Asíntota

En geometría analítica , una asíntota ( / ˈæsɪmptooʊt / ) de una curva es una línea tal que la distancia entre la curva y la línea se acerca a cero cuando una o ambas coordenadas x o y tienden al infinito . En geometría proyectiva y contextos relacionados , una asíntota de una curva es una línea que es tangente a la curva en un punto en el infinito . ^{[1] [2]}

La palabra asíntota se deriva del griego ἀσύμπτωτος ( asumptōtos ) que significa "no cayendo juntos", de ἀ priv. + σύν "juntos" + πτωτ-ός "caído". ^[3] El término fue introducido por Apolonio de Perga en su trabajo sobre secciones cónicas , pero en contraste con su significado moderno, lo utilizó para significar cualquier línea que no intersecta la curva dada. ^[4]

Existen tres tipos de asíntotas: horizontales , verticales y oblicuas . Para las curvas dadas por la gráfica de una función y = ƒ ( x ) , las asíntotas horizontales son líneas horizontales a las que la gráfica de la función se aproxima cuando x tiende a +∞ o −∞. Las asíntotas verticales son líneas verticales cerca de las cuales la función crece sin límite. Una asíntota oblicua tiene una pendiente que no es cero pero es finita, de modo que la gráfica de la función se aproxima a ella cuando x tiende a +∞ o −∞.

De manera más general, una curva es una asíntota curvilínea de otra (a diferencia de una asíntota lineal ) si la distancia entre las dos curvas tiende a cero cuando tienden al infinito, aunque el término asíntota en sí mismo suele reservarse para las asíntotas lineales.

Las asíntotas transmiten información sobre el comportamiento de las curvas en el gran , y determinar las asíntotas de una función es un paso importante para trazar su gráfico. ^[5] El estudio de las asíntotas de funciones, interpretadas en un sentido amplio, forma parte del tema del análisis asintótico .

La idea de que una curva puede acercarse arbitrariamente a una línea sin llegar a ser la misma puede parecer contraria a la experiencia cotidiana. Las representaciones de una línea y una curva como marcas en un trozo de papel o como píxeles en una pantalla de ordenador tienen un ancho positivo. Por lo tanto, si se extendieran lo suficiente parecerían fusionarse, al menos hasta donde el ojo puede discernir. Pero estas son representaciones físicas de las entidades matemáticas correspondientes; la línea y la curva son conceptos idealizados cuyo ancho es 0 (véase Línea ). Por lo tanto, la comprensión de la idea de una asíntota requiere un esfuerzo de razonamiento más que de experiencia.

Consideremos la gráfica de la función que se muestra en esta sección. Las coordenadas de los puntos de la curva tienen la forma donde x es un número distinto de 0. Por ejemplo, la gráfica contiene los puntos (1, 1), (2, 0,5), (5, 0,2), (10, 0,1), ... A medida que los valores de se hacen cada vez más grandes, digamos 100, 1.000, 10.000 ..., colocándolos a la derecha de la ilustración, los valores correspondientes de , .01, .001, .0001, ..., se vuelven infinitesimales en relación con la escala mostrada. Pero no importa cuán grande se vuelva, su recíproco nunca es 0, por lo que la curva nunca toca realmente el eje x . De manera similar, a medida que los valores de se hacen cada vez más pequeños, digamos .01, .001, .0001, ..., haciéndolos infinitesimales en relación con la escala mostrada, los valores correspondientes de , 100, 1,000, 10,000 ..., se hacen cada vez más grandes. De modo que la curva se extiende cada vez más hacia arriba a medida que se acerca cada vez más al eje y . Por lo tanto, tanto el eje x como el y son asíntotas de la curva. Estas ideas son parte de la base del concepto de límite en matemáticas, y esta conexión se explica con más detalle a continuación. ^[6]${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$${\displaystyle \left(x,{\frac {1}{x}}\right)}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$

