Búsqueda binaria

Búsqueda binaria

Visualización del algoritmo de búsqueda binaria donde 7 es el valor objetivo
Clase	Algoritmo de búsqueda
Estructura de datos	Formación
Rendimiento en el peor de los casos	O (log n )
Rendimiento en el mejor de los casos	O (1)
Rendimiento promedio	O (log n )
Complejidad espacial en el peor de los casos	O (1)
Óptimo	Sí

En informática , la búsqueda binaria , también conocida como búsqueda de medio intervalo , ^[1] búsqueda logarítmica , ^[2] o corte binario , ^[3] es un algoritmo de búsqueda que encuentra la posición de un valor objetivo dentro de una matriz ordenada . ^{[4] [5]} La búsqueda binaria compara el valor objetivo con el elemento central de la matriz. Si no son iguales, se elimina la mitad en la que no puede estar el objetivo y la búsqueda continúa en la mitad restante, tomando nuevamente el elemento del medio para comparar con el valor objetivo y repitiendo esto hasta que se encuentre el valor objetivo. Si la búsqueda termina con la mitad restante vacía, el objetivo no está en la matriz.

La búsqueda binaria se ejecuta en tiempo logarítmico en el peor de los casos , haciendo comparaciones, donde es el número de elementos en la matriz. ^{[a] [6]} La búsqueda binaria es más rápida que la búsqueda lineal excepto para matrices pequeñas. Sin embargo, la matriz debe ordenarse primero para poder aplicar la búsqueda binaria. Hay estructuras de datos especializadas diseñadas para búsquedas rápidas, como tablas hash , que se pueden buscar de manera más eficiente que la búsqueda binaria. Sin embargo, la búsqueda binaria se puede utilizar para resolver una gama más amplia de problemas, como encontrar el siguiente elemento más pequeño o el siguiente más grande en la matriz en relación con el objetivo, incluso si está ausente de la matriz.${\displaystyle O(\log n)}$${\displaystyle n}$

Existen numerosas variantes de la búsqueda binaria. En particular, la búsqueda en cascada fraccionaria acelera las búsquedas binarias del mismo valor en múltiples matrices. La búsqueda en cascada fraccionaria resuelve de manera eficiente una serie de problemas de búsqueda en geometría computacional y en muchos otros campos. La búsqueda exponencial extiende la búsqueda binaria a listas ilimitadas. Las estructuras de datos de árbol de búsqueda binaria y árbol B se basan en la búsqueda binaria.

La búsqueda binaria funciona en matrices ordenadas. La búsqueda binaria comienza comparando un elemento en el medio de la matriz con el valor objetivo. Si el valor objetivo coincide con el elemento, se devuelve su posición en la matriz. Si el valor objetivo es menor que el elemento, la búsqueda continúa en la mitad inferior de la matriz. Si el valor objetivo es mayor que el elemento, la búsqueda continúa en la mitad superior de la matriz. Al hacer esto, el algoritmo elimina la mitad en la que el valor objetivo no puede estar en cada iteración. ^[7]

Dada una matriz de elementos con valores o registros ordenados de tal manera que , y el valor objetivo , la siguiente subrutina utiliza la búsqueda binaria para encontrar el índice de en . ^[7]${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{0},A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n-1}}$${\displaystyle A_{0}\leq A_{1}\leq A_{2}\leq \cdots \leq A_{n-1}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle A}$

1. Establecer en y en .${\displaystyle L}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle R}$${\displaystyle n-1}$
2. Si es así , la búsqueda finaliza porque no tuvo éxito.${\displaystyle L>R}$
3. Establezca (la posición del elemento del medio) en el piso de , que es el mayor entero menor o igual a .${\displaystyle m}$${\displaystyle {\frac {L+R}{2}}}$${\displaystyle {\frac {L+R}{2}}}$
4. Si , configúrelo en y vaya al paso 2.${\displaystyle A_{m}<T}$${\displaystyle L}$${\displaystyle m+1}$
5. Si , configúrelo en y vaya al paso 2.${\displaystyle A_{m}>T}$${\displaystyle R}$${\displaystyle m-1}$
6. Ahora la búsqueda está hecha; regresa .${\displaystyle A_{m}=T}$${\displaystyle m}$

Este procedimiento iterativo lleva un registro de los límites de búsqueda con las dos variables y . El procedimiento puede expresarse en pseudocódigo de la siguiente manera, donde los nombres y tipos de las variables siguen siendo los mismos que antes, es la función de piso y hace referencia a un valor específico que transmite el error de la búsqueda. ^[7]${\displaystyle L}$${\displaystyle R}$floorunsuccessful

La función binary_search(A, n, T) es L := 0 R := n − 1 mientras L ≤ R lo haga m := piso((L + R) / 2) si A[m] < T entonces L := m + 1 De lo contrario, si A[m] > T entonces R := m − 1 De lo contrario : devolver m retorno fallido

Como alternativa, el algoritmo puede tomar el límite de . Esto puede cambiar el resultado si el valor objetivo aparece más de una vez en la matriz.${\displaystyle {\frac {L+R}{2}}}$

En el procedimiento anterior, el algoritmo verifica si el elemento del medio ( ) es igual al objetivo ( ) en cada iteración. Algunas implementaciones omiten esta verificación durante cada iteración. El algoritmo realizaría esta verificación solo cuando quede un elemento (cuando ). Esto da como resultado un bucle de comparación más rápido, ya que se elimina una comparación por iteración, mientras que solo requiere una iteración más en promedio. ^[8]${\displaystyle m}$${\displaystyle T}$${\displaystyle L=R}$

Hermann Bottenbruch publicó la primera implementación que omitió esta comprobación en 1962. ^{[8] [9]}

