Polinomio de Bernstein

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En el campo matemático del análisis numérico , un polinomio de Bernstein es un polinomio expresado como una combinación lineal de polinomios de base de Bernstein. La idea recibe su nombre del matemático Sergei Natanovich Bernstein .

Los polinomios en forma de Bernstein fueron utilizados por primera vez por Bernstein en una demostración constructiva del teorema de aproximación de Weierstrass . Con la llegada de los gráficos por ordenador, los polinomios de Bernstein, restringidos al intervalo [0, 1], adquirieron importancia en forma de curvas de Bézier .

Una forma numéricamente estable de evaluar polinomios en forma de Bernstein es el algoritmo de Casteljau .

Los polinomios base de Bernstein n  +1 de grado n se definen como

${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)\mathrel {:} \mathrel {=} {\binom {n}{\nu }}x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu },\quad \nu =0,\ldots ,n,}$

donde es un coeficiente binomial .${\displaystyle {\tbinom {n}{\nu }}}$

Así, por ejemplo,${\displaystyle b_{2,5}(x)={\tbinom {5}{2}}x^{2}(1-x)^{3}=10x^{2}(1-x)^{3}.}$

Los primeros polinomios base de Bernstein para combinar 1, 2, 3 o 4 valores son:

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{0,0}(x)&=1,\\b_{0,1}(x)&=1-x,&b_{1,1}(x)&=x\\b_{0,2}(x)&=(1-x)^{2},&b_{1,2}(x)&=2x(1-x),&b_{2,2}(x)&=x^{2}\\b_{0,3}(x)&=(1-x)^{3},&b_{1,3}(x)&=3x(1-x)^{2},&b_{2,3}(x)&=3x^{2}(1-x),&b_{3,3}(x)&=x^{3}\end{aligned}}}$

Los polinomios base de Bernstein de grado n forman una base para el espacio vectorial de polinomios de grado  n como máximo con coeficientes reales.${\displaystyle \Pi _{n}}$

Una combinación lineal de polinomios de base de Bernstein

${\displaystyle B_{n}(x)\mathrel {:} \mathrel {=} \sum _{\nu =0}^{n}\beta _{\nu }b_{\nu ,n}(x)}$

se llama polinomio de Bernstein o polinomio en forma de Bernstein de grado  n . ^[1] Los coeficientes se denominan coeficientes de Bernstein o coeficientes de Bézier .${\displaystyle \beta _{\nu }}$

Los primeros polinomios de base de Bernstein mencionados anteriormente en forma monomial son:

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{0,0}(x)&=1,\\b_{0,1}(x)&=1-1x,&b_{1,1}(x)&=0+1x\\b_{0,2}(x)&=1-2x+1x^{2},&b_{1,2}(x)&=0+2x-2x^{2},&b_{2,2}(x)&=0+0x+1x^{2}\\b_{0,3}(x)&=1-3x+3x^{2}-1x^{3},&b_{1,3}(x)&=0+3x-6x^{2}+3x^{3},&b_{2,3}(x)&=0+0x+3x^{2}-3x^{3},&b_{3,3}(x)&=0+0x+0x^{2}+1x^{3}\end{aligned}}}$

Los polinomios base de Bernstein tienen las siguientes propiedades:

• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)=0}$, si o${\displaystyle \nu <0}$${\displaystyle \nu >n.}$
• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)\geq 0}$para${\displaystyle x\in [0,\ 1].}$
• ${\displaystyle b_{\nu ,n}\left(1-x\right)=b_{n-\nu ,n}(x).}$
• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(0)=\delta _{\nu ,0}}$y donde está la función delta de Kronecker :${\displaystyle b_{\nu ,n}(1)=\delta _{\nu ,n}}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j,\\1&{\text{if }}i=j.\end{cases}}}$
• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)}$tiene una raíz con multiplicidad en el punto (nota: si , no hay raíz en 0).${\displaystyle \nu }$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle \nu =0}$
• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)}$tiene una raíz con multiplicidad en el punto (nota: si , no hay raíz en 1).${\displaystyle \left(n-\nu \right)}$${\displaystyle x=1}$${\displaystyle \nu =n}$
• La derivada se puede escribir como una combinación de dos polinomios de grado menor:$${\displaystyle b'_{\nu ,n}(x)=n\left(b_{\nu -1,n-1}(x)-b_{\nu ,n-1}(x)\right).}$$
• La derivada k -ésima en 0:$${\displaystyle b_{\nu ,n}^{(k)}(0)={\frac {n!}{(n-k)!}}{\binom {k}{\nu }}(-1)^{\nu +k}.}$$
• La derivada k -ésima en 1:$${\displaystyle b_{\nu ,n}^{(k)}(1)=(-1)^{k}b_{n-\nu ,n}^{(k)}(0).}$$
• La transformación del polinomio de Bernstein en monomios es y por la transformación binomial inversa , la transformación inversa es ^[2]$${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)={\binom {n}{\nu }}\sum _{k=0}^{n-\nu }{\binom {n-\nu }{k}}(-1)^{n-\nu -k}x^{\nu +k}=\sum _{\ell =\nu }^{n}{\binom {n}{\ell }}{\binom {\ell }{\nu }}(-1)^{\ell -\nu }x^{\ell },}$$ $${\displaystyle x^{k}=\sum _{i=0}^{n-k}{\binom {n-k}{i}}{\frac {1}{\binom {n}{i}}}b_{n-i,n}(x)={\frac {1}{\binom {n}{k}}}\sum _{j=k}^{n}{\binom {j}{k}}b_{j,n}(x).}$$
• La integral indefinida está dada por$${\displaystyle \int b_{\nu ,n}(x)\,dx={\frac {1}{n+1}}\sum _{j=\nu +1}^{n+1}b_{j,n+1}(x).}$$
• La integral definida es constante para un n dado :$${\displaystyle \int _{0}^{1}b_{\nu ,n}(x)\,dx={\frac {1}{n+1}}\quad \ \,{\text{for all }}\nu =0,1,\dots ,n.}$$
• Si , entonces tiene un máximo local único en el intervalo en . Este máximo toma el valor${\displaystyle n\neq 0}$${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)}$${\displaystyle [0,\,1]}$${\displaystyle x={\frac {\nu }{n}}}$$${\displaystyle \nu ^{\nu }n^{-n}\left(n-\nu \right)^{n-\nu }{n \choose \nu }.}$$
• Los polinomios de grado base de Bernstein forman una partición de la unidad :${\displaystyle n}$$${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{n}b_{\nu ,n}(x)=\sum _{\nu =0}^{n}{n \choose \nu }x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu }=\left(x+\left(1-x\right)\right)^{n}=1.}$$
• Tomando la primera derivada de , tratándola como constante y luego sustituyendo el valor , se puede demostrar que${\displaystyle x}$${\displaystyle (x+y)^{n}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y=1-x}$$${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{n}\nu b_{\nu ,n}(x)=nx.}$$
• De manera similar, la segunda derivada de , con nuevamente sustituido entonces , muestra que${\displaystyle x}$${\displaystyle (x+y)^{n}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y=1-x}$$${\displaystyle \sum _{\nu =1}^{n}\nu (\nu -1)b_{\nu ,n}(x)=n(n-1)x^{2}.}$$
• Un polinomio de Bernstein siempre se puede escribir como una combinación lineal de polinomios de grado superior:$${\displaystyle b_{\nu ,n-1}(x)={\frac {n-\nu }{n}}b_{\nu ,n}(x)+{\frac {\nu +1}{n}}b_{\nu +1,n}(x).}$$
• La expansión de los polinomios de Chebyshev del primer tipo en la base de Bernstein es ^[3] $${\displaystyle T_{n}(u)=(2n-1)!!\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{n-k}}{(2k-1)!!(2n-2k-1)!!}}b_{k,n}(u).}$$

Sea ƒ una función continua en el intervalo [0, 1]. Consideremos el polinomio de Bernstein

${\displaystyle B_{n}(f)(x)=\sum _{\nu =0}^{n}f\left({\frac {\nu }{n}}\right)b_{\nu ,n}(x).}$