Las asíntotas que se encuentran con mayor frecuencia en el estudio del cálculo son las de curvas de la forma y = ƒ ( x ) . Estas pueden calcularse utilizando límites y clasificarse en asíntotas horizontales , verticales y oblicuas según su orientación. Las asíntotas horizontales son líneas horizontales a las que se aproxima la gráfica de la función cuando x tiende a +∞ o −∞. Como su nombre lo indica, son paralelas al eje x . Las asíntotas verticales son líneas verticales (perpendiculares al eje x ) cerca de las cuales la función crece sin límite. Las asíntotas oblicuas son líneas diagonales tales que la diferencia entre la curva y la línea se aproxima a 0 cuando x tiende a +∞ o −∞.

La recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de la función y = ƒ ( x ) si al menos una de las siguientes afirmaciones es verdadera:

1. ${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty ,}$
2. ${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty ,}$

donde es el límite cuando x se aproxima al valor a desde la izquierda (desde valores menores), y es el límite cuando x se aproxima a a desde la derecha.${\displaystyle \lim_{x\to a^{-}}}$${\displaystyle \lim_{x\to a^{+}}}$

Por ejemplo, si ƒ( x ) = x /( x –1), el numerador se acerca a 1 y el denominador se acerca a 0 cuando x se acerca a 1. Por lo tanto

${\displaystyle \lim _{x\to 1^{+}}{\frac {x}{x-1}}=+\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}{\frac {x}{x-1}}=-\infty }$

y la curva tiene una asíntota vertical x = 1.

La función ƒ ( x ) puede o no estar definida en a , y su valor preciso en el punto x = a no afecta a la asíntota. Por ejemplo, para la función

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}&{\text{si }}x>0,\\5&{\text{si }}x\leq 0.\end{cases}}}$

tiene un límite de +∞ cuando x → 0 ⁺ , ƒ ( x ) tiene la asíntota vertical x = 0 , aunque ƒ (0) = 5. La gráfica de esta función interseca la asíntota vertical una vez, en (0, 5). Es imposible que la gráfica de una función interseca una asíntota vertical (o una línea vertical en general ) en más de un punto. Además, si una función es continua en cada punto donde está definida, es imposible que su gráfica interseca alguna asíntota vertical.

Un ejemplo común de asíntota vertical es el caso de una función racional en un punto x tal que el denominador es cero y el numerador no es cero.

Si una función tiene una asíntota vertical, entonces no es necesariamente cierto que la derivada de la función tenga una asíntota vertical en el mismo lugar. Un ejemplo es

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}+\sin({\frac {1}{x}})\quad }$en .${\displaystyle \cuadrado x=0}$

Esta función tiene una asíntota vertical en porque ${\displaystyle x=0,}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}f(x)=\lim _{x\to 0^{+}}\left({\tfrac {1}{x}}+\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right)=+\infty ,}$

y

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}f(x)=\lim _{x\to 0^{-}}\left({\tfrac {1}{x}}+\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right)=-\infty }$.

La derivada de es la función${\displaystyle f}$

${\displaystyle f'(x)={\frac {-(\cos({\tfrac {1}{x}})+1)}{x^{2}}}}$.

Para la secuencia de puntos

${\displaystyle x_{n}={\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)\pi }},\quad }$para${\displaystyle \quad n=0,1,2,\ldots }$

que se aproxima tanto por la izquierda como por la derecha, los valores son constantemente . Por lo tanto, ambos límites unilaterales de en no pueden ser ni . Por lo tanto, no tiene una asíntota vertical en .${\displaystyle x=0}$${\displaystyle f'(x_{n})}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle f'(x)}$${\displaystyle x=0}$

Las asíntotas horizontales son líneas horizontales a las que se aproxima la gráfica de la función cuando x → ±∞ . La línea horizontal y  =  c es una asíntota horizontal de la función y  =  ƒ ( x ) si

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)=c}$o .${\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)=c}$

En el primer caso, ƒ ( x ) tiene y  =  c como asíntota cuando x tiende a −∞ , y en el segundo ƒ ( x ) tiene y  =  c como asíntota cuando x tiende a +∞ .

