Ecuación de movimiento de Appell

Parte de una serie sobre
Mecánica clásica
${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}$ Segunda ley del movimiento
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En mecánica clásica , la ecuación de movimiento de Appell (también conocida como ecuación de movimiento de Gibbs-Appell ) es una formulación general alternativa de la mecánica clásica descrita por Josiah Willard Gibbs en 1879 ^[1] y Paul Émile Appell en 1900. ^[2]

La ecuación de Gibbs-Appell se lee

${\displaystyle Q_{r}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{r}}},}$

donde es una aceleración generalizada arbitraria, o la segunda derivada temporal de las coordenadas generalizadas , y es su fuerza generalizada correspondiente . La fuerza generalizada da el trabajo realizado${\displaystyle \alpha _{r}={\ddot {q}}_{r}}$ ${\displaystyle q_{r}}$${\displaystyle Q_{r}}$

${\displaystyle dW=\sum _{r=1}^{D}Q_{r}dq_{r},}$

donde el índice recorre las coordenadas generalizadas , que suelen corresponder a los grados de libertad del sistema. La función se define como la suma ponderada por la masa de las aceleraciones de las partículas al cuadrado,${\displaystyle r}$${\displaystyle D}$${\displaystyle q_{r}}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}^{2}\,,}$

donde el índice recorre las partículas, y${\displaystyle k}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \mathbf {a} _{k}={\ddot {\mathbf {r} }}_{k}={\frac {d^{2}\mathbf {r} _{k}}{dt^{2}}}}$

es la aceleración de la partícula -ésima, la segunda derivada temporal de su vector de posición . Cada una se expresa en términos de coordenadas generalizadas , y se expresa en términos de aceleraciones generalizadas.${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{k}}$

La formulación de Appell no introduce ninguna nueva física a la mecánica clásica y, como tal, es equivalente a otras reformulaciones de la mecánica clásica, como la mecánica de Lagrange y la mecánica de Hamilton . Toda la mecánica clásica está contenida dentro de las leyes de movimiento de Newton. En algunos casos, la ecuación de movimiento de Appell puede ser más conveniente que la mecánica de Lagrange comúnmente utilizada, particularmente cuando se involucran restricciones no holonómicas . De hecho, la ecuación de Appell conduce directamente a las ecuaciones de movimiento de Lagrange. ^[3] Además, puede usarse para derivar las ecuaciones de Kane, que son particularmente adecuadas para describir el movimiento de naves espaciales complejas. ^[4] La formulación de Appell es una aplicación del principio de mínima restricción de Gauss . ^[5]

El cambio en las posiciones de las partículas r _k para un cambio infinitesimal en las coordenadas generalizadas D es

${\displaystyle d\mathbf {r} _{k}=\sum _{r=1}^{D}dq_{r}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{r}}}}$

Tomando dos derivadas con respecto al tiempo se obtiene una ecuación equivalente para las aceleraciones.

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {a} _{k}}{\partial \alpha _{r}}}={\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{r}}}}$

El trabajo realizado por un cambio infinitesimal dq _r en las coordenadas generalizadas es

${\displaystyle dW=\sum _{r=1}^{D}Q_{r}dq_{r}=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot d\mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot d\mathbf {r} _{k}}$

donde la segunda ley de Newton para la partícula k

${\displaystyle \mathbf {F} _{k}=m_{k}\mathbf {a} _{k}}$

Se ha utilizado. Sustituyendo la fórmula por d r _k e intercambiando el orden de las dos sumas se obtienen las fórmulas

${\displaystyle dW=\sum _{r=1}^{D}Q_{r}dq_{r}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot \sum _{r=1}^{D}dq_{r}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{r}}}\right)=\sum _{r=1}^{D}dq_{r}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{r}}}\right)}$

Por lo tanto, las fuerzas generalizadas son

${\displaystyle Q_{r}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{r}}}\right)=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {a} _{k}}{\partial \alpha _{r}}}\right)}$

Esto es igual a la derivada de S con respecto a las aceleraciones generalizadas.

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial \alpha _{r}}}={\frac {\partial }{\partial \alpha _{r}}}{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left|\mathbf {a} _{k}\right|^{2}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {a} _{k}}{\partial \alpha _{r}}}\right)}$

obteniendo la ecuación de movimiento de Appell

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial \alpha _{r}}}=Q_{r}.}$

Las ecuaciones de Euler proporcionan una excelente ilustración de la formulación de Appell.

Consideremos un cuerpo rígido de N partículas unidas por varillas rígidas. La rotación del cuerpo puede describirse mediante un vector de velocidad angular y el vector de aceleración angular correspondiente ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}}$

La fuerza generalizada para una rotación es el torque , ya que el trabajo realizado para una rotación infinitesimal es . La velocidad de la partícula -ésima está dada por${\displaystyle {\textbf {N}}}$${\displaystyle \delta {\boldsymbol {\phi }}}$${\displaystyle dW=\mathbf {N} \cdot \delta {\boldsymbol {\phi }}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{k}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{k}}$

donde es la posición de la partícula en coordenadas cartesianas; su aceleración correspondiente es${\displaystyle \mathbf {r} _{k}}$

${\displaystyle \mathbf {a} _{k}={\frac {d\mathbf {v} _{k}}{dt}}={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} _{k}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{k}}$

Por lo tanto, la función puede escribirse como${\displaystyle S}$

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{k}\right)={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left\{\left({\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} _{k}\right)^{2}+\left({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{k}\right)^{2}+2\left({\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} _{k}\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{k}\right)\right\}}$

Al establecer la derivada de S con respecto al par se obtienen las ecuaciones de Euler${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$

${\displaystyle I_{xx}\alpha _{x}-\left(I_{yy}-I_{zz}\right)\omega _{y}\omega _{z}=N_{x}}$

${\displaystyle I_{yy}\alpha _{y}-\left(I_{zz}-I_{xx}\right)\omega _{z}\omega _{x}=N_{y}}$

${\displaystyle I_{zz}\alpha _{z}-\left(I_{xx}-I_{yy}\right)\omega _{x}\omega _{y}=N_{z}}$

• Principio de acción estacionaria
• Mecánica analítica

• Pars, LA (1965). Tratado sobre dinámica analítica . Woodbridge, Connecticut: Ox Bow Press. págs. 197–227, 631–632.
• Whittaker, ET (1937). Tratado sobre la dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos, con una introducción al problema de los tres cuerpos (4.ª ed.). Nueva York: Dover Publications. ISBN.
• Seeger (1930). "Ecuaciones de Appell". Revista de la Academia de Ciencias de Washington . 20 : 481–484.
• Brell, H (1913). "Nachweis der Aquivalenz des verallgemeinerten Prinzipes der kleinsten Aktion mit dem Prinzip des kleinsten Zwanges". Viena. Sentarse . 122 : 933–944.Conexión de la formulación de Appell con el principio de mínima acción .
• Copia en PDF del artículo de Appell en la Universidad de Goettingen
• Copia en PDF de un segundo artículo sobre las ecuaciones de Appell y el principio de Gauss