Se puede demostrar que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{B_{n}(f)}=f}$

uniformemente en el intervalo [0, 1]. ^{[4] [1] [5] [6]}

Los polinomios de Bernstein proporcionan así una forma de demostrar el teorema de aproximación de Weierstrass , según el cual toda función continua de valor real en un intervalo real [ a ,  b ] puede ser aproximada uniformemente por funciones polinómicas sobre  . ^[7]${\displaystyle \mathbb {R} }$

Una afirmación más general para una función con derivada k- ^ésima continua es

${\displaystyle {\left\|B_{n}(f)^{(k)}\right\|}_{\infty }\leq {\frac {(n)_{k}}{n^{k}}}\left\|f^{(k)}\right\|_{\infty }\quad \ {\text{and}}\quad \ \left\|f^{(k)}-B_{n}(f)^{(k)}\right\|_{\infty }\to 0,}$

donde además

${\displaystyle {\frac {(n)_{k}}{n^{k}}}=\left(1-{\frac {0}{n}}\right)\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {k-1}{n}}\right)}$

es un valor propio de B _n ; la función propia correspondiente es un polinomio de grado  k .

Esta prueba sigue la prueba original de Bernstein de 1912. ^[8] Véase también Feller (1966) o Koralov & Sinai (2007). ^{[9] [5]}

Primero daremos una idea intuitiva de la prueba original de Bernstein. Una función continua en un intervalo compacto debe ser uniformemente continua. Por lo tanto, el valor de cualquier función continua puede aproximarse uniformemente por su valor en una red finita de puntos en el intervalo. Esta consideración hace que el teorema de aproximación sea intuitivo, dado que los polinomios deben ser lo suficientemente flexibles como para coincidir (o casi coincidir) con un número finito de pares . Para ello, podríamos (1) construir una función cercana a en una red y luego (2) suavizar la función fuera de la red para hacer un polinomio. ${\displaystyle (x,f(x))}$${\displaystyle f}$

La prueba probabilística que se muestra a continuación simplemente proporciona un método constructivo para crear un polinomio que sea aproximadamente igual a en dicha red de puntos, dado que "suavizar" una función no siempre es trivial. Tomar la esperanza de una variable aleatoria con una distribución simple es una forma común de suavizar. Aquí, aprovechamos el hecho de que los polinomios de Bernstein se parecen a las esperanzas binomiales. Dividimos el intervalo en una red de n valores discretos. Luego, para evaluar cualquier f(x) , evaluamos f en uno de los n puntos de la red cercanos a x , elegidos aleatoriamente por la distribución binomial. La esperanza de esta técnica de aproximación es polinomial, ya que es la esperanza de una función de una RV binomial. La prueba que se muestra a continuación ilustra que esto logra una aproximación uniforme de f . El quid de la prueba es (1) justificar la sustitución de un punto arbitrario por un punto reticular elegido binomialmente mediante las propiedades de concentración de una distribución binomial, y (2) justificar la inferencia de a mediante la continuidad uniforme. ${\displaystyle f}$${\displaystyle x\approx X}$${\displaystyle f(x)\approx f(X)}$

Supongamos que K es una variable aleatoria distribuida como el número de éxitos en n ensayos de Bernoulli independientes con probabilidad x de éxito en cada ensayo; en otras palabras, K tiene una distribución binomial con parámetros n y  x . Entonces tenemos el valor esperado y${\displaystyle \operatorname {\mathcal {E}} \left[{\frac {K}{n}}\right]=x\ }$

${\displaystyle p(K)={n \choose K}x^{K}\left(1-x\right)^{n-K}=b_{K,n}(x)}$

Por la ley débil de los grandes números de la teoría de la probabilidad ,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{P\left(\left|{\frac {K}{n}}-x\right|>\delta \right)}=0}$

para cada δ  > 0. Además, esta relación se cumple uniformemente en x , lo que se puede ver a partir de su prueba mediante la desigualdad de Chebyshev , teniendo en cuenta que la varianza de 1 ⁄ n  K , igual a 1 ⁄ n x (1− x ), está acotada desde arriba por 1 ⁄ (4 n ) independientemente de x . 

