Continuo (topología)

En el campo matemático de la topología de conjuntos puntuales , un continuo (plural: "continuo") es un espacio métrico compacto conexo no vacío o, con menor frecuencia, un espacio compacto conexo de Hausdorff . La teoría de continuos es la rama de la topología dedicada al estudio de los continuos.

• Un continuo que contiene más de un punto se llama no degenerado .
• Un subconjunto A de un continuo X tal que A en sí mismo es un continuo se denomina subcontinuo de X. Un espacio homeomorfo a un subcontinuo del plano euclidiano R ² se denomina continuo plano .
• Un continuo X es homogéneo si para cada dos puntos x e y en X , existe un homeomorfismo h : X → X tal que h ( x ) = y .
• Un continuo de Peano es un continuo que está conectado localmente en cada punto.
• Un continuo indescomponible es un continuo que no puede representarse como la unión de dos subcontinuos propios. Un continuo X es indescomponible hereditariamente si cada subcontinuo de X es indescomponible.
• La dimensión de un continuo suele ser su dimensión topológica . Un continuo unidimensional suele denominarse curva .

• Un arco es un espacio homeomorfo al intervalo cerrado [0,1]. Si h : [0,1] → X es un homeomorfismo y h (0) = p y h (1) = q entonces p y q se llaman los puntos finales de X ; también se dice que X es un arco de p a q . Un arco es el tipo más simple y más conocido de un continuo. Es unidimensional, conexo en forma de arco y localmente conexo.
• La curva seno del topólogo es un subconjunto del plano que es la unión del gráfico de la función f ( x ) = sen(1/ x ), 0 < x ≤ 1 con el segmento −1 ≤ y ≤ 1 del eje y . Es un continuo unidimensional que no está conexo en arcos y está desconectado localmente en los puntos a lo largo del eje y .
• El círculo de Varsovia se obtiene "cerrando" la curva seno del topólogo mediante un arco que conecta (0,−1) y (1,sin(1)). Es un continuo unidimensional cuyos grupos de homotopía son todos triviales, pero no es un espacio contráctil .

• Una celda n es un espacio homeomorfo a la esfera cerrada en el espacio euclidiano R ⁿ . Es contráctil y es el ejemplo más simple de un continuo n -dimensional.
• Una n -esfera es un espacio homeomorfo a la n-esfera estándar en el espacio euclidiano de dimensión ( n + 1). Es un continuo homogéneo de dimensión n que no es contráctil y, por lo tanto, diferente de una n -celda.
• El cubo de Hilbert es un continuo de dimensión infinita.
• Los solenoides se encuentran entre los ejemplos más simples de continuos homogéneos indecomponibles. No están conexos en arco ni localmente.
• La alfombra de Sierpinski , también conocida como curva universal de Sierpinski , es un continuo de Peano plano unidimensional que contiene una imagen homeomórfica de cualquier continuo plano unidimensional.
• El pseudoarco es un continuo plano homogéneo, hereditariamente indescomponible.

Existen dos técnicas fundamentales para construir continuos, mediante intersecciones anidadas y límites inversos .

• Si { X _n } es una familia anidada de continuos, es decir, X _n ⊇ X _{n +1} , entonces su intersección es un continuo.

• Si {( X _n , f _n )} es una secuencia inversa de continuos X _n , llamados espacios de coordenadas , junto con aplicaciones continuas f _n : X _{n +1} → X _n , llamadas aplicaciones de enlace , entonces su límite inverso es un continuo.

Un producto finito o contable de continuos es un continuo.

• Continuo lineal
• Esponja de Menger
• Teoría de la forma (matemáticas)

• Sam B. Nadler, Jr., Teoría del continuo. Una introducción . Matemáticas puras y aplicadas, Marcel Dekker. ISBN  0-8247-8659-9 .

• Problemas abiertos en la teoría del continuo
• Ejemplos de teoría del continuo
• Teoría del continuo y dinámica topológica, M. Barge y J. Kennedy, en Problemas abiertos en topología, J. van Mill y GM Reed (Editores) Elsevier Science Publishers BV (Holanda del Norte), 1990.
• Hiperespaciowiki