Puntos de Brocard

En geometría , los puntos de Brocard son puntos especiales dentro de un triángulo . Reciben su nombre en honor a Henri Brocard (1845-1922), un matemático francés.

En un triángulo △ ABC con lados a, b, c , donde los vértices están etiquetados A, B, C en orden antihorario, hay exactamente un punto P tal que los segmentos de línea AP , BP , CP forman el mismo ángulo, ω , con los respectivos lados c, a, b , es decir que

$${\displaystyle \ángulo PAB=\ángulo PBC=\ángulo PCA=\omega .\,}$$

El punto P se denomina primer punto de Brocard del triángulo △ ABC y el ángulo ω se denomina ángulo de Brocard del triángulo. Este ángulo tiene la propiedad de que

$${\displaystyle \cot \omega =\cot \!{\bigl (}\angle CAB{\bigr )}+\cot \!{\bigl (}\angle ABC{\bigr )}+\cot \!{\ bigl (}\angle BCA{\bigr )}.}$$

También hay un segundo punto de Brocard , Q , en el triángulo △ ABC tal que los segmentos de línea AQ , BQ , CQ forman ángulos iguales con los lados b, c, a respectivamente. En otras palabras, se aplican las ecuaciones . Sorprendentemente, este segundo punto de Brocard tiene el mismo ángulo de Brocard que el primer punto de Brocard. En otras palabras, el ángulo es el mismo que$${\displaystyle \ángulo QCB=\ángulo QBA=\ángulo QAC}$$$${\displaystyle \ángulo PBC=\ángulo PCA=\ángulo PAB}$$$${\displaystyle \ángulo QCB=\ángulo QBA=\ángulo QAC.}$$

Los dos puntos de Brocard están estrechamente relacionados entre sí; de hecho, la diferencia entre el primero y el segundo depende del orden en que se toman los ángulos del triángulo △ ABC . Así, por ejemplo, el primer punto de Brocard de △ ABC es el mismo que el segundo punto de Brocard de △ ACB .

Los dos puntos de Brocard de un triángulo △ ABC son conjugados isogonales entre sí.

La construcción más elegante de los puntos de Brocard es la siguiente. En el siguiente ejemplo se presenta el primer punto de Brocard, pero la construcción del segundo punto de Brocard es muy similar.

Como en el diagrama anterior, forma un círculo a través de los puntos A y B , tangente a la arista BC del triángulo (el centro de este círculo está en el punto donde la bisectriz perpendicular de AB se encuentra con la línea a través del punto B que es perpendicular a BC ). Simétricamente, forma un círculo a través de los puntos B y C , tangente a la arista AC , y un círculo a través de los puntos A y C , tangente a la arista AB . Estos tres círculos tienen un punto común, el primer punto de Brocard de △ ABC . Véase también Rectas tangentes a círculos .

Los tres círculos que acabamos de construir también se denominan epiciclos de △ ABC . El segundo punto de Brocard se construye de manera similar.

Las coordenadas trilineales homogéneas para el primer y segundo punto de Brocard son: Por lo tanto, sus coordenadas baricéntricas son: ^[1]$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}P=&{\frac {c}{b}}&:&{\frac {a}{c}}&:&{\frac {b}{a}}\\Q=&{\frac {b}{c}}&:&{\frac {c}{a}}&:&{\frac {a}{b}}\end{array}}}$$$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}P=&c^{2}a^{2}&:&a^{2}b^{2}&:&b^{2}c^{2}\\Q=&a^{2}b^{2}&:&b^{2}c^{2}&:&c^{2}a^{2}\end{array}}}$$

Los puntos de Brocard son un ejemplo de un par de puntos bicéntricos, pero no son centros de triángulos porque ninguno de los puntos de Brocard es invariante bajo transformaciones de semejanza : al reflejar un triángulo escaleno, un caso especial de semejanza, un punto de Brocard se convierte en el otro. Sin embargo, el par desordenado formado por ambos puntos es invariante bajo semejanzas. El punto medio de los dos puntos de Brocard, llamado punto medio de Brocard , tiene coordenadas trilineales ^[2]

$${\displaystyle \sin(A+\omega ):\sin(B+\omega ):\sin(C+\omega )=a(b^{2}+c^{2}):b(c^{2}+a^{2}):c(a^{2}+b^{2}),}$$y es un centro de triángulo; es el centro X(39) en la Enciclopedia de Centros de Triángulos . El tercer punto de Brocard , dado en coordenadas trilineales como ^[3]

$${\displaystyle \csc(A-\omega ):\csc(B-\omega ):\csc(C-\omega )=a^{-3}:b^{-3}:c^{-3} ,}$$

es el punto medio de Brocard del triángulo anticomplementario y también es el conjugado isotómico del punto simediano . Es el centro X(76) en la Enciclopedia de centros de triángulos .

La distancia entre los dos primeros puntos de Brocard P y Q es siempre menor o igual a la mitad del radio R de la circunferencia circunscrita del triángulo : ^{[1] [4]}

$${\displaystyle {\overline {PQ}}=2R\sin \omega {\sqrt {1-4\sin ^{2}\omega }}\leq {\frac {R}{2}}.}$$

El segmento entre los dos primeros puntos de Brocard está bisecado perpendicularmente en el punto medio de Brocard por la línea que une el circuncentro del triángulo con su punto Lemoine . Además, el circuncentro, el punto Lemoine y los dos primeros puntos de Brocard son concíclicos : todos caen en el mismo círculo, del cual el segmento que une el circuncentro y el punto Lemoine es un diámetro . ^[1]

Los puntos de Brocard P y Q son equidistantes del circuncentro O del triángulo : ^[4]

$${\displaystyle {\overline {PO}}={\overline {QO}}=R{\sqrt {{\frac {a^{4}+b^{4}+c^{4}}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}}-1}}=R{\sqrt {1-4\sin ^{2}\omega }}.}$$

Los triángulos pedales del primer y segundo punto de Brocard son congruentes entre sí y similares al triángulo original. ^[4]

Si las líneas AP, BP, CP , cada una de ellas a través de uno de los vértices de un triángulo y su primer punto de Brocard, intersecan la circunferencia circunscrita del triángulo en los puntos L, M, N , entonces el triángulo △ LMN es congruente con el triángulo original △ ABC . Lo mismo es cierto si el primer punto de Brocard P se reemplaza por el segundo punto de Brocard Q . ^[4]

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