1. Establecer en y en .${\displaystyle L}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle R}$${\displaystyle n-1}$
2. Mientras ,${\displaystyle L\neq R}$
   1. Establezca (la posición del elemento central) en el techo de , que es el menor entero mayor o igual a .${\displaystyle m}$${\displaystyle {\frac {L+R}{2}}}$${\displaystyle {\frac {L+R}{2}}}$
   2. Si , establezca en .${\displaystyle A_{m}>T}$${\displaystyle R}$${\displaystyle m-1}$
   3. De lo contrario, ; establecido en .${\displaystyle A_{m}\leq T}$${\displaystyle L}$${\displaystyle m}$
3. Ahora , la búsqueda está hecha. Si es así , devuelve . De lo contrario, la búsqueda finaliza por no tener éxito.${\displaystyle L=R}$${\displaystyle A_{L}=T}$${\displaystyle L}$

¿Dónde ceilestá la función de techo? El pseudocódigo para esta versión es:

La función binary_search_alternative(A, n, T) es L := 0 R := n − 1 mientras L != R haga m := techo((L + R) / 2) si A[m] > T entonces R := m − 1 demás : L := m Si A[L] = T entonces  devuelve L devuelve un error

El procedimiento puede devolver cualquier índice cuyo elemento sea igual al valor de destino, incluso si hay elementos duplicados en la matriz. Por ejemplo, si la matriz que se va a buscar era y el destino era , entonces sería correcto que el algoritmo devolviera el cuarto elemento (índice 3) o el quinto (índice 4). El procedimiento normal devolvería el cuarto elemento (índice 3) en este caso. No siempre devuelve el primer duplicado (considere cuál sigue devolviendo el cuarto elemento). Sin embargo, a veces es necesario encontrar el elemento más a la izquierda o el elemento más a la derecha para un valor de destino que está duplicado en la matriz. En el ejemplo anterior, el cuarto elemento es el elemento más a la izquierda del valor 4, mientras que el quinto elemento es el elemento más a la derecha del valor 4. El procedimiento alternativo anterior siempre devolverá el índice del elemento más a la derecha si existe dicho elemento. ^[9]${\displaystyle [1,2,3,4,4,5,6,7]}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle [1,2,4,4,4,5,6,7]}$

Para encontrar el elemento más a la izquierda, se puede utilizar el siguiente procedimiento: ^[10]

1. Establecer en y en .${\displaystyle L}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle R}$${\displaystyle n}$
2. Mientras ,${\displaystyle L<R}$
   1. Establezca (la posición del elemento del medio) en el piso de , que es el mayor entero menor o igual a .${\displaystyle m}$${\displaystyle {\frac {L+R}{2}}}$${\displaystyle {\frac {L+R}{2}}}$
   2. Si , establezca en .${\displaystyle A_{m}<T}$${\displaystyle L}$${\displaystyle m+1}$
   3. De lo contrario, ; establecido en .${\displaystyle A_{m}\geq T}$${\displaystyle R}$${\displaystyle m}$
3. Devolver .${\displaystyle L}$

Si y , entonces es el elemento más a la izquierda que es igual a . Incluso si no está en la matriz, es el rango de en la matriz, o la cantidad de elementos en la matriz que son menores que .${\displaystyle L<n}$${\displaystyle A_{L}=T}$${\displaystyle A_{L}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle L}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

¿Dónde floorestá la función de piso?, el pseudocódigo para esta versión es:

función binary_search_leftmost(A, n, T): L := 0 R := n mientras L < R: m := piso((L + R) / 2) si A[m] < T: L := m + 1 demás : R := m volver L

Para encontrar el elemento más a la derecha, se puede utilizar el siguiente procedimiento: ^[10]

1. Establecer en y en .${\displaystyle L}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle R}$${\displaystyle n}$
2. Mientras ,${\displaystyle L<R}$
   1. Establezca (la posición del elemento del medio) en el piso de , que es el mayor entero menor o igual a .${\displaystyle m}$${\displaystyle {\frac {L+R}{2}}}$${\displaystyle {\frac {L+R}{2}}}$
   2. Si , establezca en .${\displaystyle A_{m}>T}$${\displaystyle R}$${\displaystyle m}$
   3. De lo contrario, ; establecido en .${\displaystyle A_{m}\leq T}$${\displaystyle L}$${\displaystyle m+1}$
3. Devolver .${\displaystyle R-1}$

Si y , entonces es el elemento más a la derecha que es igual a . Incluso si no está en la matriz, es la cantidad de elementos en la matriz que son mayores que .${\displaystyle R>0}$${\displaystyle A_{R-1}=T}$${\displaystyle A_{R-1}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle n-R}$${\displaystyle T}$

¿Dónde floorestá la función de piso?, el pseudocódigo para esta versión es:

función binary_search_rightmost(A, n, T): L := 0 R := n mientras L < R: m := piso((L + R) / 2) si A[m] > T: R := m demás : L := m + 1 devolver R - 1

El procedimiento anterior solo realiza coincidencias exactas , encontrando la posición de un valor objetivo. Sin embargo, es trivial extender la búsqueda binaria para realizar coincidencias aproximadas porque la búsqueda binaria opera en matrices ordenadas. Por ejemplo, la búsqueda binaria se puede utilizar para calcular, para un valor dado, su rango (el número de elementos más pequeños), predecesor (próximo elemento más pequeño), sucesor (próximo elemento más grande) y vecino más cercano . Las consultas de rango que buscan el número de elementos entre dos valores se pueden realizar con dos consultas de rango. ^[11]

