Hipérbola conjugada

Una figura simétrica definida por una hipérbola.
Una hipérbola y su hipérbola conjugada

En geometría , una hipérbola conjugada a una hipérbola dada comparte las mismas asíntotas pero se encuentra en dos sectores opuestos del plano en comparación con la hipérbola original.

Una hipérbola y su conjugada pueden construirse como secciones cónicas derivadas de planos paralelos que se intersecan y cortan conos dobles tangentes que comparten el mismo vértice .

Utilizando la geometría analítica , las hipérbolas satisfacen las ecuaciones simétricas

incógnita 2 a 2 y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} con vértices ( a ,0) y (– a ,0), y
y 2 b 2 incógnita 2 a 2 = 1 {\displaystyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1} con vértices (0, b ) y (0,– b ).

En el caso de a = b son hipérbolas rectangulares, y una reflexión del plano en una asíntota intercambia las conjugadas.

Historia

Cono de luz e hipérbolas conjugadas en Minkowski (1908)

Apolonio de Perge introdujo la hipérbola conjugada a través de una construcción geométrica: "Dadas dos líneas rectas que se bisecan entre sí en cualquier ángulo, describir dos hipérbolas cada una con dos ramas tales que las líneas rectas sean diámetros conjugados de ambas hipérbolas". [1] "Las dos hipérbolas así construidas se denominan hipérbolas conjugadas , y [la] última dibujada es la hipérbola conjugada de la primera".

La siguiente propiedad fue descrita por Apolonio: sean PP', DD' diámetros conjugados de dos hipérbolas conjugadas, Dibujemos las tangentes en P, P', D, D'. Entonces ... las tangentes forman un paralelogramo , y sus diagonales, LM, L'M', pasan por el centro [C]. También PL = PL' = P'M = P'M' = CD. [1] Se observa que las diagonales del paralelogramo son las asíntotas comunes a ambas hipérbolas. Tanto PP' como DD' son diámetros transversales, siendo el opuesto el diámetro conjugado.

Elementos de dinámica (1878) de WK Clifford identifica la hipérbola conjugada. [2]

En 1894, Alexander Macfarlane utilizó una ilustración de hipérbolas rectas conjugadas en su estudio "Principios del análisis elíptico e hiperbólico". [3]

En 1895, WH Besant señaló las hipérbolas conjugadas en su libro sobre secciones cónicas. [4] George Salmon ilustró una hipérbola conjugada como una curva punteada en su Tratado sobre secciones cónicas (1900). [5]

En 1908, Hermann Minkowski utilizó hipérbolas conjugadas para demarcar unidades de duración y distancia en un diagrama de espacio-tiempo que ilustraba un plano en su espacio de Minkowski . [6]

El principio de relatividad puede enunciarse así: "Cualquier par de diámetros conjugados de hipérbolas conjugadas puede tomarse como ejes del espacio y del tiempo". [7]

En 1957 Barry Spain ilustró hipérbolas rectangulares conjugadas. [8]

Referencias

  1. ^ ab Thomas Heath (1896) Apolonio de Perga: Tratado sobre secciones cónicas , páginas 47, 48, 54
  2. ^ WK Clifford (1878) Elementos de dinámica, página 90, vía Internet Archive
  3. ^ Alexander Macfarlane (1894) Principios del análisis espacial vía Internet Archive
  4. ^ WH Besant (1895) Secciones cónicas tratadas geométricamente, página 25 vía HathiTrust
  5. ^ George Salmon (1900) Un tratado sobre secciones cónicas vía Internet Archive
  6. ^ Minkowski, Hermann (1907-1908), Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern" [Las ecuaciones fundamentales para los procesos electromagnéticos en cuerpos en movimiento], Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse : 53–111
      • Traducción publicada: Carus, Edward H. (1918). "Espacio y tiempo" (PDF) . The Monist . 28 (288): 288–302. doi :10.5840/monist19182826.
      • Traducción de Wikisource: Las ecuaciones fundamentales de los procesos electromagnéticos en cuerpos en movimiento
    • Minkowski, Hermann (1908-1909), Raum und Zeit" [Espacio y tiempo], Physikalische Zeitschrift , 10 : 75–88Varias traducciones al inglés en Wikisource: Espacio y Tiempo.
  7. ^ Whittaker, ET (1910). Una historia de las teorías del éter y la electricidad (1.ª ed.). Dublín: Longman, Green and Co., pág. 441.
  8. ^ Barry Spain (1957) Cónicas analíticas vía HathiTrust
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