Truco unitario
Dispositivo en la teoría de la representación de los grupos de Lie

En matemáticas , el truco unitario (o truco unitario ) es un recurso en la teoría de representación de los grupos de Lie , introducido por Adolf Hurwitz  (1897) para el grupo lineal especial y por Hermann Weyl para los grupos generales semisimples . Se aplica para mostrar que la teoría de representación de algún grupo de Lie complejo G está controlada de manera cualitativa por la de algún grupo de Lie real compacto K, y la última teoría de representación es más fácil. Un ejemplo importante es aquel en el que G es el grupo lineal general complejo GL n ( C ), y K el grupo unitario U( n ) que actúa sobre vectores del mismo tamaño. Del hecho de que las representaciones de K son completamente reducibles , se concluye lo mismo para las representaciones analíticas complejas de G , al menos en dimensiones finitas.

La relación entre G y K que impulsa esta conexión se expresa tradicionalmente en términos de que el álgebra de Lie de K es una forma real de la de G. En la teoría de grupos algebraicos , también se puede plantear la relación de que K es un subconjunto denso de G , para la topología de Zariski .

El truco funciona para los grupos de Lie reductivos G , de los cuales un caso importante son los grupos de Lie semisimples .

Formulaciones

El "truco" se enuncia de varias maneras en las matemáticas contemporáneas. Una de esas formulaciones es para G un grupo reductivo sobre los números complejos. Entonces G an , los puntos complejos de G considerados como un grupo de Lie, tienen un subgrupo compacto K que es Zariski-denso. [1] Para el caso del grupo lineal especial, este resultado fue demostrado para su subgrupo unitario especial por Issai Schur (1924, presagiado por un trabajo anterior). [2] El grupo lineal especial es un grupo de Lie semisimple complejo. Para cualquier grupo G y subgrupo compacto maximalista K , y V un espacio vectorial complejo de dimensión finita que es un G -módulo, sus G -submódulos y K -submódulos son los mismos. [3]

En la Enciclopedia de Matemáticas , la formulación es

Los grupos de Lie compactos clásicos... tienen las mismas representaciones lineales complejas y los mismos subespacios invariantes en espacios tensoriales que sus envolventes complejas [...]. Por lo tanto, los resultados de la teoría de representaciones lineales obtenidos para los grupos de Lie complejos clásicos pueden trasladarse a los grupos compactos correspondientes y viceversa. [4]

En términos del formalismo tannakiano , Claude Chevalley interpretó la dualidad de Tannaka a partir de un grupo de Lie compacto K como la construcción de la "envolvente compleja" G como el grupo algebraico reductivo dual Tn(K) sobre los números complejos. [5] Veeravalli S. Varadarajan escribió sobre el "truco unitario" como "la correspondencia canónica entre grupos complejos semisimples compactos y complejos descubiertos por Weyl", señalando las "teorías de dualidad estrechamente relacionadas de Chevalley y Tannaka", y los desarrollos posteriores que siguieron en los grupos cuánticos . [6]

Historia

Adolf Hurwitz había demostrado cómo la integración sobre un grupo de Lie compacto podía utilizarse para construir invariantes, en los casos de grupos unitarios y grupos ortogonales compactos . Issai Schur en 1924 demostró que esta técnica puede aplicarse para demostrar la reducibilidad completa de las representaciones para tales grupos mediante la construcción de un producto interno invariante. Weyl extendió el método de Schur a las álgebras de Lie semisimples complejas al demostrar que tenían una forma real compacta . [7]

Teorema de Weyl

La reducibilidad completa de las representaciones lineales de dimensión finita de grupos compactos, o grupos de Lie semisimples conexos y álgebras de Lie semisimples complejas , se conoce a veces con el nombre de teorema de Weyl . [8] Un resultado relacionado, que la cobertura universal de un grupo de Lie semisimple compacto también es compacto, también recibe el mismo nombre. Weyl lo demostró unos años antes de que la "cobertura universal" tuviera una definición formal. [9] [10]

Fórmulas explícitas

Sea una representación compleja de un grupo de Lie compacto . Defina , integrando con respecto a la medida de Haar. Como es una matriz positiva, existe una raíz cuadrada tal que . Para cada , la matriz es unitaria. π : GRAMO → GRAMO yo ( norte , do ) {\displaystyle \pi :G\rightarrow GL(n,\mathbb {C} )} GRAMO {\estilo de visualización G} PAG = ∫ GRAMO π ( gramo ) π ( gramo ) ∗ d gramo {\displaystyle P=\int _ {G}\pi (g)\pi (g)^{*}dg} GRAMO {\estilo de visualización G} PAG {\estilo de visualización P} Q {\estilo de visualización Q} PAG = Q 2 Estilo de visualización P=Q^{2}} gramo ∈ GRAMO {\displaystyle g\en G} τ ( gramo ) = Q − 1 π ( gramo ) Q {\displaystyle \tau (g)=Q^{-1}\pi (g)Q}

Notas

  1. ^ Parshin, AN; Shafarevich, IR (6 de diciembre de 2012). Geometría algebraica IV: teoría de invariantes de grupos algebraicos lineales. Springer Science & Business Media. pág. 92. ISBN 978-3-662-03073-8.
  2. ^ Hawkins, Thomas (6 de diciembre de 2012). Surgimiento de la teoría de los grupos de Lie: un ensayo sobre la historia de las matemáticas 1869-1926. Springer Science & Business Media. pág. 415. ISBN 978-1-4612-1202-7.
  3. ^ Santos, Walter Ferrer; Rittatore, Alvaro (26 de abril de 2005). Acciones e invariantes de grupos algebraicos. CRC Press. p. 304. ISBN 978-1-4200-3079-2.
  4. ^ Vinberg, EB (2001) [1994], "Representación de los grupos clásicos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
  5. ^ Hitchin, Nigel J. (julio de 2010). Las múltiples facetas de la geometría: un tributo a Nigel Hitchin. Oxford University Press. pp. 97–98. ISBN 978-0-19-953492-0.
  6. ^ Doran, Robert S. (2000). El legado matemático de Harish-Chandra: una celebración de la teoría de la representación y el análisis armónico: una sesión especial de la AMS en honor a la memoria de Harish-Chandra, 9 y 10 de enero de 1998, Baltimore, Maryland. American Mathematical Soc. p. 3. ISBN 978-0-8218-1197-9.
  7. ^ Nicolas Bourbaki , Grupos de mentiras y álgebras de mentiras (1989), p. 426.
  8. ^ "Conjunto completamente reducible", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
  9. ^ "Grupo de Lie, compacto", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
  10. ^ Bourbaki, Nicolas (1989). Grupos de Lie y álgebras de Lie: capítulos 1-3. Springer Science & Business Media. pág. 426. ISBN 978-3-540-64242-8.

Referencias

  • VS Varadarajan, Una introducción al análisis armónico en grupos de Lie semisimples (1999), pág. 49.
  • Wulf Rossmann, Grupos de Lie: una introducción a través de grupos lineales (2006), pág. 225.
  • Roe Goodman, Nolan R. Wallach, Simetría, representaciones e invariantes (2009), pág. 171.
  • Hurwitz, A. (1897), "Über die Erzeugung der Invarienten durch Integration", Nachrichten Ges. Wiss. Gotinga : 71–90
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