• Las consultas de rango se pueden realizar con el procedimiento para encontrar el elemento más a la izquierda. El procedimiento devuelve la cantidad de elementos menores que el valor objetivo. ^[11]
• Las consultas de predecesores se pueden realizar con consultas de rango. Si el rango del valor de destino es , su predecesor es  . ^[12]${\displaystyle r}$${\displaystyle r-1}$
• Para las consultas sucesoras, se puede utilizar el procedimiento para encontrar el elemento situado más a la derecha. Si el resultado de ejecutar el procedimiento para el valor de destino es , entonces el sucesor del valor de destino es  . ^[12]${\displaystyle r}$${\displaystyle r+1}$
• El vecino más cercano del valor objetivo es su predecesor o sucesor, el que esté más cerca.
• Las consultas de rangos también son sencillas. ^[12] Una vez que se conocen los rangos de los dos valores, la cantidad de elementos mayores o iguales que el primer valor y menores que el segundo es la diferencia de los dos rangos. Este recuento se puede ajustar hacia arriba o hacia abajo en uno según si los puntos finales del rango se deben considerar como parte del rango y si la matriz contiene entradas que coinciden con esos puntos finales. ^[13]

En términos del número de comparaciones, el rendimiento de la búsqueda binaria se puede analizar al ver la ejecución del procedimiento en un árbol binario. El nodo raíz del árbol es el elemento central de la matriz. El elemento central de la mitad inferior es el nodo hijo izquierdo de la raíz, y el elemento central de la mitad superior es el nodo hijo derecho de la raíz. El resto del árbol se construye de manera similar. A partir del nodo raíz, se recorren los subárboles izquierdo o derecho dependiendo de si el valor objetivo es menor o mayor que el nodo en consideración. ^{[6] [14]}

En el peor de los casos, la búsqueda binaria realiza iteraciones del bucle de comparación, donde la notación denota la función base que produce el mayor entero menor o igual que el argumento, y es el logaritmo binario . Esto se debe a que el peor de los casos se alcanza cuando la búsqueda alcanza el nivel más profundo del árbol, y siempre hay niveles en el árbol para cualquier búsqueda binaria.${\textstyle \lfloor \log _{2}(n)+1\rfloor }$${\textstyle \lfloor \cdot \rfloor }$${\textstyle \log _{2}}$${\textstyle \lfloor \log _{2}(n)+1\rfloor }$

El peor caso también puede darse cuando el elemento de destino no está en la matriz. Si es uno menos que una potencia de dos, entonces este es siempre el caso. De lo contrario, la búsqueda puede realizar iteraciones si la búsqueda alcanza el nivel más profundo del árbol. Sin embargo, puede realizar iteraciones, que es uno menos que el peor caso, si la búsqueda termina en el segundo nivel más profundo del árbol. ^[15]${\textstyle n}$${\textstyle \lfloor \log _{2}(n)+1\rfloor }$${\textstyle \lfloor \log _{2}(n)\rfloor }$

En promedio, suponiendo que cada elemento tiene la misma probabilidad de ser buscado, la búsqueda binaria realiza iteraciones cuando el elemento de destino está en la matriz. Esto es aproximadamente igual a iteraciones. Cuando el elemento de destino no está en la matriz, la búsqueda binaria realiza iteraciones en promedio, suponiendo que el rango entre los elementos y los elementos externos tiene la misma probabilidad de ser buscado. ^[14]${\displaystyle \lfloor \log _{2}(n)\rfloor +1-(2^{\lfloor \log _{2}(n)\rfloor +1}-\lfloor \log _{2}(n)\rfloor -2)/n}$${\displaystyle \log _{2}(n)-1}$${\displaystyle \lfloor \log _{2}(n)\rfloor +2-2^{\lfloor \log _{2}(n)\rfloor +1}/(n+1)}$

En el mejor caso, cuando el valor objetivo es el elemento central de la matriz, su posición se devuelve después de una iteración. ^[16]

En términos de iteraciones, ningún algoritmo de búsqueda que funcione únicamente comparando elementos puede exhibir un mejor desempeño promedio y en el peor de los casos que la búsqueda binaria. El árbol de comparación que representa la búsqueda binaria tiene la menor cantidad de niveles posible, ya que cada nivel por encima del nivel más bajo del árbol se llena por completo. ^[b] De lo contrario, el algoritmo de búsqueda puede eliminar algunos elementos en una iteración, lo que aumenta el número de iteraciones requeridas en el promedio y el peor de los casos. Este es el caso de otros algoritmos de búsqueda basados ​​en comparaciones, ya que si bien pueden funcionar más rápido en algunos valores objetivo, el desempeño promedio sobre todos los elementos es peor que la búsqueda binaria. Al dividir la matriz a la mitad, la búsqueda binaria garantiza que el tamaño de ambas submatrices sea lo más similar posible. ^[14]

La búsqueda binaria requiere tres punteros a elementos, que pueden ser índices de matriz o punteros a ubicaciones de memoria, independientemente del tamaño de la matriz. Por lo tanto, la complejidad espacial de la búsqueda binaria se encuentra en el modelo de cálculo de Word-RAM .${\displaystyle O(1)}$

El número promedio de iteraciones realizadas por una búsqueda binaria depende de la probabilidad de que se busque cada elemento. El caso promedio es diferente para búsquedas exitosas y búsquedas fallidas. Se asumirá que cada elemento tiene la misma probabilidad de ser buscado para búsquedas exitosas. Para búsquedas fallidas, se asumirá que los intervalos entre y elementos externos tienen la misma probabilidad de ser buscados. El caso promedio para búsquedas exitosas es el número de iteraciones requeridas para buscar cada elemento exactamente una vez, dividido por , el número de elementos. El caso promedio para búsquedas fallidas es el número de iteraciones requeridas para buscar un elemento dentro de cada intervalo exactamente una vez, dividido por los intervalos. ^[14]${\displaystyle n}$${\displaystyle n+1}$

