Espacio de fibra de Seifert

Un espacio de fibras de Seifert es una variedad tridimensional junto con una descomposición como unión disjunta de círculos. En otras palabras, es un fibrado ( fibrado de círculos ) sobre un orbifold bidimensional . Muchas variedades tridimensionales son espacios de fibras de Seifert y dan cuenta de todas las variedades orientadas compactas en 6 de las 8 geometrías de Thurston de la conjetura de geometrización .$Estilo de visualización S1$

Una variedad de Seifert es una variedad 3-cerrada junto con una descomposición en una unión disjunta de círculos (llamados fibras) de manera que cada fibra tiene un vecindario tubular que forma un toro fibroso estándar.

Un toro fibrado estándar correspondiente a un par de números enteros coprimos con es el fibrado superficial del automorfismo de un disco dado por rotación por un ángulo de (con el fibrado natural por círculos). Si la fibra del medio se llama ordinaria , mientras que si la fibra del medio se llama excepcional . Un espacio de fibras de Seifert compacto tiene solo un número finito de fibras excepcionales.${\estilo de visualización (a,b)}$${\displaystyle a>0}$${\estilo de visualización 2\pi b/a}$${\estilo de visualización a=1}$${\displaystyle a>1}$

El conjunto de fibras forma un orbifold bidimensional , denotado por B y llamado base —también llamada superficie orbital— de la fibración. Tiene una superficie bidimensional subyacente , pero puede tener algunos puntos de orbifold especiales correspondientes a las fibras excepcionales.$Estilo de visualización B_{0}$

La definición de fibración de Seifert se puede generalizar de varias maneras. A menudo se permite que la variedad de Seifert tenga un límite (también fibrada por círculos, por lo que es una unión de toros). Al estudiar variedades no orientables, a veces es útil permitir que las fibras tengan vecindarios que se parezcan al fibrado superficial de un reflejo (en lugar de una rotación) de un disco, de modo que algunas fibras tengan vecindarios que se parezcan a botellas de Klein fibradas, en cuyo caso puede haber familias de un parámetro de curvas excepcionales. En ambos casos, la base B de la fibración suele tener un límite no vacío.

Herbert Seifert clasificó todas las fibraciones de Seifert cerradas en términos de los siguientes invariantes. Las variedades de Seifert se denotan mediante símbolos

${\displaystyle \{b,(\varepsilon ,g);(a_{1},b_{1}),\puntos ,(a_{r},b_{r})\}\,}$

donde: es uno de los 6 símbolos: , (o Oo, No, NnI, On, NnII, NnIII en la notación original de Seifert) que significa:${\estilo de visualización \varepsilon}$${\displaystyle o_{1},o_{2},n_{1},n_{2},n_{3},n_{4}\,}$

• $estilo de visualización o_{1}$si B es orientable y M es orientable.
• $estilo de visualización o_{2}$si B es orientable y M no es orientable.
• $estilo de visualización n_{1}$si B no es orientable y M no es orientable y todos los generadores de conservan la orientación de la fibra.$Estilo de visualización: Pi _{1}(B)$
• ${\estilo de visualización n_{2}}$si B no es orientable y M es orientable, entonces todos los generadores de orientación inversa de la fibra.$Estilo de visualización: Pi _{1}(B)$
• $estilo de visualización n_{3}$si B no es orientable y M no es orientable y y exactamente un generador de conserva la orientación de la fibra.${\displaystyle g\geq 2}$$Estilo de visualización: Pi _{1}(B)$
• $estilo de visualización n_{4}$si B no es orientable y M no es orientable y y exactamente dos generadores de conservan la orientación de la fibra.${\displaystyle g\geq 3}$$Estilo de visualización: Pi _{1}(B)$

Aquí

• g es el género de la 2-variedad subyacente de la superficie de la órbita.
• b es un número entero, normalizado a 0 o 1 si M no es orientable y normalizado a 0 si además algún es 2.$Estilo de visualización ai$
• ${\displaystyle (a_{1},b_{1}),\ldots ,(a_{r},b_{r})}$son los pares de números que determinan el tipo de cada una de las r órbitas excepcionales. Están normalizados de modo que cuando M es orientable, y cuando M no lo es.${\displaystyle 0<b_{i}<a_{i}}$${\displaystyle 0<b_{i}\leq a_{i}/2}$

La fibración del símbolo de Seifert

${\displaystyle \{b,(\epsilon ,g);(a_{1},b_{1}),\ldots ,(a_{r},b_{r})\}}$

se puede construir a partir de ese símbolo

${\displaystyle \{0,(\epsilon ,g);\}}$

mediante el uso de cirugía para agregar fibras de los tipos b y .$Estilo de visualización b_{i}/a_{i}}$

