Forma canónica

Este artículo necesita citas adicionales para su verificación . Por favor, ayude a mejorar este artículo añadiendo citas de fuentes fiables . El material sin fuentes puede ser cuestionado y eliminado. Buscar fuentes:  «Forma canónica» – noticias  · periódicos  · libros  · académico  · JSTOR ( diciembre de 2007 ) ( Aprenda cómo y cuándo eliminar este mensaje )

En matemáticas e informática , una forma canónica , normal o estándar de un objeto matemático es una forma estándar de presentar ese objeto como una expresión matemática . A menudo, es la que proporciona la representación más simple de un objeto y permite identificarlo de una manera única. La distinción entre formas "canónicas" y "normales" varía de un subcampo a otro. En la mayoría de los campos, una forma canónica especifica una representación única para cada objeto, mientras que una forma normal simplemente especifica su forma, sin el requisito de unicidad. ^[1]

La forma canónica de un entero positivo en representación decimal es una secuencia finita de dígitos que no comienza con cero. De manera más general, para una clase de objetos en la que se define una relación de equivalencia , una forma canónica consiste en la elección de un objeto específico en cada clase. Por ejemplo:

• La forma normal de Jordan es una forma canónica para la similitud de matrices .
• La forma escalonada es una forma canónica, cuando se considera como equivalente una matriz y su producto izquierdo por una matriz invertible .

En informática, y más específicamente en álgebra computacional , cuando se representan objetos matemáticos en una computadora, normalmente hay muchas formas diferentes de representar el mismo objeto. En este contexto, una forma canónica es una representación tal que cada objeto tiene una representación única (siendo la canonización el proceso a través del cual una representación se pone en su forma canónica). ^[2] Por lo tanto, la igualdad de dos objetos se puede probar fácilmente probando la igualdad de sus formas canónicas.

A pesar de esta ventaja, las formas canónicas dependen frecuentemente de elecciones arbitrarias (como el ordenamiento de las variables), lo que introduce dificultades para probar la igualdad de dos objetos que resultan en cálculos independientes. Por lo tanto, en álgebra computacional, la forma normal es un concepto más débil: una forma normal es una representación tal que el cero está representado de manera única. Esto permite probar la igualdad al poner la diferencia de dos objetos en forma normal.

La forma canónica también puede significar una forma diferencial que se define de manera natural (canónica).

Dado un conjunto S de objetos con una relación de equivalencia R en S , se da una forma canónica designando algunos objetos de S como "en forma canónica", de modo que cada objeto en consideración sea equivalente a exactamente un objeto en forma canónica. En otras palabras, las formas canónicas en S representan las clases de equivalencia, una y solo una vez. Para comprobar si dos objetos son equivalentes, basta entonces con comprobar la igualdad en sus formas canónicas. Una forma canónica proporciona así un teorema de clasificación y más, en el sentido de que no solo clasifica cada clase, sino que también proporciona un representante distinguido (canónico) para cada objeto de la clase.

Formalmente, una canonización con respecto a una relación de equivalencia R en un conjunto S es una aplicación c : S → S tal que para todo s , s ₁ , s ₂ ∈ S :

1. c ( s ) = c ( c ( s )) ( idempotencia ),
2. s ₁ R s ₂ si y sólo si c ( s ₁ ) = c ( s ₂ ) (decisión), y
3. s R c ( s ) (representatividad).

La propiedad 3 es redundante; se deduce de la aplicación de 2 a 1.

En términos prácticos, a menudo es ventajoso poder reconocer las formas canónicas. También hay una cuestión práctica, algorítmica, a considerar: ¿cómo pasar de un objeto dado s en S a su forma canónica s *? Las formas canónicas se utilizan generalmente para hacer más efectiva la operación con clases de equivalencia. Por ejemplo, en aritmética modular , la forma canónica para una clase de residuo se toma generalmente como el entero menos no negativo en ella. Las operaciones sobre clases se llevan a cabo combinando estos representantes y luego reduciendo el resultado a su residuo menos no negativo. El requisito de unicidad a veces se relaja, lo que permite que las formas sean únicas hasta alguna relación de equivalencia más fina, como permitir la reordenación de términos (si no hay un orden natural en los términos).

Una forma canónica puede ser simplemente una convención o un teorema profundo. Por ejemplo, los polinomios se escriben convencionalmente con los términos en potencias descendentes: es más habitual escribir x ² + x + 30 que x + 30 + x ² , aunque las dos formas definen el mismo polinomio. Por el contrario, la existencia de la forma canónica de Jordan para una matriz es un teorema profundo.

