Curva

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Los curvelets son una técnica no adaptativa para la representación de objetos en múltiples escalas . Al ser una extensión del concepto de wavelet , se están volviendo populares en campos similares, a saber, en el procesamiento de imágenes y la computación científica .

Las wavelets generalizan la transformada de Fourier utilizando una base que representa tanto la ubicación como la frecuencia espacial. Para señales 2D o 3D, las transformadas wavelet direccionales van más allá, utilizando funciones base que también están localizadas en orientación . Una transformada de curvelet se diferencia de otras transformadas wavelet direccionales en que el grado de localización en la orientación varía con la escala. En particular, las funciones base de escala fina son crestas largas; la forma de las funciones base en la escala j es de por lo que las bases de escala fina son crestas delgadas con una orientación determinada con precisión.${\displaystyle 2^{-j}}$${\displaystyle 2^{-j/2}}$

Los curvelets son una base apropiada para representar imágenes (u otras funciones) que son suaves, salvo las singularidades a lo largo de curvas suaves, donde las curvas tienen una curvatura limitada , es decir, donde los objetos en la imagen tienen una escala de longitud mínima. Esta propiedad se aplica a dibujos animados, diagramas geométricos y texto. A medida que uno se acerca a dichas imágenes, los bordes que contienen aparecen cada vez más rectos. Los curvelets aprovechan esta propiedad, al definir que los curvelets de mayor resolución sean más alargados que los de menor resolución. Sin embargo, las imágenes naturales (fotografías) no tienen esta propiedad; tienen detalles en todas las escalas. Por lo tanto, para las imágenes naturales, es preferible utilizar algún tipo de transformada wavelet direccional cuyas wavelets tengan la misma relación de aspecto en todas las escalas.

Cuando la imagen es del tipo correcto, las curvas proporcionan una representación considerablemente más dispersa que otras transformadas wavelet. Esto se puede cuantificar considerando la mejor aproximación de una imagen de prueba geométrica que se puede representar utilizando solo curvas wavelet y analizando el error de aproximación como una función de . Para una transformada de Fourier, el error al cuadrado disminuye solo como . Para una amplia variedad de transformadas wavelet, incluidas las variantes direccionales y no direccionales, el error al cuadrado disminuye como . La suposición adicional subyacente a la transformada de curvas le permite lograr .${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle O(1/{\sqrt {n}})}$${\displaystyle O(1/n)}$${\displaystyle O({(\log n)}^{3}/{n^{2}})}$

Existen algoritmos numéricos eficientes para calcular la transformada de curvas de datos discretos. El costo computacional de las transformadas de curvas discretas propuestas por Candès et al. (Transformada de curvas discreta basada en transformadas rápidas de Fourier desigualmente espaciadas y basada en la envoltura de muestras de Fourier especialmente seleccionadas) es aproximadamente de 6 a 10 veces el de una FFT, y tiene la misma dependencia de para una imagen de tamaño . ^[1]${\displaystyle O(n^{2}\log n)}$${\displaystyle n\times n}$

Para construir una curva básica y proporcionar un mosaico del espacio de frecuencia 2-D, se deben seguir dos ideas principales:${\displaystyle \phi }$

1. Considere coordenadas polares en el dominio de la frecuencia
2. Construir elementos curvilíneos apoyados localmente cerca de cuñas

El número de cuñas está en la escala , es decir, se duplica en cada segundo anillo circular.${\displaystyle N_{j}=4\cdot 2^{\left\lceil {\frac {j}{2}}\right\rceil }}$${\displaystyle 2^{-j}}$

Sea la variable en el dominio de la frecuencia y las coordenadas polares en el dominio de la frecuencia.${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}=\left(\xi _{1},\xi _{2}\right)^{T}}$${\displaystyle r={\sqrt {\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}}},\omega =\arctan {\frac {\xi _{1}}{\xi _{2}}}}$

Utilizamos el ansatz para las curvas básicas dilatadas en coordenadas polares:
${\displaystyle {\hat {\phi }}_{j,0,0}:=2^{\frac {-3j}{4}}W(2^{-j}r){\tilde {V}}_{N_{j}}(\omega ),r\geq 0,\omega \in [0,2\pi ),j\in N_{0}}$

