Ecuación de Allen-Cahn

La ecuación de Allen-Cahn (en honor a John W. Cahn y Sam Allen) es una ecuación de reacción-difusión de física matemática que describe el proceso de separación de fases en sistemas de aleación multicomponente, incluidas las transiciones de orden-desorden.

La ecuación describe la evolución temporal de una variable de estado de valor escalar en un dominio durante un intervalo de tiempo , y está dada por: ^{[1] [2]}${\estilo de visualización \eta}$${\estilo de visualización \Omega}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

${\displaystyle {{\partial \eta } \over {\partial t}}=M_{\eta }[\operatorname {div} (\varepsilon _{\eta }^{2}\nabla \,\eta )-f'(\eta )]\quad {\text{en }}\Omega \times {\mathcal {T}},\quad \eta ={\bar {\eta }}\quad {\text{en }}\partial _{\eta }\Omega \times {\mathcal {T}},}$

${\displaystyle \quad -(\varepsilon _{\eta }^{2}\nabla \,\eta )\cdot m=q\quad {\text{en }}\partial _{q}\Omega \times {\mathcal {T}},\quad \eta =\eta _{o}\quad {\text{en }}\Omega \times \{0\},}$

donde es la movilidad, es un potencial de doble pozo, es el control en la variable de estado en la porción del límite , es el control de la fuente en , es la condición inicial y es la normal externa a .$Estilo de visualización M_{\eta}$${\estilo de visualización f}$${\displaystyle {\bar {\eta }}}$${\displaystyle \parcial _{\eta }\Omega }$${\estilo de visualización q}$${\displaystyle \parcial _{q}\Omega}$${\displaystyle \eta_{o}}$${\estilo de visualización m}$${\displaystyle \parcial \Omega}$

Es el flujo de gradiente L ² de la funcional de energía libre de Ginzburg-Landau . ^[3] Está estrechamente relacionado con la ecuación de Cahn-Hilliard .

Dejar

• ${\displaystyle \Omega \subconjunto \mathbb {R} ^{n}}$ser un conjunto abierto ,
• ${\displaystyle v_{0}(x)\en L^{2}(\Omega)}$una función inicial arbitraria,
• ${\displaystyle \varepsilon >0}$y dos constantes.${\displaystyle T>0}$

Una función es una solución de la ecuación de Allen-Cahn si resuelve ^[4]${\displaystyle v(x,t):\Omega \times [0,T]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \partial _{t}v-\Delta _{x}v=-{\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}f(v),\quad \Omega \times [0,T ]}$

dónde

• $Estilo de visualización: Delta _{x}$es el laplaciano con respecto al espacio ,${\estilo de visualización x}$
• ${\displaystyle f(v)=F'(v)}$es la derivada de una no negativa con dos mínimos .${\displaystyle F\en C^{1}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle F(\pm 1)=0}$

Generalmente, se tiene la siguiente condición inicial con la condición de contorno de Neumann

${\displaystyle {\begin{cases}v(x,0)=v_{0}(x),&\Omega \times \{0\}\\\partial _{n}v=0,&\partial \Omega \times [0,T]\\\end{cases}}}$

donde es la derivada normal externa .${\displaystyle \parcial _{n}v}$

Porque un candidato popular es${\estilo de visualización F(v)}$

${\displaystyle F(v)={\frac {(v^{2}-1)^{2}}{4}},\qquad f(v)=v^{3}-v.}$

• http://www.ctcms.nist.gov/~wcraig/variational/node10.html
• Allen, SM; Cahn, JW (1975). "Equilibrios coherentes e incoherentes en aleaciones de hierro y aluminio ricas en hierro". Acta Metall . 23 (9): 1017. doi :10.1016/0001-6160(75)90106-6.
• Allen, SM; Cahn, JW (1976). "Sobre los puntos tricríticos resultantes de la intersección de líneas de transiciones de orden superior con espinodales". Scripta Metallurgica . 10 (5): 451–454. doi :10.1016/0036-9748(76)90171-x.
• Allen, SM; Cahn, JW (1976). "Mecanismos de transformación de fase dentro de la brecha de miscibilidad de aleaciones Fe-Al ricas en Fe". Acta Metall . 24 (5): 425–437. doi :10.1016/0001-6160(76)90063-8.
• Cahn, JW; Allen, SM (1977). "Una teoría microscópica del movimiento de las paredes de dominio y su verificación experimental en la cinética de crecimiento de dominios de aleaciones Fe-Al". Journal de Physique . 38 : C7–51.
• Allen, SM; Cahn, JW (1979). "Una teoría microscópica para el movimiento de límites en antifase y su aplicación al engrosamiento de dominios en antifase". Acta Metall . 27 (6): 1085–1095. doi :10.1016/0001-6160(79)90196-2.
• Bronsard, L. ; Reitich, F. (1993). "Sobre el movimiento de contorno trifásico y el límite singular de una ecuación de Ginzburg-Landau con valor vectorial". Arch. Rat. Mech. Anal . 124 (4): 355–379. Bibcode :1993ArRMA.124..355B. doi :10.1007/bf00375607. S2CID  123291032.

• Simulación de Nils Berglund de una solución de la ecuación de Allen-Cahn

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