Por ejemplo, la función arcotangente satisface

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }\arctan(x)=-{\frac {\pi }{2}}}$y${\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }\arctan(x)={\frac {\pi }{2}}.}$

Entonces, la línea y = – π /2 es una asíntota horizontal para el arcotangente cuando x tiende a –∞ , e y = π /2 es una asíntota horizontal para el arcotangente cuando x tiende a +∞ .

Las funciones pueden carecer de asíntotas horizontales en uno o ambos lados, o pueden tener una asíntota horizontal que sea la misma en ambas direcciones. Por ejemplo, la función ƒ( x ) = 1/( x ² +1) tiene una asíntota horizontal en y  = 0 cuando x tiende tanto a −∞ como a +∞ porque, respectivamente,

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}=0.}$

Otras funciones comunes que tienen una o dos asíntotas horizontales incluyen x ↦ 1/ x (que tiene una hipérbola como gráfico), la función gaussiana , la función de error y la función logística .${\displaystyle x\mapsto \exp(-x^{2}),}$

Cuando una asíntota lineal no es paralela al eje x o al eje y, se denomina asíntota oblicua o asíntota oblicua . Una función ƒ ( x ) es asintótica respecto de la recta y = mx + n ( m  ≠ 0) si

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left[f(x)-(mx+n)\right]=0\,{\mbox{ or }}\lim _{x\to -\infty }\left[f(x)-(mx+n)\right]=0.}$

En el primer caso la recta y = mx + n es una asíntota oblicua de ƒ ( x ) cuando x tiende a +∞, y en el segundo caso la recta y = mx + n es una asíntota oblicua de ƒ ( x ) cuando x tiende a −∞.

Un ejemplo es ƒ ( x ) =  x + 1/ x , que tiene la asíntota oblicua y  =  x (es decir m  = 1, n  = 0) como se ve en los límites

${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }\left[f(x)-x\right]}$

${\displaystyle =\lim _{x\to \pm \infty }\left[\left(x+{\frac {1}{x}}\right)-x\right]}$

${\displaystyle =\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {1}{x}}=0.}$

Las asíntotas de muchas funciones elementales se pueden encontrar sin el uso explícito de límites (aunque las derivaciones de tales métodos normalmente utilizan límites).

La asíntota oblicua, para la función f ( x ), estará dada por la ecuación y = mx + n . El valor de m se calcula primero y está dado por

${\displaystyle m\;{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\lim _{x\rightarrow a}f(x)/x}$

donde a es o depende del caso que se esté estudiando. Es una buena práctica tratar los dos casos por separado. Si este límite no existe, entonces no hay asíntota oblicua en esa dirección.${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle +\infty }$

Teniendo m entonces el valor de n se puede calcular mediante

${\displaystyle n\;{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\lim _{x\rightarrow a}(f(x)-mx)}$

donde a debe ser el mismo valor utilizado anteriormente. Si este límite no existe, entonces no hay asíntota oblicua en esa dirección, incluso si existiera el límite que define m . De lo contrario, y = mx + n es la asíntota oblicua de ƒ ( x ) cuando x tiende a a .

Por ejemplo, la función ƒ ( x ) = (2 x ² + 3 x + 1)/ x tiene

${\displaystyle m=\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)/x=\lim _{x\rightarrow +\infty }{\frac {2x^{2}+3x+1}{x^{2}}}=2}$y luego

${\displaystyle n=\lim _{x\rightarrow +\infty }(f(x)-mx)=\lim _{x\rightarrow +\infty }\left({\frac {2x^{2}+3x+1}{x}}-2x\right)=3}$

de modo que y = 2 x + 3 es la asíntota de ƒ ( x ) cuando x tiende a +∞.