En la representación del árbol binario, una búsqueda exitosa puede representarse mediante una ruta desde la raíz hasta el nodo de destino, llamada ruta interna . La longitud de una ruta es el número de aristas (conexiones entre nodos) por las que pasa la ruta. El número de iteraciones realizadas por una búsqueda, dado que la ruta correspondiente tiene una longitud , es contando la iteración inicial. La longitud de la ruta interna es la suma de las longitudes de todas las rutas internas únicas. Dado que solo hay una ruta desde la raíz hasta cualquier nodo individual, cada ruta interna representa una búsqueda de un elemento específico. Si hay elementos, que es un entero positivo, y la longitud de la ruta interna es , entonces el número promedio de iteraciones para una búsqueda exitosa es , con la iteración única agregada para contar la iteración inicial. ^[14]${\displaystyle l}$${\displaystyle l+1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle I(n)}$${\displaystyle T(n)=1+{\frac {I(n)}{n}}}$

Dado que la búsqueda binaria es el algoritmo óptimo para buscar con comparaciones, este problema se reduce a calcular la longitud mínima de la ruta interna de todos los árboles binarios con nodos, que es igual a: ^[17]${\displaystyle n}$

${\displaystyle I(n)=\sum _{k=1}^{n}\left\lfloor \log _{2}(k)\right\rfloor }$

Por ejemplo, en una matriz de 7 elementos, la raíz requiere una iteración, los dos elementos que se encuentran debajo de la raíz requieren dos iteraciones y los cuatro elementos que se encuentran debajo requieren tres iteraciones. En este caso, la longitud de la ruta interna es: ^[17]

${\displaystyle \sum _{k=1}^{7}\left\lfloor \log _{2}(k)\right\rfloor =0+2(1)+4(2)=2+8=10}$

El número promedio de iteraciones se basaría en la ecuación del caso promedio. La suma para se puede simplificar a: ^[14]${\displaystyle 1+{\frac {10}{7}}=2{\frac {3}{7}}}$${\displaystyle I(n)}$

${\displaystyle I(n)=\sum _{k=1}^{n}\left\lfloor \log _{2}(k)\right\rfloor =(n+1)\left\lfloor \log _{2}(n+1)\right\rfloor -2^{\left\lfloor \log _{2}(n+1)\right\rfloor +1}+2}$

Sustituyendo la ecuación para en la ecuación para : ^[14]${\displaystyle I(n)}$${\displaystyle T(n)}$

${\displaystyle T(n)=1+{\frac {(n+1)\left\lfloor \log _{2}(n+1)\right\rfloor -2^{\left\lfloor \log _{2}(n+1)\right\rfloor +1}+2}{n}}=\lfloor \log _{2}(n)\rfloor +1-(2^{\lfloor \log _{2}(n)\rfloor +1}-\lfloor \log _{2}(n)\rfloor -2)/n}$

Para un número entero , esto es equivalente a la ecuación para el caso promedio de una búsqueda exitosa especificada anteriormente.${\displaystyle n}$

Las búsquedas fallidas se pueden representar aumentando el árbol con nodos externos , lo que forma un árbol binario extendido . Si un nodo interno, o un nodo presente en el árbol, tiene menos de dos nodos secundarios, se agregan nodos secundarios adicionales, llamados nodos externos, de modo que cada nodo interno tenga dos secundarios. Al hacerlo, una búsqueda fallida se puede representar como una ruta a un nodo externo, cuyo padre es el único elemento que permanece durante la última iteración. Una ruta externa es una ruta desde la raíz a un nodo externo. La longitud de la ruta externa es la suma de las longitudes de todas las rutas externas únicas. Si hay elementos, que es un entero positivo, y la longitud de la ruta externa es , entonces el número promedio de iteraciones para una búsqueda fallida , con la iteración agregada para contar la iteración inicial. La longitud de la ruta externa se divide por en lugar de porque hay rutas externas, que representan los intervalos entre y fuera de los elementos de la matriz. ^[14]${\displaystyle n}$${\displaystyle E(n)}$${\displaystyle T'(n)={\frac {E(n)}{n+1}}}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n+1}$

Este problema se puede reducir de manera similar a determinar la longitud mínima del camino externo de todos los árboles binarios con nodos. Para todos los árboles binarios, la longitud del camino externo es igual a la longitud del camino interno más . ^[17] Sustituyendo la ecuación por : ^[14]${\displaystyle n}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle I(n)}$

${\displaystyle E(n)=I(n)+2n=\left[(n+1)\left\lfloor \log _{2}(n+1)\right\rfloor -2^{\left\lfloor \log _{2}(n+1)\right\rfloor +1}+2\right]+2n=(n+1)(\lfloor \log _{2}(n)\rfloor +2)-2^{\lfloor \log _{2}(n)\rfloor +1}}$

Sustituyendo la ecuación para en la ecuación para , se puede determinar el caso promedio de búsquedas fallidas: ^[14]${\displaystyle E(n)}$${\displaystyle T'(n)}$

${\displaystyle T'(n)={\frac {(n+1)(\lfloor \log _{2}(n)\rfloor +2)-2^{\lfloor \log _{2}(n)\rfloor +1}}{(n+1)}}=\lfloor \log _{2}(n)\rfloor +2-2^{\lfloor \log _{2}(n)\rfloor +1}/(n+1)}$

Cada iteración del procedimiento de búsqueda binaria definido anteriormente realiza una o dos comparaciones, verificando si el elemento del medio es igual al objetivo en cada iteración. Suponiendo que cada elemento tiene la misma probabilidad de ser buscado, cada iteración realiza 1,5 comparaciones en promedio. Una variación del algoritmo verifica si el elemento del medio es igual al objetivo al final de la búsqueda. En promedio, esto elimina la mitad de una comparación de cada iteración. Esto reduce ligeramente el tiempo que toma cada iteración en la mayoría de las computadoras. Sin embargo, garantiza que la búsqueda tome el número máximo de iteraciones, agregando en promedio una iteración a la búsqueda. Debido a que el bucle de comparación se realiza solo veces en el peor de los casos, el ligero aumento en la eficiencia por iteración no compensa la iteración adicional para todos, excepto para valores muy grandes . ^{[c] [18] [19]}${\textstyle \lfloor \log _{2}(n)+1\rfloor }$${\textstyle n}$

Al analizar el rendimiento de la búsqueda binaria, otra consideración es el tiempo necesario para comparar dos elementos. Para números enteros y cadenas, el tiempo necesario aumenta linealmente a medida que aumenta la longitud de codificación (normalmente el número de bits ) de los elementos. Por ejemplo, comparar un par de números enteros sin signo de 64 bits requeriría comparar hasta el doble de bits que comparar un par de números enteros sin signo de 32 bits. El peor caso se da cuando los números enteros son iguales. Esto puede ser significativo cuando las longitudes de codificación de los elementos son grandes, como con tipos de números enteros grandes o cadenas largas, lo que hace que la comparación de elementos sea costosa. Además, comparar valores de punto flotante (la representación digital más común de números reales ) suele ser más costoso que comparar números enteros o cadenas cortas.