Como ƒ , al ser continua en un intervalo cerrado y acotado, debe ser uniformemente continua en ese intervalo, se infiere una afirmación de la forma

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{P\left(\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|>\varepsilon \right)}=0}$

uniformemente en x para cada . Teniendo en cuenta que ƒ está acotado (en el intervalo dado) se encuentra que${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\operatorname {\mathcal {E}} \left(\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|\right)}=0}$

uniformemente en x . Para justificar esta afirmación, utilizamos un método común en la teoría de la probabilidad para convertir de proximidad en probabilidad a proximidad en expectativa. Uno divide la expectativa de en dos partes divididas en función de si o no . En el intervalo donde la diferencia no excede ε , la expectativa claramente no puede exceder ε . En el otro intervalo, la diferencia todavía no puede exceder 2 M , donde M es un límite superior para | ƒ (x)| (ya que las funciones uniformemente continuas están acotadas). Sin embargo, por nuestra afirmación de 'proximidad en probabilidad', este intervalo no puede tener una probabilidad mayor que ε . Por lo tanto, esta parte de la expectativa no contribuye más de 2 M veces ε . Entonces la expectativa total no es más que , que puede hacerse arbitrariamente pequeña eligiendo ε pequeña .${\displaystyle \left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|}$${\displaystyle \left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|<\epsilon }$${\displaystyle \epsilon +2M\epsilon }$

Finalmente, se observa que el valor absoluto de la diferencia entre las expectativas nunca excede la expectativa del valor absoluto de la diferencia, una consecuencia de la desigualdad de Holder. Así, utilizando la expectativa anterior, vemos que (uniformemente en x )

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\left|\operatorname {\mathcal {E}} f\left({\frac {K}{n}}\right)-\operatorname {\mathcal {E}} f\left(x\right)\right|}\leq \lim _{n\to \infty }{\operatorname {\mathcal {E}} \left(\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|\right)}=0}$

Si tenemos en cuenta que nuestra aleatoriedad se aplicaba a K mientras x es constante, la expectativa de f(x) es igual a f(x) . Pero luego hemos demostrado que converge a f(x) . Entonces habremos terminado si es un polinomio en x (el subíndice nos recuerda que x controla la distribución de K ). De hecho, es:${\displaystyle \operatorname {{\mathcal {E}}_{x}} f\left({\frac {K}{n}}\right)}$${\displaystyle \operatorname {{\mathcal {E}}_{x}} f\left({\frac {K}{n}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {{\mathcal {E}}_{x}} \left[f\left({\frac {K}{n}}\right)\right]=\sum _{K=0}^{n}f\left({\frac {K}{n}}\right)p(K)=\sum _{K=0}^{n}f\left({\frac {K}{n}}\right)b_{K,n}(x)=B_{n}(f)(x)}$

En la prueba anterior, recuerde que la convergencia en cada límite que involucra a f depende de la continuidad uniforme de f , lo que implica una tasa de convergencia que depende del módulo de continuidad de f . También depende de 'M', el límite absoluto de la función, aunque esto se puede pasar por alto si se limita y el tamaño del intervalo. Por lo tanto, la aproximación solo se cumple uniformemente a través de x para un f fijo , pero uno puede extender fácilmente la prueba para aproximar uniformemente un conjunto de funciones con un conjunto de polinomios de Bernstein en el contexto de la equicontinuidad . ${\displaystyle \omega .}$${\displaystyle \omega }$

La prueba probabilística también puede reformularse de manera elemental, utilizando las ideas probabilísticas subyacentes pero procediendo por verificación directa: ^{[10] [6] [11] [12] [13]}

Se pueden verificar las siguientes identidades:

1. ${\displaystyle \sum _{k}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}=1}$("probabilidad")
2. ${\displaystyle \sum _{k}{k \over n}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}=x}$("significar")
3. ${\displaystyle \sum _{k}\left(x-{k \over n}\right)^{2}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}={x(1-x) \over n}.}$("diferencia")

De hecho, por el teorema del binomio

$${\displaystyle (1+t)^{n}=\sum _{k}{n \choose k}t^{k},}$$

y esta ecuación se puede aplicar dos veces a . Las identidades (1), (2) y (3) se deducen fácilmente utilizando la sustitución .${\displaystyle t{\frac {d}{dt}}}$${\displaystyle t=x/(1-x)}$

Dentro de estas tres identidades, utilice la notación polinomial base anterior.