Si eliminamos las condiciones de normalización, el símbolo se puede cambiar de la siguiente manera:

• Cambiar el signo de ambos no tiene efecto.$Estilo de visualización ai$$Estilo de visualización b_{i}$
• Sumar 1 a b y restarle no tiene ningún efecto. (En otras palabras, podemos sumar números enteros a cada uno de los números racionales siempre que su suma permanezca constante.)$Estilo de visualización ai$$Estilo de visualización b_{i}$${\displaystyle (b,b_{1}/a_{1},\ldots ,b_{r}/a_{r}}$
• Si el colector no es orientable, cambiar el signo de no tiene efecto.$Estilo de visualización b_{i}$
• Añadir una fibra de tipo (1,0) no tiene ningún efecto. Cada símbolo es equivalente, en estas operaciones, a un único símbolo normalizado. Cuando se trabaja con símbolos no normalizados, el entero b se puede establecer en cero añadiendo una fibra de tipo .${\estilo de visualización (1,b)}$

Dos fibraciones Seifert cerradas, orientadas o no orientables, son isomorfas como fibraciones orientadas o no orientables si y solo si tienen el mismo símbolo normalizado. Sin embargo, a veces es posible que dos variedades Seifert sean homeomorfas incluso si tienen diferentes símbolos normalizados, porque algunas variedades (como los espacios de lentes) pueden tener más de un tipo de fibración Seifert. Además, una fibración orientada bajo un cambio de orientación se convierte en la fibración Seifert cuyo símbolo tiene el signo de todos los b s cambiado, lo que después de la normalización le da el símbolo

${\displaystyle \{-br,(\epsilon ,g);(a_{1},a_{1}-b_{1}),\ldots ,(a_{r},a_{r}-b_{r})\}}$

y es homeomorfo a esto como una variedad no orientada.

La suma es un invariante de fibraciones orientadas, que es cero si y sólo si la fibración se vuelve trivial después de tomar una cubierta finita de B.${\displaystyle b+\suma b_{i}/a_{i}}$

La característica de Euler del orbifold B está dada por${\displaystyle \chi (B)}$

${\displaystyle \chi (B)=\chi (B_{0})-\sum (1-1/a_{i})}$,

donde es la característica de Euler usual de la superficie topológica subyacente del orbifold B . El comportamiento de M depende en gran medida del signo de la característica de Euler del orbifold de B .${\displaystyle \chi (B_{0})}$${\displaystyle B_{0}}$

El grupo fundamental de M encaja en la secuencia exacta

${\displaystyle \pi _{1}(S^{1})\rightarrow \pi _{1}(M)\rightarrow \pi _{1}(B)\rightarrow 1}$

donde es el grupo fundamental orbifold de B (que no es el mismo que el grupo fundamental de la variedad topológica subyacente). La imagen del grupo es cíclica, normal y generada por el elemento h representado por cualquier fibra regular, pero la función de π ₁ ( S ¹ ) a π ₁ ( M ) no siempre es inyectiva.${\displaystyle \pi _{1}(B)}$${\displaystyle \pi _{1}(S^{1})}$

El grupo fundamental de M tiene la siguiente presentación por generadores y relaciones:

B orientable:

${\displaystyle \langle u_{1},v_{1},...u_{g},v_{g},q_{1},...q_{r},h|u_{i}h=h^{\epsilon }u_{i},v_{i}h=h^{\epsilon }v_{i},q_{i}h=hq_{i},q_{j}^{a_{j}}h^{b_{j}}=1,q_{1}...q_{r}[u_{1},v_{1}]...[u_{g},v_{g}]=h^{b}\rangle }$

donde ε es 1 para el tipo o ₁ , y es −1 para el tipo o ₂ .

B no orientable:

${\displaystyle \langle v_{1},...,v_{g},q_{1},...q_{r},h|v_{i}h=h^{\epsilon _{i}}v_{i},q_{i}h=hq_{i},q_{j}^{a_{j}}h^{b_{j}}=1,q_{1}...q_{r}v_{1}^{2}...v_{g}^{2}=h^{b}\rangle }$

donde ε _i es 1 o −1 dependiendo de si el generador correspondiente v _i conserva o invierte la orientación de la fibra. (Por lo tanto, ε _i son todos 1 para el tipo n ₁ , todos −1 para el tipo n ₂ , solo el primero es uno para el tipo n ₃ , y solo los dos primeros son uno para el tipo n ₄ ).