En la mayoría de las arquitecturas de ordenador, el procesador tiene una caché de hardware separada de la RAM . Dado que se encuentran dentro del propio procesador, las cachés son mucho más rápidas de acceder, pero suelen almacenar muchos menos datos que la RAM. Por tanto, la mayoría de los procesadores almacenan las ubicaciones de memoria a las que se ha accedido recientemente, junto con las ubicaciones de memoria cercanas a él. Por ejemplo, cuando se accede a un elemento de una matriz, el propio elemento puede almacenarse junto con los elementos que están almacenados cerca de él en la RAM, lo que hace que sea más rápido acceder secuencialmente a los elementos de la matriz que están cerca en índice entre sí ( localidad de referencia ). En una matriz ordenada, la búsqueda binaria puede saltar a ubicaciones de memoria distantes si la matriz es grande, a diferencia de los algoritmos (como la búsqueda lineal y el sondeo lineal en tablas hash ) que acceden a los elementos en secuencia. Esto aumenta ligeramente el tiempo de ejecución de la búsqueda binaria para matrices grandes en la mayoría de los sistemas. ^[20]

Las matrices ordenadas con búsqueda binaria son una solución muy ineficiente cuando las operaciones de inserción y eliminación se intercalan con la recuperación, y cada una de ellas requiere tiempo. Además, las matrices ordenadas pueden complicar el uso de la memoria, especialmente cuando se insertan elementos con frecuencia en la matriz. ^[21] Existen otras estructuras de datos que admiten una inserción y eliminación mucho más eficiente. La búsqueda binaria se puede utilizar para realizar una coincidencia exacta y la pertenencia a conjuntos (determinar si un valor de destino está en una colección de valores). Existen estructuras de datos que admiten una coincidencia exacta y una pertenencia a conjuntos más rápidas. Sin embargo, a diferencia de muchos otros esquemas de búsqueda, la búsqueda binaria se puede utilizar para una coincidencia aproximada eficiente, y normalmente se realizan dichas coincidencias a tiempo independientemente del tipo o la estructura de los propios valores. ^[22] Además, existen algunas operaciones, como encontrar el elemento más pequeño y el más grande, que se pueden realizar de manera eficiente en una matriz ordenada. ^[11]${\textstyle O(n)}$${\textstyle O(\log n)}$

La búsqueda lineal es un algoritmo de búsqueda simple que revisa cada registro hasta encontrar el valor objetivo. La búsqueda lineal se puede realizar en una lista enlazada, lo que permite una inserción y eliminación más rápida que una matriz. La búsqueda binaria es más rápida que la búsqueda lineal para matrices ordenadas, excepto si la matriz es corta, aunque la matriz debe ordenarse de antemano. ^{[d] [24]} Todos los algoritmos de ordenación basados ​​en la comparación de elementos, como quicksort y merge sort , requieren al menos comparaciones en el peor de los casos. ^[25] A diferencia de la búsqueda lineal, la búsqueda binaria se puede utilizar para una coincidencia aproximada eficiente. Hay operaciones como encontrar el elemento más pequeño y más grande que se pueden realizar de manera eficiente en una matriz ordenada pero no en una matriz sin ordenar. ^[26]${\textstyle O(n\log n)}$

Un árbol binario de búsqueda es una estructura de datos de árbol binario que funciona según el principio de búsqueda binaria. Los registros del árbol están dispuestos en orden ordenado, y cada registro del árbol puede buscarse utilizando un algoritmo similar a la búsqueda binaria, que toma un tiempo logarítmico promedio. La inserción y eliminación también requieren un tiempo logarítmico promedio en árboles binarios de búsqueda. Esto puede ser más rápido que la inserción y eliminación en tiempo lineal de matrices ordenadas, y los árboles binarios conservan la capacidad de realizar todas las operaciones posibles en una matriz ordenada, incluidas las consultas de rango y aproximadas. ^{[22] [27]}

Sin embargo, la búsqueda binaria suele ser más eficiente para la búsqueda, ya que los árboles de búsqueda binaria probablemente estarán imperfectamente equilibrados, lo que dará como resultado un rendimiento ligeramente peor que la búsqueda binaria. Esto incluso se aplica a los árboles de búsqueda binaria equilibrados , árboles de búsqueda binaria que equilibran sus propios nodos, porque rara vez producen el árbol con la menor cantidad posible de niveles. A excepción de los árboles de búsqueda binaria equilibrados, el árbol puede estar severamente desequilibrado con pocos nodos internos con dos hijos, lo que da como resultado que el tiempo de búsqueda promedio y en el peor de los casos se acerque a las comparaciones. ^[e] Los árboles de búsqueda binaria ocupan más espacio que las matrices ordenadas. ^[29]${\textstyle n}$

Los árboles binarios de búsqueda se prestan a la búsqueda rápida en la memoria externa almacenada en discos duros, ya que los árboles binarios de búsqueda se pueden estructurar de manera eficiente en sistemas de archivos. El árbol B generaliza este método de organización de árboles. Los árboles B se utilizan con frecuencia para organizar el almacenamiento a largo plazo, como bases de datos y sistemas de archivos . ^{[30] [31]}