Según el OED y la LSJ , el término canónico proviene de la palabra griega antigua kanonikós ( κανονικός , "regular, según la regla"), que deriva de kanṓn ( κᾰνών , "vara, regla"). El sentido de norma, estándar o arquetipo se ha utilizado en muchas disciplinas. El uso matemático está atestiguado en una carta de 1738 de Logan . ^[3] El término alemán kanonische Form está atestiguado en un artículo de 1846 de Eisenstein , ^[4] más tarde ese mismo año Richelot usa el término Normalform en un artículo, ^[5] y en 1851 Sylvester escribe: ^[6]

"Paso ahora al [...] modo de reducir las funciones algebraicas a sus formas más simples y simétricas, o como mi admirable amigo M. Hermite bien propone llamarlas, sus formas canónicas ".

En el mismo período, el uso está atestiguado por Hesse ("forma normal"), ^[7] Hermite ("forma canónica"), ^[8] Borchardt ("forma canónica"), ^[9] y Cayley ("forma canónica"). ^[10]

En 1865, el Diccionario de Ciencias, Literatura y Arte define la forma canónica como:

"En matemáticas, denota una forma, generalmente la más simple o más simétrica, a la que, sin pérdida de generalidad, se pueden reducir todas las funciones de la misma clase".

Nota: en esta sección, " hasta " alguna relación de equivalencia E significa que la forma canónica no es única en general, pero que si un objeto tiene dos formas canónicas diferentes, son E-equivalentes.

Muchos matemáticos y científicos utilizan la forma estándar para escribir números extremadamente grandes de una manera más concisa y comprensible, siendo la más destacada de ellas la notación científica . ^[11]

• Representación canónica de un entero positivo
• Forma canónica de una fracción continua

Objetos	A es equivalente a B si:	Forma normal	Notas
Matrices normales sobre los números complejos	${\displaystyle A=U^{*}BU}$para alguna matriz unitaria U	Matrices diagonales (hasta reordenamiento)	Este es el teorema espectral
Matrices sobre los números complejos	${\displaystyle A=UBV^{*}}$para algunas matrices unitarias U y V	Matrices diagonales con entradas positivas reales (en orden descendente)	Descomposición en valores singulares
Matrices sobre un cuerpo algebraicamente cerrado	${\displaystyle A=P^{-1}BP}$para alguna matriz invertible P	Forma normal de Jordan (hasta reordenamiento de bloques)
Matrices sobre un cuerpo algebraicamente cerrado	${\displaystyle A=P^{-1}BP}$para alguna matriz invertible P	Forma canónica de Weyr (hasta reordenamiento de bloques)
Matrices sobre un campo	${\displaystyle A=P^{-1}BP}$para alguna matriz invertible P	Forma normal de Frobenius
Matrices sobre un dominio ideal principal	${\displaystyle A=P^{-1}BQ}$para algunas matrices invertibles P y Q	Forma normal de Smith	La equivalencia es la misma que permitir transformaciones elementales invertibles de filas y columnas.
Matrices sobre los números enteros	${\displaystyle A=UB}$para alguna matriz unimodular U	Forma normal de Hermite
Matrices sobre los números enteros módulo n		Forma normal de Howell
Espacios vectoriales de dimensión finita sobre un cuerpo K	A y B son isomorfos como espacios vectoriales	${\displaystyle K^{n}}$, n es un entero no negativo

En geometría analítica :

• La ecuación de una recta: Ax  +  By  =  C , con A ²  +  B ²  = 1 y C  ≥ 0
• La ecuación de un círculo:${\displaystyle (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}}$

Por el contrario, existen formas alternativas de escribir ecuaciones. Por ejemplo, la ecuación de una línea puede escribirse como una ecuación lineal en forma de punto-pendiente y pendiente-intersección .

Los poliedros convexos se pueden poner en forma canónica de tal manera que:

• Todas las caras son planas,
• Todos los bordes son tangentes a la esfera unitaria, y
• El centroide del poliedro está en el origen. ^[12]

Toda variedad diferenciable tiene un fibrado cotangente . Ese fibrado siempre puede estar dotado de una determinada forma diferencial , llamada monoforma canónica . Esta forma confiere al fibrado cotangente la estructura de una variedad simpléctica y permite que los campos vectoriales de la variedad se integren por medio de las ecuaciones de Euler-Lagrange o por medio de la mecánica hamiltoniana . Tales sistemas de ecuaciones diferenciales integrables se denominan sistemas integrables .