Los símbolos normalizados de las fibraciones de Seifert con característica de Euler de orbifold positiva se dan en la lista siguiente. Estas variedades de Seifert a menudo tienen muchas fibraciones de Seifert diferentes. Tienen una geometría esférica de Thurston si el grupo fundamental es finito, y una geometría de Thurston S ² × R si el grupo fundamental es infinito. Equivalentemente, la geometría es S ² × R si la variedad no es orientable o si b + Σ b _i / a _i = 0, y geometría esférica en caso contrario.

{ b ; ( o ₁ , 0);} ( b integral) es S ² × S ¹ para b = 0, de lo contrario un espacio de lentes L ( b , 1). En particular, {1; ( o ₁ , 0);} = L (1,1) es la 3-esfera.

{ b ; ( o ₁ , 0);( a ₁ , b ₁ )} ( b integral) es el espacio de lentes L ( ba ₁ + b ₁ , a ₁ ).

{ b ; ( o ₁ , 0);( a ₁ , b ₁ ), ( a ₂ , b ₂ )} ( b integral) es S ² × S ¹ si ba ₁ a ₂ + a ₁ b ₂ + a ₂ b ₁ = 0, de lo contrario el espacio de lentes L ( ba ₁ a ₂ + a ₁ b ₂ + a ₂ b ₁ , ma ₂ + nb ₂ ) donde ma ₁ − n ( ba ₁ + b ₁ ) = 1.

{ b ; ( o ₁ , 0);(2, 1), (2, 1), ( a ₃ , b ₃ )} ( b integral) Esta es la variedad prismática con grupo fundamental de orden 4 a ₃ |( b +1) a ₃ + b ₃ | y primer grupo de homología de orden 4|( b +1) a ₃ + b ₃ |.

{ b ; ( o ₁ , 0);(2, 1), (3, b ₂ ), (3, b ₃ )} ( b integral) El grupo fundamental es una extensión central del grupo tetraédrico de orden 12 por un grupo cíclico.

{ b ; ( o ₁ , 0);(2, 1), (3, b ₂ ), (4, b ₃ )} ( b integral) El grupo fundamental es el producto de un grupo cíclico de orden |12 b +6+4 b ₂ + 3 b ₃ | y una doble cubierta de orden 48 del grupo octaédrico de orden 24.

{ b ; ( o ₁ , 0);(2, 1), (3, b ₂ ), (5, b ₃ )} ( b integral) El grupo fundamental es el producto de un grupo cíclico de orden m =|30 b +15+10 b ₂ +6 b ₃ | y el doble recubrimiento perfecto de orden 120 del grupo icosaédrico. Las variedades son cocientes de la esfera de homología de Poincaré por grupos cíclicos de orden m . En particular, {−1; ( o ₁ , 0);(2, 1), (3, 1), (5, 1)} es la esfera de Poincaré.

{ b ; ( n ₁ , 1);} ( b es 0 o 1.) Estas son las 3-variedades no orientables con geometría S ² × R. Si b es par, esto es homeomorfo al plano proyectivo multiplicado por el círculo; de lo contrario, es homeomorfo a un fibrado de superficies asociado a un automorfismo de inversión de orientación de la 2-esfera.

{ b ; ( n ₁ , 1 );( a ₁ , b ₁ )} ( b es 0 o 1.) Estas son las 3-variedades no orientables con geometría S ² × R. Si ba ₁ + b ₁ es par, esto es homeomorfo al plano proyectivo multiplicado por el círculo; de lo contrario, es homeomorfo a un fibrado de superficies asociado a un automorfismo de inversión de orientación de la 2-esfera.

{ b ; ( n ₂ , 1);} ( b integral.) Esta es la variedad prismática con grupo fundamental de orden 4| b | y primer grupo de homología de orden 4, excepto b = 0 cuando es una suma de dos copias del espacio proyectivo real, y | b |=1 cuando es el espacio de lentes con grupo fundamental de orden 4.

{ b ; ( n ₂ , 1 );( a ₁ , b ₁ )} ( b integral.) Esta es la variedad prismática (única) con grupo fundamental de orden 4 a ₁ | ba ₁ + b ₁ | y primer grupo de homología de orden 4 a ₁ .

Los símbolos normalizados de las fibraciones de Seifert con característica de Euler de orbifold cero se dan en la lista siguiente. Las variedades tienen geometría euclidiana de Thurston si no son orientables o si b + Σ b _i / a _i = 0, y geometría nula en caso contrario. Equivalentemente, la variedad tiene geometría euclidiana si y solo si su grupo fundamental tiene un grupo abeliano de índice finito. Hay 10 variedades euclidianas, pero cuatro de ellas tienen dos fibraciones de Seifert diferentes. Todos los fibrados superficiales asociados a automorfismos del 2-toro de traza 2, 1, 0, −1 o −2 son fibraciones de Seifert con característica de Euler de orbifold cero (los de otros automorfismos ( Anosov ) no son espacios de fibra de Seifert, pero tienen geometría sol ). Las variedades con geometría nula tienen todas una fibración de Seifert única y se caracterizan por sus grupos fundamentales. Los espacios totales son todos acíclicos.