Para construir una curva básica con soporte compacto cerca de una "cuña básica", las dos ventanas y necesitan tener un soporte compacto. Aquí, podemos simplemente tomar para cubrir con curvas dilatadas y de tal manera que cada anillo circular esté cubierto por las traslaciones de .${\displaystyle W}$${\displaystyle {\tilde {V}}_{N_{j}}}$${\displaystyle W(r)}$${\displaystyle (0,\infty )}$${\displaystyle {\tilde {V}}_{N_{j}}}$${\displaystyle {\tilde {V}}_{N_{j}}}$

Entonces, la admisibilidad produce _{ver Funciones de ventana para obtener más información.} Para agrupar un anillo circular en cuñas, donde es un entero positivo arbitrario, necesitamos una ventana no negativa periódica con soporte en su interior de modo que , para todos , se pueda construir simplemente como periodizaciones de una ventana escalada . Entonces, se deduce que
${\displaystyle \sum _{j=-\infty }^{\infty }\left|W(2^{-j}r)\right|^{2}=1,r\in (0,\infty ).}$

${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle {\tilde {V}}_{N}}$${\displaystyle \left[{\frac {-2\pi }{N}},{\frac {2\pi }{N}}\right]}$
${\displaystyle \sum _{l=0}^{N-1}{\tilde {V}}_{N}^{2}\left(\omega -{\frac {2\pi l}{N}}\right)=1}$
${\displaystyle \omega \in \left[0,2\pi \right)}$${\displaystyle {\tilde {V}}_{N}}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle V\left({\frac {N\omega }{2\pi }}\right)}$


${\displaystyle \sum _{l=0}^{N_{j}-1}\left|2^{\frac {3j}{4}}{\hat {\phi }}_{j,0,0}\left(r,\omega -{\frac {2\pi l}{N_{j}}}\right)\right|^{2}=\left|W(2^{-j}r)\right|^{2}\sum _{l=0}^{N_{j}-1}{\tilde {V}}_{N_{j}}^{2}\left(\omega -{\frac {2\pi l}{N}}\right)=\left|W(2^{-j}r)\right|^{2}}$

Para una cobertura completa del plano de frecuencia incluyendo la región alrededor de cero, necesitamos definir un elemento paso bajo que esté apoyado en el círculo unitario y donde no consideramos ninguna rotación.
${\displaystyle {\hat {\phi }}_{-1}:=W_{0}(\left|\xi \right|)}$
${\displaystyle W_{0}^{2}(r)^{2}:=1-\sum _{j=0}^{\infty }W(2^{-j}r)^{2}}$

• Procesamiento de imágenes
• Exploración sísmica
• Mecánica de fluidos
• Solución de ecuaciones en derivadas parciales
• Detección comprimida

• Transformada de Bandelet
• Transformación de Chirplet
• Transformación de contornos
• Transformada de Fresnelet
• Transformada Noiselet
• Espacio de escala
• Transformación de Shearlet

• E. Candès y D. Donoho, "Curvelets: una representación no adaptativa sorprendentemente eficaz para objetos con aristas". En: A. Cohen, C. Rabut y L. Schumaker, editores, Curves and Surface Fitting : Saint-Malo 1999, Vanderbilt University Press, Nashville (2000), págs. 105-120.
• Majumdar Angshul Bangla Reconocimiento básico de caracteres mediante transformada digital de curvas Revista de investigación sobre reconocimiento de patrones (JPRR), vol. 2. (1) 2007 pág. 17-26
• Emmanuel Candes, Laurent Demanet, David Donoho y Lexing Ying Transformadas rápidas de curvas discretas
• Jianwei Ma, Gerlind Plonka , La transformada Curvelet : Revista de procesamiento de señales IEEE, 2010, 27 (2), 118-133.
• Jean-Luc Starck, Emmanuel J. Candès y David L. Donoho, La transformada Curvelet para la eliminación de ruido de imágenes, : IEEE Transactions on Image Processing, vol. 11, n.º 6, junio de 2002

• Página de inicio de Curvelet.org