El estudio de los sistemas dinámicos se superpone con el de los sistemas integrables ; allí se tiene la idea de una forma normal (sistemas dinámicos) .

En el estudio de variedades en tres dimensiones, se tiene la primera forma fundamental , la segunda forma fundamental y la tercera forma fundamental .

Objetos	A es equivalente a B si:	Forma normal
Espacios de Hilbert	Si A y B son ambos espacios de Hilbert de dimensión infinita, entonces A y B son isométricamente isomorfos.	${\displaystyle \ell ^{2}(I)}$ espacios de secuencia (hasta intercambiar el conjunto índice I con otro conjunto índice de la misma cardinalidad )
Álgebras C* conmutativas con unidad	A y B son isomorfos como C*-álgebras	El álgebra de funciones continuas en un espacio de Hausdorff compacto , hasta el homeomorfismo del espacio base.${\displaystyle C(X)}$

• Forma normal de negación
• Forma normal conjuntiva
• Forma normal disyuntiva
• Forma normal algebraica
• Forma normal de Prenex
• Forma normal de Skolem
• Forma canónica de Blake , también conocida como suma completa de implicantes primos, suma completa o forma prima disyuntiva

• Forma normal de Cantor de un número ordinal

• Juego en forma normal

• Forma normal (deducción natural)

La manipulación simbólica de una fórmula de una forma a otra se denomina "reescritura" de esa fórmula. Se pueden estudiar las propiedades abstractas de la reescritura de fórmulas genéricas estudiando el conjunto de reglas mediante las cuales se pueden manipular de forma válida las fórmulas. Estas son las "reglas de reescritura", una parte integral de un sistema de reescritura abstracto . Una pregunta común es si es posible llevar una expresión genérica a una única forma común, la forma normal. Si diferentes secuencias de reescrituras siguen dando como resultado la misma forma, entonces esa forma puede denominarse forma normal, y la reescritura se denomina confluente. No siempre es posible obtener una forma normal.

• Un término lambda está en forma normal beta si no es posible ninguna reducción beta; el cálculo lambda es un caso particular de un sistema de reescritura abstracto. En el cálculo lambda no tipificado, por ejemplo, el término no tiene una forma normal. En el cálculo lambda tipificado, todo término bien formado puede reescribirse en su forma normal.${\displaystyle (\lambda x.(xx)\;\lambda x.(xx))}$

En teoría de grafos , una rama de las matemáticas, la canonización de grafos es el problema de encontrar una forma canónica de un grafo dado G . Una forma canónica es un grafo etiquetado Canon( G ) que es isomorfo a G , de modo que cada grafo que es isomorfo a G tiene la misma forma canónica que G . Por lo tanto, a partir de una solución al problema de canonización de grafos, también se podría resolver el problema del isomorfismo de grafos : para probar si dos grafos G y H son isomorfos, calcular sus formas canónicas Canon( G ) y Canon( H ), y probar si estas dos formas canónicas son idénticas.

En informática , la reducción de datos a cualquier tipo de forma canónica se denomina comúnmente normalización de datos .

Por ejemplo, la normalización de bases de datos es el proceso de organizar los campos y tablas de una base de datos relacional para minimizar la redundancia y la dependencia. ^[13]

En el campo de la seguridad del software , una vulnerabilidad común es la entrada maliciosa sin control (ver Inyección de código ). La mitigación de este problema es una validación de entrada adecuada . Antes de realizar la validación de entrada, la entrada generalmente se normaliza eliminando la codificación (por ejemplo, codificación HTML ) y reduciendo los datos de entrada a un único conjunto de caracteres común .

Otras formas de datos, normalmente asociadas con el procesamiento de señales (incluido audio e imágenes ) o el aprendizaje automático , se pueden normalizar para proporcionar un rango limitado de valores.

En la gestión de contenidos , el concepto de una única fuente de verdad (SSOT) es aplicable, al igual que en la normalización de bases de datos en general y en el desarrollo de software . Los sistemas de gestión de contenidos competentes proporcionan formas lógicas de obtenerla, como la transclusión .

• Canonicalización
• Base canónica
• Clase canónica
• Normalización (desambiguación)
• Normalización

• Shilov, Georgi E. (1977), Silverman, Richard A. (ed.), Álgebra lineal , Dover, ISBN 0-486-63518-X.
• Hansen, Vagn Lundsgaard (2006), Análisis funcional: entrada al espacio de Hilbert , World Scientific Publishing, ISBN 981-256-563-9.