Elemento conjugado (teoría de campos)

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En matemáticas , en particular en teoría de campos , los elementos conjugados o conjugados algebraicos de un elemento algebraico  α , sobre una extensión de campo L / K , son las raíces del polinomio mínimo p _{K , α} ( x ) de α sobre K . Los elementos conjugados se denominan comúnmente conjugados en contextos en los que esto no es ambiguo. Normalmente, α en sí mismo se incluye en el conjunto de conjugados de  α .

De manera equivalente, los conjugados de α son las imágenes de α bajo los automorfismos de campo de L que dejan fijos los elementos de K. La equivalencia de las dos definiciones es uno de los puntos de partida de la teoría de Galois .

El concepto generaliza la conjugación compleja , ya que los conjugados algebraicos de un número complejo son el propio número y su conjugado complejo .${\displaystyle \mathbb {R}}$

Las raíces cúbicas del número uno son:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1}}={\begin{cases}1\\[3pt]-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\\[5pt]-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\end{cases}}}$

Las dos últimas raíces son elementos conjugados en Q [ i √ 3 ] con polinomio mínimo

${\displaystyle \left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+{\frac {3}{4}}=x^{2}+x+1.}$

Si K se da dentro de un cuerpo algebraicamente cerrado C , entonces los conjugados pueden tomarse dentro de C . Si no se especifica tal C , se pueden tomar los conjugados en algún cuerpo relativamente pequeño L . La opción más pequeña posible para L es tomar un cuerpo de desdoblamiento sobre K de p _{K , α} , que contenga  a α . Si L es cualquier extensión normal de K que contenga  a α , entonces por definición ya contiene dicho cuerpo de desdoblamiento.

Dada entonces una extensión normal L de K , con grupo de automorfismos Aut( L / K ) = G , y que contiene α , cualquier elemento g ( α ) para g en G será un conjugado de α , ya que el automorfismo g envía raíces de p a raíces de p . Inversamente, cualquier conjugado β de α es de esta forma: en otras palabras, G actúa transitivamente sobre los conjugados. Esto se deduce de que K ( α ) es K -isomorfo a K ( β ) por irreducibilidad del polinomio minimal, y cualquier isomorfismo de los cuerpos F y F ' que mapea el polinomio p a p ' puede extenderse a un isomorfismo de los cuerpos de desdoblamiento de p sobre F y p ' sobre F ' , respectivamente.

En resumen, los elementos conjugados de α se encuentran, en cualquier extensión normal L de K que contenga a K ( α ), como el conjunto de elementos g ( α ) para g en Aut( L / K ). El número de repeticiones en esa lista de cada elemento es el grado separable [ L : K ( α )] _sep .

Un teorema de Kronecker establece que si α es un entero algebraico distinto de cero tal que α y todos sus conjugados en los números complejos tienen un valor absoluto de 1 como máximo, entonces α es una raíz de la unidad . Existen formas cuantitativas de esto, que establecen límites más precisos (según el grado) sobre el valor absoluto más grande de un conjugado que implica que un entero algebraico es una raíz de la unidad.

• David S. Dummit, Richard M. Foote, Álgebra abstracta , 3.ª ed., Wiley, 2004.

• Weisstein, Eric W. "Elementos conjugados". MathWorld .