Para implementar arreglos asociativos , las tablas hash , una estructura de datos que asigna claves a registros usando una función hash , son generalmente más rápidas que la búsqueda binaria en un arreglo ordenado de registros. ^[32] La mayoría de las implementaciones de tablas hash requieren solo tiempo constante amortizado en promedio. ^{[f] [34]} Sin embargo, el hash no es útil para coincidencias aproximadas, como calcular la clave siguiente más pequeña, siguiente más grande y más cercana, ya que la única información dada en una búsqueda fallida es que el objetivo no está presente en ningún registro. ^[35] La búsqueda binaria es ideal para tales coincidencias, realizándolas en tiempo logarítmico. La búsqueda binaria también admite coincidencias aproximadas. Algunas operaciones, como encontrar el elemento más pequeño y más grande, se pueden realizar de manera eficiente en arreglos ordenados pero no en tablas hash. ^[22]

Un problema relacionado con la búsqueda es la pertenencia a un conjunto . Cualquier algoritmo que realice búsquedas, como la búsqueda binaria, también se puede utilizar para la pertenencia a un conjunto. Hay otros algoritmos que son más adecuados específicamente para la pertenencia a un conjunto. Una matriz de bits es la más simple, útil cuando el rango de claves es limitado. Almacena de forma compacta una colección de bits , donde cada bit representa una clave única dentro del rango de claves. Las matrices de bits son muy rápidas y solo requieren tiempo. ^[36] El tipo Judy1 de matriz Judy maneja claves de 64 bits de manera eficiente. ^[37]${\textstyle O(1)}$

Para obtener resultados aproximados, los filtros Bloom , otra estructura de datos probabilística basada en hash, almacenan un conjunto de claves mediante la codificación de las claves utilizando una matriz de bits y múltiples funciones hash. Los filtros Bloom son mucho más eficientes en cuanto al espacio que las matrices de bits en la mayoría de los casos y no mucho más lentos: con las funciones hash, las consultas de pertenencia solo requieren tiempo. Sin embargo, los filtros Bloom sufren de falsos positivos . ^{[g] [h] [39]}${\textstyle k}$${\textstyle O(k)}$

Existen estructuras de datos que pueden mejorar la búsqueda binaria en algunos casos, tanto para la búsqueda como para otras operaciones disponibles para matrices ordenadas. Por ejemplo, las búsquedas, las coincidencias aproximadas y las operaciones disponibles para matrices ordenadas se pueden realizar de manera más eficiente que la búsqueda binaria en estructuras de datos especializadas, como árboles de van Emde Boas , árboles de fusión , tries y matrices de bits . Estas estructuras de datos especializadas suelen ser más rápidas solo porque aprovechan las propiedades de las claves con un determinado atributo (normalmente claves que son números enteros pequeños) y, por tanto, consumirán tiempo o espacio para las claves que carecen de ese atributo. ^[22] Siempre que las claves se puedan ordenar, estas operaciones siempre se pueden realizar al menos de manera eficiente en una matriz ordenada independientemente de las claves. Algunas estructuras, como las matrices Judy, utilizan una combinación de enfoques para mitigar esto al tiempo que conservan la eficiencia y la capacidad de realizar coincidencias aproximadas. ^[37]

La búsqueda binaria uniforme almacena, en lugar de los límites inferior y superior, la diferencia en el índice del elemento central desde la iteración actual hasta la siguiente iteración. De antemano se calcula una tabla de búsqueda que contiene las diferencias. Por ejemplo, si la matriz que se va a buscar es [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11] , el elemento central ( ) sería 6 . En este caso, el elemento central de la submatriz izquierda ( [1, 2, 3, 4, 5] ) es 3 y el elemento central de la submatriz derecha ( [7, 8, 9, 10, 11] ) es 9 . La búsqueda binaria uniforme almacenaría el valor de 3 ya que ambos índices difieren de 6 en esta misma cantidad. ^[40] Para reducir el espacio de búsqueda, el algoritmo suma o resta este cambio del índice del elemento central. La búsqueda binaria uniforme puede ser más rápida en sistemas donde es ineficiente calcular el punto medio, como en las computadoras decimales . ^[41]${\displaystyle m}$

La búsqueda exponencial extiende la búsqueda binaria a listas ilimitadas. Comienza por encontrar el primer elemento con un índice que sea a la vez una potencia de dos y mayor que el valor objetivo. Después, establece ese índice como el límite superior y cambia a la búsqueda binaria. Una búsqueda requiere iteraciones antes de que se inicie la búsqueda binaria y, como máximo, iteraciones de la búsqueda binaria, donde es la posición del valor objetivo. La búsqueda exponencial funciona en listas limitadas, pero se convierte en una mejora con respecto a la búsqueda binaria solo si el valor objetivo se encuentra cerca del comienzo de la matriz. ^[42]${\textstyle \lfloor \log _{2}x+1\rfloor }$${\textstyle \lfloor \log _{2}x\rfloor }$${\textstyle x}$

En lugar de calcular el punto medio, la búsqueda por interpolación estima la posición del valor objetivo, teniendo en cuenta los elementos más altos y más bajos de la matriz, así como la longitud de la matriz. Funciona sobre la base de que el punto medio no es la mejor estimación en muchos casos. Por ejemplo, si el valor objetivo está cerca del elemento más alto de la matriz, es probable que se encuentre cerca del final de la matriz. ^[43]

Una función de interpolación común es la interpolación lineal . Si es la matriz, son los límites inferior y superior respectivamente, y es el objetivo, entonces se estima que el objetivo está aproximadamente entre y . Cuando se utiliza la interpolación lineal, y la distribución de los elementos de la matriz es uniforme o casi uniforme, la búsqueda por interpolación realiza comparaciones. ^{[43] [44] [45]}${\displaystyle A}$${\displaystyle L,R}$${\displaystyle T}$${\displaystyle (T-A_{L})/(A_{R}-A_{L})}$${\displaystyle L}$${\displaystyle R}$${\textstyle O(\log \log n)}$