${\displaystyle b_{k,n}(x)={n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k},}$

y dejar

${\displaystyle f_{n}(x)=\sum _{k}f(k/n)\,b_{k,n}(x).}$

Así, por identidad (1)

${\displaystyle f_{n}(x)-f(x)=\sum _{k}[f(k/n)-f(x)]\,b_{k,n}(x),}$

de modo que

${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\leq \sum _{k}|f(k/n)-f(x)|\,b_{k,n}(x).}$

Como f es uniformemente continua, dado , existe una tal que siempre que . Además, por continuidad, . Pero entonces${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle |f(a)-f(b)|<\varepsilon }$${\displaystyle |a-b|<\delta }$${\displaystyle M=\sup |f|<\infty }$

${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\leq \sum _{|x-{k \over n}|<\delta }|f(k/n)-f(x)|\,b_{k,n}(x)+\sum _{|x-{k \over n}|\geq \delta }|f(k/n)-f(x)|\,b_{k,n}(x).}$

La primera suma es menor que ε. Por otra parte, por la identidad (3) anterior, y puesto que , la segunda suma está acotada por veces${\displaystyle |x-k/n|\geq \delta }$${\displaystyle 2M}$

${\displaystyle \sum _{|x-k/n|\geq \delta }b_{k,n}(x)\leq \sum _{k}\delta ^{-2}\left(x-{k \over n}\right)^{2}b_{k,n}(x)=\delta ^{-2}{x(1-x) \over n}<{1 \over 4}\delta ^{-2}n^{-1}.}$

( Desigualdad de Chebyshev )

De ello se deduce que los polinomios f _n tienden a f uniformemente.

Los polinomios de Bernstein se pueden generalizar a k dimensiones: los polinomios resultantes tienen la forma B _{i 1} ( x ₁ ) B _{i 2} ( x ₂ ) ... B _{i k} ( x _k ) . ^[1] En el caso más simple, solo se consideran los productos del intervalo unitario [0,1] ; pero, utilizando transformaciones afines de la línea, los polinomios de Bernstein también se pueden definir para productos [ a ₁ , b ₁ ] × [ a ₂ , b ₂ ] × ... × [ a _k , b _k ] . Para una función continua f en el producto k -fold del intervalo unitario, la prueba de que f ( x ₁ , x ₂ , ... , x _k ) se puede aproximar uniformemente mediante

${\displaystyle \sum _{i_{1}}\sum _{i_{2}}\cdots \sum _{i_{k}}{n_{1} \choose i_{1}}{n_{2} \choose i_{2}}\cdots {n_{k} \choose i_{k}}f\left({i_{1} \over n_{1}},{i_{2} \over n_{2}},\dots ,{i_{k} \over n_{k}}\right)x_{1}^{i_{1}}(1-x_{1})^{n_{1}-i_{1}}x_{2}^{i_{2}}(1-x_{2})^{n_{2}-i_{2}}\cdots x_{k}^{i_{k}}(1-x_{k})^{n_{k}-i_{k}}}$

es una extensión directa de la prueba de Bernstein en una dimensión. ^[14]

• Interpolación polinómica
• Forma de Newton
• Forma de Lagrange
• QMF binomial (también conocida como wavelet de Daubechies )