La función ƒ ( x ) = ln  x tiene

${\displaystyle m=\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)/x=\lim _{x\rightarrow +\infty }{\frac {\ln x}{x}}=0}$y luego

${\displaystyle n=\lim _{x\rightarrow +\infty }(f(x)-mx)=\lim _{x\rightarrow +\infty }\ln x}$, que no existe.

Entonces y = ln  x no tiene asíntota cuando x tiende a +∞.

Una función racional tiene como máximo una asíntota horizontal o asíntota oblicua (inclinada) y posiblemente muchas asíntotas verticales.

El grado del numerador y el grado del denominador determinan si hay o no asíntotas horizontales u oblicuas. Los casos se tabulan a continuación, donde deg(numerador) es el grado del numerador y deg(denominador) es el grado del denominador.

Los casos de asíntotas horizontales y oblicuas para funciones racionales

grados(numerador)−grados(denominador)	Asíntotas en general	Ejemplo	Asíntota por ejemplo
< 0	${\displaystyle y=0}$	${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}}$	${\displaystyle y=0}$
= 0	y = la relación de los coeficientes principales	${\displaystyle f(x)={\frac {2x^{2}+7}{3x^{2}+x+12}}}$	${\displaystyle y={\frac {2}{3}}}$
= 1	y = el cociente de la división euclidiana del numerador por el denominador	${\displaystyle f(x)={\frac {2x^{2}+3x+5}{x}}=2x+3+{\frac {5}{x}}}$	${\displaystyle y=2x+3}$
> 1	ninguno	${\displaystyle f(x)={\frac {2x^{4}}{3x^{2}+1}}}$	No existe asíntota lineal, pero sí existe una asíntota curvilínea

Las asíntotas verticales se dan solo cuando el denominador es cero (si tanto el numerador como el denominador son cero, se comparan las multiplicidades del cero). Por ejemplo, la siguiente función tiene asíntotas verticales en x = 0 y x = 1, pero no en x = 2.

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-5x+6}{x^{3}-3x^{2}+2x}}={\frac {(x-2)(x-3)}{x(x-1)(x-2)}}}$

Cuando el numerador de una función racional tiene un grado exactamente mayor que el denominador, la función tiene una asíntota oblicua (inclinada). La asíntota es el término polinómico después de dividir el numerador y el denominador. Este fenómeno ocurre porque al dividir la fracción, habrá un término lineal y un residuo. Por ejemplo, considere la función

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}+x+1}{x+1}}=x+{\frac {1}{x+1}}}$

Se muestra a la derecha. A medida que aumenta el valor de x , f se aproxima a la asíntota y = x . Esto se debe a que el otro término, 1/( x +1), se aproxima a 0.

Si el grado del numerador es más de 1 mayor que el grado del denominador, y el denominador no divide al numerador, habrá un resto distinto de cero que tiende a cero a medida que x aumenta, pero el cociente no será lineal y la función no tiene una asíntota oblicua.

Si una función conocida tiene una asíntota (como y = 0 para f (x) = e ^x ), entonces sus traslaciones también tienen una asíntota.

• Si x = a es una asíntota vertical de f ( x ), entonces x = a + h es una asíntota vertical de f ( x - h )
• Si y = c es una asíntota horizontal de f ( x ), entonces y = c + k es una asíntota horizontal de f ( x )+ k

Si una función conocida tiene una asíntota, entonces la escala de la función también tiene una asíntota.

• Si y = ax + b es una asíntota de f ( x ), entonces y = cax + cb es una asíntota de cf ( x )

Por ejemplo, f ( x )= e ^{x -1} +2 tiene asíntota horizontal y = 0 + 2 = 2, y no tiene asíntotas verticales ni oblicuas.

Sea A  : ( a , b ) → R ² una curva plana paramétrica , de coordenadas A ( t ) = ( x ( t ), y ( t )). Supongamos que la curva tiende al infinito, es decir:

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow b}(x^{2}(t)+y^{2}(t))=\infty .}$

Una línea ℓ es una asíntota de A si la distancia desde el punto A ( t ) a ℓ tiende a cero cuando t  →  b . ^[7] De la definición, solo las curvas abiertas que tienen alguna rama infinita pueden tener una asíntota. Ninguna curva cerrada puede tener una asíntota.