En la práctica, la búsqueda por interpolación es más lenta que la búsqueda binaria para matrices pequeñas, ya que la búsqueda por interpolación requiere cálculos adicionales. Su complejidad temporal crece más lentamente que la búsqueda binaria, pero esto solo compensa los cálculos adicionales para matrices grandes. ^[43]

La cascada fraccionaria es una técnica que acelera las búsquedas binarias del mismo elemento en múltiples matrices ordenadas. La búsqueda en cada matriz por separado requiere tiempo, donde es el número de matrices. La cascada fraccionaria reduce esto a almacenando información específica en cada matriz sobre cada elemento y su posición en las otras matrices. ^{[46] [47]}${\textstyle O(k\log n)}$${\textstyle k}$${\textstyle O(k+\log n)}$

El método de cascada fraccionaria se desarrolló originalmente para resolver de manera eficiente diversos problemas de geometría computacional . El método de cascada fraccionaria se ha aplicado en otros ámbitos, como la minería de datos y el enrutamiento del protocolo de Internet . ^[46]

La búsqueda binaria se ha generalizado para funcionar en ciertos tipos de gráficos, donde el valor objetivo se almacena en un vértice en lugar de un elemento de matriz. Los árboles de búsqueda binaria son una de esas generalizaciones: cuando se consulta un vértice (nodo) en el árbol, el algoritmo aprende que el vértice es el objetivo o, de lo contrario, en qué subárbol se ubicaría el objetivo. Sin embargo, esto se puede generalizar aún más de la siguiente manera: dado un gráfico no dirigido, ponderado positivamente y un vértice objetivo, el algoritmo aprende al consultar un vértice que es igual al objetivo, o se le da un borde incidente que está en la ruta más corta desde el vértice consultado hasta el objetivo. El algoritmo de búsqueda binaria estándar es simplemente el caso en el que el gráfico es una ruta. De manera similar, los árboles de búsqueda binaria son el caso en el que se dan los bordes de los subárboles izquierdo o derecho cuando el vértice consultado no es igual al objetivo. Para todos los gráficos no dirigidos, ponderados positivamente, existe un algoritmo que encuentra el vértice objetivo en las consultas en el peor de los casos. ^[48]${\displaystyle O(\log n)}$

Los algoritmos de búsqueda binaria ruidosa resuelven el caso en el que el algoritmo no puede comparar de manera confiable los elementos de la matriz. Para cada par de elementos, existe una cierta probabilidad de que el algoritmo haga la comparación incorrecta. La búsqueda binaria ruidosa puede encontrar la posición correcta del objetivo con una probabilidad dada que controla la confiabilidad de la posición obtenida. Cada procedimiento de búsqueda binaria ruidosa debe hacer al menos comparaciones en promedio, donde es la función de entropía binaria y es la probabilidad de que el procedimiento arroje la posición incorrecta. ^{[49] [50] [51]} El problema de la búsqueda binaria ruidosa puede considerarse como un caso del juego Rényi-Ulam , ^[52] una variante de Veinte preguntas donde las respuestas pueden ser incorrectas. ^[53]${\displaystyle (1-\tau ){\frac {\log _{2}(n)}{H(p)}}-{\frac {10}{H(p)}}}$${\displaystyle H(p)=-p\log _{2}(p)-(1-p)\log _{2}(1-p)}$${\displaystyle \tau }$

Las computadoras clásicas están limitadas al peor caso de iteraciones exactas cuando realizan una búsqueda binaria. Los algoritmos cuánticos para la búsqueda binaria todavía están limitados a una proporción de consultas (que representan iteraciones del procedimiento clásico), pero el factor constante es menor que uno, lo que proporciona una complejidad temporal menor en las computadoras cuánticas . Cualquier procedimiento de búsqueda binaria cuántica exacta , es decir, un procedimiento que siempre produce el resultado correcto, requiere al menos consultas en el peor caso, donde es el logaritmo natural . ^[54] Hay un procedimiento de búsqueda binaria cuántica exacta que se ejecuta en consultas en el peor caso. ^[55] En comparación, el algoritmo de Grover es el algoritmo cuántico óptimo para buscar una lista desordenada de elementos, y requiere consultas. ^[56]${\textstyle \lfloor \log _{2}n+1\rfloor }$${\textstyle \log _{2}n}$${\textstyle {\frac {1}{\pi }}(\ln n-1)\approx 0.22\log _{2}n}$${\textstyle \ln }$${\textstyle 4\log _{605}n\approx 0.433\log _{2}n}$${\displaystyle O({\sqrt {n}})}$

La idea de ordenar una lista de elementos para permitir una búsqueda más rápida se remonta a la antigüedad. El ejemplo más antiguo conocido fue la tablilla Inakibit-Anu de Babilonia que data de alrededor del año  200 a . C. La tablilla contenía alrededor de 500 números sexagesimales y sus recíprocos ordenados en orden lexicográfico , lo que facilitaba la búsqueda de una entrada específica. Además, se descubrieron varias listas de nombres que se ordenaban por su primera letra en las islas del Egeo . Catholicon , un diccionario latino terminado en 1286 d. C., fue la primera obra que describió reglas para ordenar las palabras en orden alfabético, en lugar de solo las primeras letras. ^[9]

En 1946, John Mauchly hizo la primera mención de la búsqueda binaria como parte de las Moore School Lectures , un curso universitario seminal y fundacional en informática. ^[9] En 1957, William Wesley Peterson publicó el primer método para la búsqueda por interpolación. ^{[9] [57]} Cada algoritmo de búsqueda binaria publicado funcionó solo para matrices cuya longitud es uno menos que una potencia de dos ^[i] hasta 1960, cuando Derrick Henry Lehmer publicó un algoritmo de búsqueda binaria que funcionaba en todas las matrices. ^[59] En 1962, Hermann Bottenbruch presentó una implementación ALGOL 60 de la búsqueda binaria que colocó la comparación de igualdad al final, aumentando el número promedio de iteraciones en uno, pero reduciendo a uno el número de comparaciones por iteración. ^[8] La búsqueda binaria uniforme fue desarrollada por AK Chandra de la Universidad de Stanford en 1971. ^[9] En 1986, Bernard Chazelle y Leonidas J. Guibas introdujeron la cascada fraccionaria como un método para resolver numerosos problemas de búsqueda en geometría computacional . ^{[46] [60] [61]}

Aunque la idea básica de la búsqueda binaria es comparativamente sencilla, los detalles pueden ser sorprendentemente complicados.

