Empaquetado circular en un círculo

Problema de empaquetamiento bidimensional

El empaquetamiento circular en un círculo es un problema de empaquetamiento bidimensional cuyo objetivo es empaquetar círculos unitarios en el círculo más grande y más pequeño posible .

Tabla de soluciones, 1 ≤norte≤ 20

Si existe más de una solución óptima, se muestran todas. ^[1]

${\estilo de visualización n}$	Radio del círculo envolvente ${\estilo de visualización r}$	Densidad $estilo de visualización r^{2}\!/n}$	Optimalidad
1	1	1.000 ...	Trivialmente óptimo.
2	2	0,5 000...	Trivialmente óptimo.
3	2.155... $1+{\frac {2}{\sqrt {3}}}$	0.6466...	Trivialmente óptimo.
4	2.414... $1+{\sqrt {2}}$	0.6864...	Trivialmente óptimo.
5	2.701... $1+{\sqrt {2\left(1+{\frac {1}{\sqrt {5}}}\right)}}$	0.6854...	Graham (1968) demostró que es óptimo ^[2]
6	3	0.6666...	Graham (1968) demostró que es óptimo ^[2]
7	3	0,7777...	Trivialmente óptimo.
8	3.304... $1+{\frac {1}{\sin {\frac {\pi }{7}}}}$	0,7328...	Demostrado óptimo por Pirl (1969) ^[3]
9	3.613... $1+{\sqrt {2\left(2+{\sqrt {2}}\right)}}$	0.6895...	Demostrado óptimo por Pirl (1969) ^[3]
10	3.813...	0.6878...	Demostrado óptimo por Pirl (1969) ^[3]
11	3.923... $1+{\frac {1}{\sin {\frac {\pi }{9}}}}$	0,7148...	Demostrado óptimo por Melissen (1994) ^[4]
12	4.029...	0,7392...	Demostrado óptimo por Fodor (2000) ^[5]
13	4.236... $2+{\sqrt {5}}$	0,7245...	Demostrado óptimo por Fodor (2003) ^[6]
14	4.328...	0,7474...	Ekanayake y LaFountain (2024) demostraron que es óptimo. ^[7]
15	4.521... $1\!+\!{\sqrt {6\!+\!{\frac {2}{\sqrt {5}}}\!+\!4{\sqrt {1\!+\!{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}}$	0,7339...	Pirl (1969) conjeturó que es óptimo. ^[8]
16	4.615...	0,7512...	Conjeturado como óptimo por Goldberg (1971). ^[8]
17	4.792...	0,7403...	Conjeturado como óptimo por Reis (1975). ^[8]
18	4.863... $1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}$	0,7609...	Pirl (1969) conjeturó que era óptimo, con arreglos adicionales de Graham, Lubachevsky, Nurmela y Östergård (1998). ^[8]
19	4.863... $1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}$	0.8032...	Demostrado óptimo por Fodor (1999) ^[9]
20	5.122...	0,7623...	Conjeturado como óptimo por Goldberg (1971). ^[8]

Casos especiales

Se cree que solo 26 empaquetamientos óptimos son rígidos (sin círculos capaces de "vibrar"). Los números en negrita son primos:

Probado para n = 1, 2 , 3 , 4, 5 , 6, 7 , 10, 11 , 12, 13 , 14, 19
Conjeturado para n = 15, 16, 17 , 18, 22, 23 , 27, 30, 31 , 33, 37 , 61 , 91

De estas, las soluciones para n = 2 , 3 , 4, 7 , 19 y 37 logran una densidad de empaquetamiento mayor que cualquier número menor > 1. (Todos los registros de mayor densidad tienen ruidos). ^[10]

Véase también

Referencias

^ Friedman, Erich, "Círculos en círculos", Erich's Packing Center , archivado desde el original el 18 de marzo de 2020
^ ab RL Graham, Conjuntos de puntos con una separación mínima dada (Solución al problema El921) , Amer. Math. Monthly 75 (1968) 192-193.
^ abc U. Pirl, Der Mindestabstand von n in der Einheitskreisscheibe gelegenen Punkten , Mathematische Nachrichten 40 (1969) 111-124.
^ H. Melissen, Embalaje más denso de once círculos congruentes en un círculo , Geometriae Dedicata 50 (1994) 15-25.
^ F. Fodor, El empaquetamiento más denso de 12 círculos congruentes en un círculo , Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contribuciones al álgebra y la geometría 41 (2000) ?, 401–409.
^ F. Fodor, El empaquetamiento más denso de 13 círculos congruentes en un círculo , Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contribuciones al álgebra y la geometría 44 (2003) 2, 431–440.
^ Ekanayake, Dinesh; LaFountain, Douglas. "Particiones ajustadas para agrupar círculos en un círculo" (PDF) . Revista Italiana de Matemática Pura y Aplicada . 51 : 115–136.
^ abcde Graham RL, Lubachevsky BD, Nurmela KJ, Ostergard PRJ. Empaquetamientos densos de círculos congruentes en un círculo. Discrete Math 1998;181:139–154.
^ F. Fodor, El empaquetamiento más denso de 19 círculos congruentes en un círculo , Geom. Dedicata 74 (1999), 139–145.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A084644". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.

Enlaces externos

Análisis matemático del empaquetamiento de círculos en 2D (2022). HC Rajpoot de arXiv
"Los empaquetamientos más conocidos de círculos iguales en un círculo (completos hasta N = 2600)"
Calculadora online para "¿Cuántos círculos puedes obtener para minimizar el desperdicio?"

Este artículo relacionado con la geometría elemental es un esbozo . Puedes ayudar a Wikipedia expandiéndolo.

[:0-1] Friedman, Erich, "Círculos en círculos", Erich's Packing Center , archivado desde el original el 18 de marzo de 2020

[Graham68-2] RL Graham, Conjuntos de puntos con una separación mínima dada (Solución al problema El921) , Amer. Math. Monthly 75 (1968) 192-193.

[Pirl-3] U. Pirl, Der Mindestabstand von n in der Einheitskreisscheibe gelegenen Punkten , Mathematische Nachrichten 40 (1969) 111-124.

[Melissen-4] H. Melissen, Embalaje más denso de once círculos congruentes en un círculo , Geometriae Dedicata 50 (1994) 15-25.

[Fodor1-5] F. Fodor, El empaquetamiento más denso de 12 círculos congruentes en un círculo , Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contribuciones al álgebra y la geometría 41 (2000) ?, 401–409.

[Fodor2-6] F. Fodor, El empaquetamiento más denso de 13 círculos congruentes en un círculo , Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contribuciones al álgebra y la geometría 44 (2003) 2, 431–440.

[7] Ekanayake, Dinesh; LaFountain, Douglas. "Particiones ajustadas para agrupar círculos en un círculo" (PDF) . Revista Italiana de Matemática Pura y Aplicada . 51 : 115–136.

[Graham98-8] Graham RL, Lubachevsky BD, Nurmela KJ, Ostergard PRJ. Empaquetamientos densos de círculos congruentes en un círculo. Discrete Math 1998;181:139–154.

[Fodor3-9] F. Fodor, El empaquetamiento más denso de 19 círculos congruentes en un círculo , Geom. Dedicata 74 (1999), 139–145.

[10] Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A084644". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.