Por ejemplo, la rama superior derecha de la curva y  = 1/ x se puede definir paramétricamente como x  =  t , y  = 1/ t (donde t > 0). Primero, x  → ∞ cuando t  → ∞ y la distancia desde la curva hasta el eje x es 1/ t que se acerca a 0 cuando t  → ∞. Por lo tanto, el eje x es una asíntota de la curva. Además, y  → ∞ cuando t  → 0 desde la derecha, y la distancia entre la curva y el eje y es t que se acerca a 0 cuando t  → 0. Por lo tanto, el eje y también es una asíntota. Un argumento similar muestra que la rama inferior izquierda de la curva también tiene las mismas dos líneas como asíntotas.

Aunque la definición aquí utiliza una parametrización de la curva, la noción de asíntota no depende de la parametrización. De hecho, si la ecuación de la recta es entonces la distancia desde el punto A ( t ) = ( x ( t ), y ( t )) a la recta está dada por${\displaystyle ax+by+c=0}$

${\displaystyle {\frac {|ax(t)+by(t)+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

Si γ( t ) es un cambio de parametrización entonces la distancia se convierte en

${\displaystyle {\frac {|ax(\gamma (t))+by(\gamma (t))+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

que tiende a cero simultáneamente que la expresión anterior.

Un caso importante es cuando la curva es la gráfica de una función real (una función de una variable real y que retorna valores reales). La gráfica de la función y  =  ƒ ( x ) es el conjunto de puntos del plano con coordenadas ( x , ƒ ( x )). Para esto, se realiza una parametrización.

${\displaystyle t\mapsto (t,f(t)).}$

Esta parametrización debe considerarse sobre los intervalos abiertos ( a , b ), donde a puede ser −∞ y b puede ser +∞.

Una asíntota puede ser vertical o no vertical (oblicua u horizontal). En el primer caso, su ecuación es x  =  c , para algún número real c . El caso no vertical tiene la ecuación y = mx + n , donde m y son números reales. Los tres tipos de asíntotas pueden estar presentes al mismo tiempo en ejemplos específicos. A diferencia de las asíntotas de las curvas que son gráficos de funciones, una curva general puede tener más de dos asíntotas no verticales y puede cruzar sus asíntotas verticales más de una vez.${\displaystyle n}$

Sea A  : ( a , b ) → R ² una curva plana paramétrica, en coordenadas A ( t ) = ( x ( t ), y ( t )), y B otra curva (no parametrizada). Supóngase, como antes, que la curva A tiende al infinito. La curva B es una asíntota curvilínea de A si la distancia más corta desde el punto A ( t ) a un punto en B tiende a cero cuando t  →  b . A veces se hace referencia a B simplemente como una asíntota de A , cuando no hay riesgo de confusión con asíntotas lineales. ^[8]

Por ejemplo, la función

${\displaystyle y={\frac {x^{3}+2x^{2}+3x+4}{x}}}$

tiene una asíntota curvilínea y = x ² + 2 x + 3 , que se conoce como asíntota parabólica porque es una parábola en lugar de una línea recta. ^[9]

Las asíntotas se utilizan en procedimientos de trazado de curvas . Una asíntota sirve como una línea guía para mostrar el comportamiento de la curva hacia el infinito. ^[10] Para obtener mejores aproximaciones de la curva, también se han utilizado asíntotas curvilíneas ^[11], aunque parece preferirse el término curva asintótica . ^[12]

Las asíntotas de una curva algebraica en el plano afín son las líneas que son tangentes a la curva proyectivizada a través de un punto en el infinito . ^[13] Por ejemplo, se pueden identificar las asíntotas de la hipérbola unitaria de esta manera. Las asíntotas se consideran a menudo solo para curvas reales, ^{[14] aunque también tienen sentido cuando se definen de esta manera para curvas sobre un} cuerpo arbitrario . ^[15]

Una curva plana de grado n interseca su asíntota como máximo en n −2 otros puntos, por el teorema de Bézout , ya que la intersección en el infinito tiene una multiplicidad de al menos dos. Para una cónica , hay un par de rectas que no intersecan la cónica en ningún punto complejo: estas son las dos asíntotas de la cónica.

