Categoría cerrada

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una categoría cerrada es un tipo especial de categoría .

En una categoría localmente pequeña , el hom externo ( x , y ) asigna un par de objetos a un conjunto de morfismos . Por lo tanto, en la categoría de conjuntos , este es un objeto de la categoría misma. En la misma línea, en una categoría cerrada, el (objeto de) morfismos de un objeto a otro puede verse como si estuviera dentro de la categoría. Este es el hom interno [ x , y ].

Toda categoría cerrada tiene un funtor olvidadizo para la categoría de conjuntos, que en particular lleva el hom interno al hom externo.

Una categoría cerrada se puede definir como una categoría con un denominado funtor Hom interno.${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle \left[-\ -\right]:{\mathcal {C}}^{op}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$

con flechas Yoneda izquierdas

${\displaystyle L:\izquierda[B\ C\derecha]\a \izquierda[\izquierda[A\ B\derecha]\izquierda[A\ C\derecha]\derecha]}$

natural en y y dinatural en , y un objeto fijo de con un isomorfismo natural${\estilo de visualización B}$${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle I}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle i_{A}:A\cong \izquierda[I\ A\derecha]}$

y una transformación dinatural

${\displaystyle j_{A}:I\to \izquierda[A\ A\derecha]}$,

todos ellos satisfaciendo determinadas condiciones de coherencia.

• Las categorías cerradas cartesianas son categorías cerradas. En particular, cualquier topo es cerrado. El ejemplo canónico es la categoría de conjuntos .
• Las categorías cerradas compactas son categorías cerradas. El ejemplo canónico es la categoría FdVect con espacios vectoriales de dimensión finita como objetos y aplicaciones lineales como morfismos.
• En términos más generales, cualquier categoría cerrada monoidal es una categoría cerrada. En este caso, el objeto es la unidad monoidal.${\displaystyle I}$

• Eilenberg, S. ; Kelly, GM (2012) [1966]. "Categorías cerradas". Actas de la Conferencia sobre Álgebra Categórica. (La Jolla, 1965 . Springer. pp. 421–562. doi :10.1007/978-3-642-99902-4_22. ISBN 978-3-642-99902-4.
• Categoría cerrada en el n Lab