Teorema de Banach-Mazur

En el análisis funcional , un campo de las matemáticas , el teorema de Banach-Mazur es un teorema que , a grandes rasgos, establece que la mayoría de los espacios normados que se comportan bien son subespacios del espacio de caminos continuos . Recibe su nombre en honor a Stefan Banach y Stanisław Mazur .

Declaración

Todo espacio de Banach real y separable $($ $X$ $, ||\cdot||)$ es isométricamente isomorfo a un subespacio cerrado de $C$ $0$ $([0, 1],$ $R$ $)$ , el espacio de todas las funciones continuas desde el intervalo unitario hasta la recta real.

Comentarios

Por un lado, el teorema de Banach-Mazur parece decirnos que la aparentemente vasta colección de todos los espacios de Banach separables no es tan vasta ni tan difícil de manejar, ya que un espacio de Banach separable es "solo" una colección de caminos continuos. Por otro lado, el teorema nos dice que $C 0 ([0, 1], R)$ es un espacio "realmente grande", lo suficientemente grande como para contener todos los posibles espacios de Banach separables.

Los espacios de Banach no separables no pueden incrustarse isométricamente en el espacio separable $C 0 ([0, 1], R)$ , pero para cada espacio de Banach $X$ , se puede encontrar un espacio de Hausdorff compacto $K$ y una incrustación lineal isométrica $j$ de $X$ en el espacio $C($ $K$ $)$ de funciones escalares continuas en $K$ . La opción más simple es dejar que $K$ sea la bola unidad del dual continuo $X$ $'$ , equipado con la w*-topología . Esta bola unidad $K$ es entonces compacta por el teorema de Banach–Alaoglu . La incrustación $j$ se introduce diciendo que para cada $x$ $\in$ $X$ , la función continua $j$ $($ $x$ $)$ en $K$ está definida por

\para todo x'\en K:\qquad j(x)(x')=x'(x).

La aplicación $j$ es lineal y es isométrica por el teorema de Hahn-Banach .

Otra generalización fue dada por Kleiber y Pervin (1969): un espacio métrico de densidad igual a un cardinal infinito $α$ es isométrico a un subespacio de $C 0 ([0,1] α, R)$ , el espacio de funciones continuas reales en el producto de $α$ copias del intervalo unitario.

Versiones más fuertes del teorema

Escribamos $C k [0, 1]$ para $C k ([0, 1], R)$ . En 1995, Luis Rodríguez-Piazza demostró que la isometría $i : X \to C 0 [0, 1]$ puede elegirse de modo que toda función no nula en la imagen $i (X)$ no sea diferenciable en ninguna parte . Dicho de otro modo, si $D \subset C 0 [0, 1]$ consiste en funciones que son diferenciables en al menos un punto de $[0, 1]$ , entonces $i$ puede elegirse de modo que $i (X) \cap D = {0}.$ Esta conclusión se aplica al espacio $C 0 [0, 1]$ mismo, por lo tanto existe una función lineal $i : C 0 [0, 1] \to C 0 [0, 1]$ que es una isometría sobre su imagen, tal que la imagen bajo $i$ de $C 0 [0, 1]$ (el subespacio que consiste en funciones que son diferenciables en todas partes con derivada continua) interseca $a D$ solo en $0$ : por lo tanto, el espacio de funciones suaves (con respecto a la distancia uniforme) es isométricamente isomorfo a un espacio de funciones no diferenciables en ninguna parte. Nótese que el espacio (métricamente incompleto) de funciones suaves es denso en $C 0 [0, 1]$ .

Referencias

Bessaga, Czesław y Pełczyński, Aleksander (1975). Temas seleccionados en topología de dimensión infinita . Varsovia: PWN.
Kleiber, Martin; Pervin, William J. (1969). "Un teorema de Banach-Mazur generalizado". Bull. Austral. Math. Soc . 1 (2): 169–173. doi : 10.1017/S0004972700041411 – vía Cambridge University Press.
Rodríguez-Piazza, Luis (1995). "Todo espacio de Banach separable es isométrico a un espacio de funciones continuas no diferenciables en ninguna parte". Proc. Amer. Math. Soc. 123 (12). American Mathematical Society : 3649–3654. doi :10.2307/2161889. JSTOR 2161889.