—Donald  Knuth ^[2]

Cuando Jon Bentley asignó la búsqueda binaria como un problema en un curso para programadores profesionales, descubrió que el noventa por ciento no lograba proporcionar una solución correcta después de varias horas de trabajo en él, principalmente porque las implementaciones incorrectas no se ejecutaban o devolvían una respuesta incorrecta en casos extremos poco frecuentes . ^[62] Un estudio publicado en 1988 muestra que el código preciso para ello solo se encuentra en cinco de veinte libros de texto. ^[63] Además, la propia implementación de la búsqueda binaria de Bentley, publicada en su libro de 1986 Programming Pearls , contenía un error de desbordamiento que permaneció sin detectar durante más de veinte años. La implementación de la búsqueda binaria de la biblioteca del lenguaje de programación Java tuvo el mismo error de desbordamiento durante más de nueve años. ^[64]

En una implementación práctica, las variables utilizadas para representar los índices a menudo serán de tamaño fijo (números enteros), y esto puede resultar en un desbordamiento aritmético para matrices muy grandes. Si el punto medio del intervalo se calcula como , entonces el valor de puede exceder el rango de números enteros del tipo de datos utilizado para almacenar el punto medio, incluso si y están dentro del rango. Si y son no negativos, esto se puede evitar calculando el punto medio como . ^[65]${\displaystyle {\frac {L+R}{2}}}$${\displaystyle L+R}$${\displaystyle L}$${\displaystyle R}$${\displaystyle L}$${\displaystyle R}$${\displaystyle L+{\frac {R-L}{2}}}$

Un bucle infinito puede ocurrir si las condiciones de salida del bucle no están definidas correctamente. Una vez que se excede , la búsqueda ha fallado y debe transmitir el fallo de la búsqueda. Además, se debe salir del bucle cuando se encuentra el elemento de destino, o en el caso de una implementación donde esta comprobación se traslada al final, se deben realizar comprobaciones para determinar si la búsqueda fue exitosa o falló al final. Bentley descubrió que la mayoría de los programadores que implementaron incorrectamente la búsqueda binaria cometieron un error al definir las condiciones de salida. ^{[8] [66]}${\displaystyle L}$${\displaystyle R}$

Las bibliotecas estándar de muchos lenguajes incluyen rutinas de búsqueda binaria:

• C proporciona la función bsearch() en su biblioteca estándar , que normalmente se implementa mediante búsqueda binaria, aunque el estándar oficial no lo requiere así. ^[67]
• La biblioteca estándar de C++ proporciona las funciones binary_search(), lower_bound(), upper_bound()y equal_range(). ^[68]
• La biblioteca estándar de Dstd.range , Phobos, en el módulo proporciona un tipo SortedRange(devuelto por las funciones sort()y assumeSorted()) con los métodos contains(), equaleRange(), lowerBound()y trisect(), que utilizan técnicas de búsqueda binaria de forma predeterminada para rangos que ofrecen acceso aleatorio. ^[69]
• COBOL proporciona el SEARCH ALLverbo para realizar búsquedas binarias en tablas ordenadas de COBOL. ^[70]
• El paquete de biblioteca estándar de Gosort contiene las funciones Search, SearchInts, SearchFloat64s, y SearchStrings, que implementan la búsqueda binaria general, así como implementaciones específicas para buscar porciones de números enteros, números de punto flotante y cadenas, respectivamente. ^[71]
• Java ofrece un conjunto de métodos estáticos sobrecargados en las clases y en el paquete estándar para realizar búsquedas binarias en matrices Java y en s, respectivamente. ^{[72] [73]}binarySearch()ArraysCollectionsjava.utilList
• El .NET Framework 2.0 de Microsoft ofrece versiones genéricas estáticas del algoritmo de búsqueda binaria en sus clases base de colección. Un ejemplo sería System.Arrayel método de BinarySearch<T>(T[] array, T value). ^[74]
• Para Objective-C , el marco CocoaNSArray -indexOfObject:inSortedRange:options:usingComparator: proporciona el método en Mac OS X 10.6+. ^{[75] El marco} Core Foundation C de Apple también contiene una CFArrayBSearchValues()función. ^[76]
• Python proporciona el bisectmódulo que mantiene una lista en orden ordenado sin tener que ordenar la lista después de cada inserción. ^[77]
• La clase Array de Rubybsearch incluye un método con coincidencia aproximada incorporada. ^[78]
• La primitiva de corte de Rustbinary_search() proporciona , binary_search_by(), binary_search_by_key(), y partition_point(). ^[79]

• Método de bisección  : algoritmo para encontrar un cero de una función; la misma idea se utiliza para resolver ecuaciones en números reales.
• Búsqueda binaria multiplicativa  : variación de la búsqueda binaria con cálculo simplificado del punto medio

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• Diccionario NIST de algoritmos y estructuras de datos: búsqueda binaria
• Comparaciones y evaluaciones comparativas de una variedad de implementaciones de búsqueda binaria en C Archivado el 25 de septiembre de 2019 en Wayback Machine