Círculo unitario

En matemáticas , un círculo unitario es un círculo de radio unitario , es decir, un radio de 1. ^[1] Con frecuencia, especialmente en trigonometría , el círculo unitario es el círculo de radio 1 centrado en el origen (0, 0) en el sistema de coordenadas cartesianas en el plano euclidiano . En topología , a menudo se denota como S ^{1 porque es una} n- esfera unidimensional . ^{[2] [nota 1]}

Si ( x , y ) es un punto en la circunferencia del círculo unitario , entonces | x | y | y | son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene longitud 1. Por lo tanto, por el teorema de Pitágoras , x e y satisfacen la ecuación$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}$$

Dado que x ² = (− x ) ² para todo x , y dado que la reflexión de cualquier punto en el círculo unitario sobre el eje x o y también está en el círculo unitario, la ecuación anterior es válida para todos los puntos ( x , y ) en el círculo unitario, no solo para aquellos en el primer cuadrante.

El interior del círculo unitario se llama disco unitario abierto , mientras que el interior del círculo unitario combinado con el propio círculo unitario se llama disco unitario cerrado.

También se pueden utilizar otras nociones de "distancia" para definir otros "círculos unitarios", como el círculo de Riemann ; consulte el artículo sobre normas matemáticas para obtener ejemplos adicionales.

En el plano complejo , los números de magnitud unitaria se denominan números complejos unitarios . Este es el conjunto de números complejos z tales que Cuando se descompone en componentes reales e imaginarios esta condición es${\displaystyle |z|=1.}$${\displaystyle z=x+iy,}$${\displaystyle |z|^{2}=z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}=1.}$

El círculo unitario complejo se puede parametrizar mediante la medida del ángulo desde el eje real positivo utilizando la función exponencial compleja ( ver la fórmula de Euler ).${\estilo de visualización \theta}$${\displaystyle z=e^{i\theta}=\cos \theta +i\sin \theta .}$

En la operación de multiplicación compleja, los números complejos unitarios forman un grupo llamado grupo circular , usualmente denotado En mecánica cuántica , un número complejo unitario se llama factor de fase .${\displaystyle \mathbb {T} .}$

Las funciones trigonométricas coseno y seno del ángulo θ se pueden definir en el círculo unitario de la siguiente manera: Si ( x , y ) es un punto en el círculo unitario, y si el rayo desde el origen (0, 0) a ( x , y ) forma un ángulo θ desde el eje x positivo (donde el giro en sentido antihorario es positivo), entonces$${\displaystyle \cos \theta =x\quad {\text{y}}\quad \sin \theta =y.}$$

La ecuación x ² + y ² = 1 da la relación$${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta = 1.}$$

El círculo unitario también demuestra que el seno y el coseno son funciones periódicas , con identidades para cualquier entero k .$${\displaystyle \cos \theta =\cos(2\pi k+\theta )}$$$${\displaystyle \sin \theta =\sin(2\pi k+\theta )}$$

Los triángulos construidos sobre el círculo unitario también se pueden utilizar para ilustrar la periodicidad de las funciones trigonométricas. Primero, construya un radio OP desde el origen O hasta un punto P( x ₁ , y ₁ ) en el círculo unitario tal que un ángulo t con 0 < t < ⁠π/2⁠ se forma con el brazo positivo del eje x . Ahora considere un punto Q( x ₁ ,0) y segmentos de línea PQ ⊥ OQ . El resultado es un triángulo rectángulo △OPQ con ∠QOP = t . Como PQ tiene longitud y ₁ , OQ longitud x ₁ y OP tiene longitud 1 como radio en el círculo unitario, sen( t ) = y ₁ y cos( t ) = x ₁ . Habiendo establecido estas equivalencias, tome otro radio OR desde el origen hasta un punto R(− x ₁ , y ₁ ) en el círculo tal que se forme el mismo ángulo t con el brazo negativo del eje x . Ahora considere un punto S(− x ₁ ,0) y segmentos de línea RS ⊥ OS . El resultado es un triángulo rectángulo △ORS con ∠SOR = t . Por lo tanto, se puede ver que, como ∠ROQ = π − t , R está en (cos(π − t ), sin(π − t )) de la misma manera que P está en (cos( ​​t ), sin( t )) . La conclusión es que, como (− x ₁ , y ₁ ) es lo mismo que (cos(π − t ), sin(π − t )) y ( x ₁ , y ₁ ) es lo mismo que (cos( ​​t ),sin( t )) , es cierto que sin( t ) = sin(π − t ) y −cos( t ) = cos(π − t ) . Se puede inferir de manera similar que tan(π − t ) = −tan( t ) , ya que tan( t ) = ⁠y ₁/x1_​⁠ y tan(π − t ) = ⁠y ₁/- x ₁⁠ . Una demostración sencilla de lo anterior se puede ver en la igualdad sin( ⁠π/4⁠ ) ​​= pecado( ⁠3π/4⁠ ) ​​= ⁠1/√ 2⁠ .

Al trabajar con triángulos rectángulos, el seno, el coseno y otras funciones trigonométricas solo tienen sentido para ángulos con medidas mayores que cero y menores que ⁠π/2⁠ . Sin embargo, cuando se definen con el círculo unitario, estas funciones producen valores significativos para cualquier medida de ángulo de valor real , incluso aquellos mayores que 2 π . De hecho, las seis funciones trigonométricas estándar (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, así como funciones arcaicas como verseno y exsecante  ) se pueden definir geométricamente en términos de un círculo unitario, como se muestra a la derecha.

Utilizando el círculo unitario, los valores de cualquier función trigonométrica para muchos ángulos distintos de los etiquetados se pueden calcular fácilmente a mano utilizando las fórmulas de suma y diferencia de ángulos .

El conjunto de Julia de un sistema dinámico discreto no lineal con función de evolución es un círculo unitario . Es el caso más simple, por lo que se utiliza ampliamente en el estudio de sistemas dinámicos.$$Estilo de visualización f_{0}(x)=x^{2}}$$

• Medida de ángulos
• Identidad trigonométrica pitagórica
• Círculo de Riemann
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• Unidad cuadrada
• Giro (ángulo)
• transformada z
• Diagrama de Smith