• Bernstein, S. (1912), "Démonstration du théorème de Weierstrass fondée sur le calcul des probabilités (Prueba del teorema de Weierstrass basada en el cálculo de probabilidades)" (PDF) , Comm. Matemáticas de Jarkov. Soc. , 13 : 1–2, traducción al inglés
• Lorentz, GG (1953), Polinomios de Bernstein , University of Toronto Press
• Akhiezer, NI (1956), Teoría de la aproximación (en ruso), traducido por Charles J. Hyman, Frederick Ungar, págs. 30-31Edición rusa publicada por primera vez en 1940.
• Burkill, JC (1959), Lecciones sobre aproximación por polinomios (PDF) , Bombay: Tata Institute of Fundamental Research , págs. 7-8
• Goldberg, Richard R. (1964), Métodos de análisis real, John Wiley & Sons, págs. 263–265
• Caglar, Hakan; Akansu, Ali N. (julio de 1993). "Una técnica de diseño PR-QMF paramétrica generalizada basada en la aproximación polinomial de Bernstein". IEEE Transactions on Signal Processing . 41 (7): 2314–2321. Bibcode :1993ITSP...41.2314C. doi :10.1109/78.224242. Zbl  0825.93863.
• Korovkin, PP (2001) [1994], "Polinomios de Bernstein", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Natanson, IP (1964). Teoría de funciones constructivas. Volumen I: Aproximación uniforme . Traducido por Alexis N. Obolensky. Nueva York: Frederick Ungar. MR  0196340. Zbl  0133.31101.
• Feller, William (1966), Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones, vol. II , John Wiley & Sons, págs. 149-150, 218-222
• Beals, Richard (2004), Análisis. Una introducción , Cambridge University Press , págs. 95-98, ISBN 0521600472

• Kac, Mark (1938). "Une comentario sobre los polinomes de MS Bernstein". Estudios Matemáticos . 7 : 49–51. doi : 10.4064/sm-7-1-49-51 .
• Kelisky, Richard Paul; Rivlin, Theodore Joseph (1967). "Iteraciones de polinomios de Bernstein". Revista del Pacífico de Matemáticas . 21 (3): 511. doi : 10.2140/pjm.1967.21.511 .
• Stark, EL (1981). "Polinoma de Bernstein, 1912-1955". En Butzer, PL (ed.). ISNM60 . págs. 443–461. doi :10.1007/978-3-0348-9369-5_40. ISBN 978-3-0348-9369-5.
• Petrone, Sonia (1999). "Polinomios aleatorios de Bernstein". Scand. J. Stat . 26 (3): 373–393. doi :10.1111/1467-9469.00155. S2CID  : 122387975.
• Oruc, Halil; Phillips, Geoerge M. (1999). "Una generalización de los polinomios de Bernstein". Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo . 42 (2): 403–413. doi : 10.1017/S0013091500020332 .
• Joy, Kenneth I. (2000). «Polinomios de Bernstein» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 20 de febrero de 2012. Consultado el 28 de febrero de 2009 .de la Universidad de California, Davis . Nótese el error en los límites de suma en la primera fórmula de la página 9.
• Idrees Bhatti, M.; Bracken, P. (2007). "Soluciones de ecuaciones diferenciales en una base polinomial de Bernstein". J. Comput. Appl. Math . 205 (1): 272–280. Bibcode :2007JCoAM.205..272I. doi : 10.1016/j.cam.2006.05.002 .
• Casselman, Bill (2008). "De Bézier a Bernstein".Columna destacada de la Sociedad Americana de Matemáticas
• Acikgoz, Mehmet; Araci, Serkan (2010). "Sobre la función generadora de polinomios de Bernstein". AIP Conf. Proc . Actas de la conferencia AIP. 1281 (1): 1141. Bibcode :2010AIPC.1281.1141A. doi :10.1063/1.3497855.
• Doha, EH; Bhrawy, AH; Saker, MA (2011). "Integrales de polinomios de Bernstein: una aplicación para la solución de ecuaciones diferenciales de orden par alto". Appl. Math. Lett . 24 (4): 559–565. doi : 10.1016/j.aml.2010.11.013 .
• Farouki, Rida T. (2012). "La base polinómica de Bernstein: una retrospectiva centenaria". Comp. Aid. Geom. Des . 29 (6): 379–419. doi :10.1016/j.cagd.2012.03.001.
• Chen, Xiaoyan; Tan, Jieqing; Liu, Zhi; Xie, Jin (2017). "Aproximaciones de funciones mediante una nueva familia de operadores de Bernstein generalizados". J. Math. Ann. Applic . 450 : 244–261. doi : 10.1016/j.jmaa.2016.12.075 .
• Weisstein, Eric W. "Polinomio de Bernstein". MundoMatemático .
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