Una curva algebraica plana se define mediante una ecuación de la forma P ( x , y ) = 0 donde P es un polinomio de grado n

${\displaystyle P(x,y)=P_{n}(x,y)+P_{n-1}(x,y)+\cdots +P_{1}(x,y)+P_{0}}$

donde P _k es homogénea de grado k . La desaparición de los factores lineales del término de mayor grado P _n define las asíntotas de la curva: estableciendo Q = P _n , si P _n ( x , y ) = ( ax − by ) Q _{n −1} ( x , y ) , entonces la recta

${\displaystyle Q'_{x}(b,a)x+Q'_{y}(b,a)y+P_{n-1}(b,a)=0}$

es una asíntota si y no son ambas cero. Si y , no hay asíntota, pero la curva tiene una rama que parece una rama de parábola. Dicha rama se llama${\displaystyle Q'_{x}(b,a)}$${\displaystyle Q'_{y}(b,a)}$${\displaystyle Q'_{x}(b,a)=Q'_{y}(b,a)=0}$${\displaystyle P_{n-1}(b,a)\neq 0}$Rama parabólica , aun cuando no tenga ninguna parábola que sea asíntota curvilínea. Sila curva tiene un punto singular en el infinito que puede tener varias asíntotas o ramas parabólicas.${\displaystyle Q'_{x}(b,a)=Q'_{y}(b,a)=P_{n-1}(b,a)=0,}$

Sobre los números complejos, P _n se descompone en factores lineales, cada uno de los cuales define una asíntota (o varias para factores múltiples). Sobre los reales, P _n se descompone en factores que son factores lineales o cuadráticos. Sólo los factores lineales corresponden a infinitas ramas (reales) de la curva, pero si un factor lineal tiene multiplicidad mayor que uno, la curva puede tener varias asíntotas o ramas parabólicas. También puede ocurrir que dicho factor lineal múltiple corresponda a dos ramas complejas conjugadas, y no corresponda a ninguna rama infinita de la curva real. Por ejemplo, la curva x ⁴ + y ² - 1 = 0 no tiene puntos reales fuera del cuadrado , pero su término de orden más alto da el factor lineal x con multiplicidad 4, lo que lleva a la asíntota única x = 0.${\displaystyle |x|\leq 1,|y|\leq 1}$

La hipérbola

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

tiene las dos asíntotas

${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}x.}$

La ecuación para la unión de estas dos líneas es

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0.}$

De manera similar, el hiperboloide

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}$

Se dice que tiene el cono asintótico ^{[16] [17]}

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0.}$

La distancia entre el hiperboloide y el cono se acerca a 0 a medida que la distancia desde el origen se acerca al infinito.

En términos más generales, considere una superficie que tiene una ecuación implícita donde son polinomios homogéneos de grado y . Entonces la ecuación define un cono que está centrado en el origen. Se llama cono asintótico , porque la distancia al cono de un punto de la superficie tiende a cero cuando el punto en la superficie tiende al infinito.${\displaystyle P_{d}(x,y,z)+P_{d-2}(x,y,z)+\cdots P_{0}=0,}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle P_{d-1}=0}$${\displaystyle P_{d}(x,y,z)=0}$

• Notación O grande

Referencias generales

• Kuptsov, LP (2001) [1994], "Asíntota", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

Referencias específicas

Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Asintótica .

• Asíntota en PlanetMath .
• Hiperboloide y cono asintótico, modelo de superficie de cuerda, 1872 Archivado el 15 de febrero de 2012 en Wayback Machine desde el Museo de la Ciencia