Factorial de Bhargava

En matemáticas , la función factorial de Bhargava , o simplemente factorial de Bhargava , es una cierta generalización de la función factorial desarrollada por el matemático ganador de la Medalla Fields Manjul Bhargava como parte de su tesis en la Universidad de Harvard en 1996. El factorial de Bhargava tiene la propiedad de que muchos resultados de la teoría de números que involucran los factoriales ordinarios siguen siendo verdaderos incluso cuando los factoriales son reemplazados por los factoriales de Bhargava. Usando un subconjunto infinito arbitrario S del conjunto de números enteros, Bhargava asoció un entero positivo con cada entero positivo k , que denotó por k  ! _S , con la propiedad de que si uno toma S = a sí mismo, entonces el entero asociado con k , es decir k  ! , resultaría ser el factorial ordinario de k . ^[1]${\displaystyle \mathbb {Z}}$${\displaystyle \mathbb {Z}}$_{${\displaystyle \mathbb {Z}}$}

El factorial de un entero no negativo n , denotado por n !, es el producto de todos los enteros positivos menores o iguales a n . Por ejemplo, 5! = 5×4×3×2×1 = 120. Por convención, el valor de 0! se define como 1. Esta función factorial clásica aparece de forma destacada en muchos teoremas de la teoría de números . A continuación se presentan algunos de estos teoremas. ^[1]

1. Para cualquier número entero positivo m y n , ( m + n )! es un múltiplo de m ! n !.
2. Sea f ( x ) un polinomio entero primitivo , es decir, un polinomio en el que los coeficientes son números enteros y son primos entre sí. Si el grado de f ( x ) es k , entonces el máximo común divisor del conjunto de valores de f ( x ) para valores enteros de x es un divisor de k !.
3. Sean a ₀ , a ₁ , a ₂ , ... , a _n cualesquiera n + 1 números enteros. Entonces el producto de sus diferencias por pares es un múltiplo de 0! 1! ... n !.
4. Sea el conjunto de los números enteros y n un número entero cualquiera. Entonces el número de funciones polinómicas desde el anillo de números enteros hasta el anillo de cocientes está dado por .${\displaystyle \mathbb {Z}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle \prod_{k=0}^{n-1}{\frac {n}{\mcd(n,k!)}}}$

Bhargava se planteó el siguiente problema y obtuvo una respuesta afirmativa: En los teoremas anteriores, ¿se puede reemplazar el conjunto de números enteros por algún otro conjunto S (un subconjunto de , o un subconjunto de algún anillo ) y definir una función que depende de S que asigna un valor a cada número entero no negativo k , denotado por k ! _S , tal que las afirmaciones obtenidas de los teoremas dados anteriormente al reemplazar k ! por k ! _S siguen siendo verdaderas?${\displaystyle \mathbb {Z}}$

• Sea S un subconjunto infinito arbitrario del conjunto Z de números enteros.
• Elija un número primo p .
• Construya una secuencia ordenada { a ₀ , a ₁ , a ₂ , ... } de números elegidos de S como sigue (tal secuencia se llama p -ordenación de S ):

1. a ₀ es cualquier elemento arbitrario de S.
2. a ₁ es cualquier elemento arbitrario de S tal que la potencia más alta de p que divide a ₁  −  a ₀ es mínima.
3. a ₂ es cualquier elemento arbitrario de S tal que la potencia más alta de p que divide ( a ₂  −  a ₀ )( a ₂  −  a ₁ ) es mínima.
4. a ₃ es cualquier elemento arbitrario de S tal que la potencia más alta de p que divide ( a ₃  −  a ₀ )( a ₃  −  a ₁ )( a ₃  −  a ₂ ) es mínima.
5. ... etcétera.

• Construya un p -ordenamiento de S para cada número primo p . (Para un número primo p dado , el p -ordenamiento de S no es único).
• Para cada entero no negativo k , sea v _k ( S , p ) la potencia más alta de p que divide ( a _k  −  a ₀ )( a _k  −  a ₁ )( a _k  −  a ₂ ) ... ( a _k  −  a _{k  − 1} ). La secuencia { v ₀ ( S , p ), v ₁ ( S , p ), v ₂ ( S , p ), v ₃ ( S , p ), ... } se denomina p -secuencia asociada de S . Esto es independiente de cualquier elección particular de p -ordenamiento de S . (Suponemos que v ₀ ( S , p ) = 1 siempre).
• El factorial del entero k , asociado al conjunto infinito S , se define como , donde se toma el producto de todos los números primos p .${\displaystyle k!_{S}=\prod _{p}v_{k}(S,p)}$

Sea S el conjunto de todos los números primos P = {2, 3, 5, 7, 11, ... }.

• Elija p = 2 y forme un p - ordenamiento de P.

