\overline {f_{i}}}}$${\displaystyle {\mathcal {o}}[x]}$