Factorial alterno

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En matemáticas , un factorial alterno es el valor absoluto de la suma alternada de los primeros n factoriales de números enteros positivos .

Esto es lo mismo que su suma, con los factoriales de índice impar multiplicados por −1 si n es par , y los factoriales de índice par multiplicados por −1 si n es impar, lo que da como resultado una alternancia de signos de los sumandos (o una alternancia de operadores de suma y resta, si se prefiere). Para decirlo algebraicamente,

${\displaystyle \operatorname {af} (n)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{n-i}i!}$

o con la relación de recurrencia

${\displaystyle \operatorname {af} (n)=n!-\operatorname {af} (n-1)}$

en el que af(1) = 1.

Los primeros factoriales alternos son

1 , 1, 5 , 19 , 101 , 619, 4421, 35899, 326981, 3301819, 36614981, 442386619, 5784634181, 81393657019 (secuencia A005165 en la OEIS )

Por ejemplo, el tercer factorial alterno es 1! – 2! + 3!. El cuarto factorial alterno es −1! + 2! − 3! + 4! = 19. Independientemente de la paridad de n , al último ( n º) sumando, n !, se le da un signo positivo, al ( n  – 1) º sumando se le da un signo negativo y los signos de los sumandos de índice inferior se alternan en consecuencia.

Este patrón de alternancia garantiza que las sumas resultantes sean todas números enteros positivos. Si se cambia la regla de modo que los sumandos con índices pares o impares tengan signos negativos (independientemente de la paridad de n ), se cambian los signos de las sumas resultantes, pero no sus valores absolutos.

Živković (1999) demostró que solo hay un número finito de factoriales alternados que también son números primos , ya que 3612703 divide a af(3612702) y, por lo tanto, divide a af( n ) para todo n ≥ 3612702. ^[1] Los primos son af( n ) para

n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 19, 41, 59, 61, 105, 160, 661, ... (secuencia A001272 en la OEIS )

con varios números primos probables más altos que no han sido demostrados como primos.

• Weisstein, Eric W. "Factorial alterno". MathWorld .
• Živković, Miodrag (1999). "El número de primos ∑ i = 1 n ( − 1 ) n − i i ! {\textstyle \sum _{i=1}^{n}(-1)^{ni}i!} es finito". Matemáticas de la computación . 68 (225). Sociedad Matemática Americana : 403–409. Código Bibliográfico :1999MaCom..68..403Z. doi :10.1090/S0025-5718-99-00990-4.
• Yves Gallot, ¿El número de primos 1 2 ∑ i = 0 n − 1 i ! {\textstyle {1 \over 2}\sum _{i=0}^{n-1}i!} es finito?
• Paul Jobling, Problema de Guy B43: búsqueda de primos de la forma n!-(n-1)!+(n-2)!-(n-3)!+...+/-1!