• Elija un ₀ = 19 arbitrariamente de P.
• Para elegir un ₁ :

• La potencia más alta de p que divide a 2 −  a ₀ = −17 es 2 ⁰ = 1. Además, para cualquier a ≠ 2 en P, a  −  a ₀ es divisible por 2. Por lo tanto, la potencia más alta de p que divide a ( a ₁  −  a ₀ ) es mínima cuando a ₁ = 2 y la potencia mínima es 1. Por lo tanto, a ₁ se elige como 2 y v ₁ ( P , 2) = 1.

• Para elegir un ₂ :

• Se puede ver que para cada elemento a en P , el producto x = ( a  −  a ₀ )( a  −  a ₁ ) = ( a  − 19)( a  − 2) es divisible por 2. Además, cuando a = 5, x es divisible por 2 y no es divisible por ninguna potencia superior a 2. Por lo tanto, a ₂ puede elegirse como 5. Tenemos v ₂ ( P , 2) = 2.

• Para elegir un ₃ :

• Se puede ver que para cada elemento a en P , el producto x = ( a  −  a ₀ )( a  −  a ₁ )( a  −  a ₂ ) = ( a  − 19)( a  − 2)( a  − 5) es divisible por 2 ³ = 8. Además, cuando a = 17, x es divisible por 8 y no es divisible por ninguna potencia superior a 2. Elija a ₃ = 17. También tenemos v ₃ ( P ,2) = 8.

• Para elegir un ₄ :

• Se puede ver que para cada elemento a en P , el producto x = ( a  −  a ₀ )( a  −  a ₁ )( a  −  a ₂ )( a  −  a ₃ ) = ( a  − 19)( a  − 2)( a  − 5)( a  − 17) es divisible por 2 ⁴ = 16. Además, cuando a = 23, x es divisible por 16 y no es divisible por ninguna potencia superior a 2. Elija a ₄ = 23. También tenemos v ₄ ( P ,2) = 16.

• Para elegir un ₅ :

• Se puede ver que para cada elemento a en P , el producto x = ( a  −  a ₀ )( a  −  a ₁ )( a  −  a ₂ )( a  −  a ₃ )( a  −  a ₄ ) = ( a  − 19)( a  − 2)( a  − 5)( a  − 17)( a  − 23) es divisible por 2 ⁷ = 128. Además, cuando a = 31, x es divisible por 128 y no es divisible por ninguna potencia superior a 2. Elija a ₅ = 31. También tenemos v ₅ ( P ,2) = 128.

• El proceso continúa. Por lo tanto, un ordenamiento 2 de P es {19, 2, 5, 17, 23, 31, ...} y la secuencia 2 asociada es {1, 1, 2, 8, 16, 128, ...}, suponiendo que v ₀ ( P , 2) = 1.

• Para p = 3, un posible ordenamiento p de P es la secuencia {2, 3, 7, 5, 13, 17, 19, ... } y la secuencia p asociada de P es {1, 1, 1, 3, 3, 9, ... }.

• Para p = 5, un posible ordenamiento p de P es la secuencia {2, 3, 5, 19, 11, 7, 13, ... } y la secuencia p asociada es {1, 1, 1, 1, 1, 5, ...}.

• Se puede demostrar que para p ≥ 7, los primeros elementos de las p -secuencias asociadas son {1, 1, 1, 1, 1, 1, ... }.

Los primeros factoriales asociados al conjunto de números primos se obtienen de la siguiente manera (secuencia A053657 en la OEIS ).

Sea S el conjunto de números naturales .${\displaystyle \mathbb {Z}}$

• Para p = 2, la p -secuencia asociada es {1, 1, 2, 2, 8, 8, 16, 16, 128, 128, 256, 256, ... }.
• Para p = 3, la p -secuencia asociada es {1, 1, 1, 3, 3, 3, 9, 9, 9, 27, 27, 27, 81, 81, 81, ... }.
• Para p = 5, la p -secuencia asociada es {1, 1, 1, 1, 1, 5, 5, 5, 5, 5, 25, 25, 25, 25, 25, ... }.
• Para p = 7, la p -secuencia asociada es {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, ... }.
• ... etcétera.

Así, los primeros factoriales que utilizan los números naturales son

• 0! = 1×1×1×1×1×... = 1._{${\displaystyle \mathbb {Z}}$}
• 1! = 1×1×1×1×1×... = 1._{${\displaystyle \mathbb {Z}}$}
• 2! = 2×1×1×1×1×... = 2._{${\displaystyle \mathbb {Z}}$}
• 3! = 2×3×1×1×1×... = 6._{${\displaystyle \mathbb {Z}}$}
• 4! = 8×3×1×1×1×... = 24._{${\displaystyle \mathbb {Z}}$}
• 5! = 8×3×5×1×1×... = 120._{${\displaystyle \mathbb {Z}}$}
• 6! = 16×9×5×1×1×... = 720._{${\displaystyle \mathbb {Z}}$}

La siguiente tabla contiene las expresiones generales para k ! _S para algunos casos especiales de S . ^[1]