{ b ; ( o ₁ , 0); (3, b ₁ ), (3, b ₂ ), (3, b ₃ )} ( b integral, b _i es 1 o 2) Para b + Σ b _i / a _i = 0 este es un fibrado euclidiano de 2 toros orientado sobre el círculo, y es el fibrado superficial asociado a una rotación de orden 3 (traza −1) del 2-toro.

{ b ; ( o ₁ , 0); (2,1), (4, b ₂ ), (4, b ₃ )} ( b integral, b _i es 1 o 3) Para b + Σ b _i / a _i = 0 este es un fibrado euclidiano de 2 toros orientado sobre el círculo, y es el fibrado superficial asociado a una rotación de orden 4 (traza 0) del 2-toro.

{ b ; ( o ₁ , 0); (2, 1), (3, b ₂ ), (6, b ₃ )} ( b integral, b ₂ es 1 o 2, b ₃ es 1 o 5) Para b + Σ b _i / a _i = 0 este es un fibrado euclidiano de 2 toros orientado sobre el círculo, y es el fibrado superficial asociado a una rotación de orden 6 (traza 1) del 2-toro.

{ b ; ( o ₁ , 0); (2, 1), (2, 1), (2, 1), (2, 1)} ( b integral) Estos son fibrados de 2-toros orientados para automorfismos de traza −2 del 2-toro. Para b = −2 este es un fibrado euclidiano de 2-toros orientado sobre el círculo (el fibrado superficial asociado a una rotación de orden 2 del 2-toro) y es homeomorfo a {0; ( n ₂ , 2);}.

{ b ; ( o ₁ , 1); } ( b integral) Este es un fibrado de 2-toros orientado sobre el círculo, dado como el fibrado superficial asociado a un automorfismo de traza 2 del 2-toro. Para b = 0 esto es euclidiano, y es el 3-toro (el fibrado superficial asociado a la función identidad del 2-toro).

{ b ; ( o ₂ , 1); } ( b es 0 o 1) Dos fibrados euclidianos de botella de Klein no orientables sobre el círculo. La primera homología es Z + Z + Z /2 Z si b = 0, y Z + Z si b = 1. La primera es la botella de Klein por S ¹ y la otra es el fibrado superficial asociado a un giro de Dehn de la botella de Klein . Son homeomorfos a los fibrados toroidales { b ; ( n ₁ , 2);}.

{0; ( n ₁ , 1); (2, 1), (2, 1)}   Homeomorfo al fibrado euclidiano de botella de Klein no orientable {1; ( n ₃ , 2);}, con primera homología Z + Z /4 Z .

{ b ; ( n ₁ , 2); } ( b es 0 o 1) Estos son los fibrados superficiales euclidianos no orientables asociados con automorfismos de orden 2 de inversión de orientación de un 2-toro sin puntos fijos. La primera homología es Z + Z + Z /2 Z si b = 0, y Z + Z si b = 1. Son homeomorfos a los fibrados de botella de Klein { b ; ( o ₂ , 1);}.

{ b ; ( n ₂ , 1); (2, 1), (2, 1)} ( b integral) Para b = −1 esto está orientado euclidianamente.

{ b ; ( n ₂ , 2); } ( b integral) Para b = 0 esta es una variedad euclidiana orientada, homeomorfa al fibrado de 2-toros {−2; ( o ₁ , 0); (2, 1), (2, 1), (2, 1), (2, 1)} sobre el círculo asociado a una rotación de orden 2 del 2-toro.

{ b ; ( n ₃ , 2); } ( b es 0 o 1) Los otros dos fibrados de botella de Klein euclidianos no orientables. El que tiene b = 1 es homeomorfo a {0; ( n ₁ , 1); (2, 1), (2, 1)}. La primera homología es Z + Z /2 Z + Z /2 Z si b = 0, y Z + Z /4 Z si b = 1. Estos dos fibrados de botella de Klein son fibrados de superficie asociados al homeomorfismo y y al producto de este y el giro.

Este es el caso general. Todas estas fibraciones de Seifert están determinadas hasta el isomorfismo por su grupo fundamental. Los espacios totales son asféricos (en otras palabras, todos los grupos de homotopía superiores se anulan). Tienen geometrías de Thurston del tipo de recubrimiento universal de SL ₂ ( R ) , a menos que algún recubrimiento finito se divida como un producto, en cuyo caso tienen geometrías de Thurston del tipo H ₂ × R . Esto sucede si la variedad no es orientable o b + Σ b _i / a _i = 0.

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