Trapecio

Trapecio (AmE) Trapecio (BrE)
Trapecio o trapezoide
Tipo	cuadrilátero
Aristas y vértices	4
Área	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}h}$
Propiedades	convexo

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En geometría , un trapezoide ( / ˈt r æ p ə z ɔɪ d / ) en inglés norteamericano , o trapecio ( / t r ə ˈ p iː z i ə m / ) en inglés británico , ^{[1] [2]} es un cuadrilátero que tiene un par de lados paralelos .

Los lados paralelos se denominan bases del trapezoide. Los otros dos lados se denominan catetos (o lados laterales ) si no son paralelos; de lo contrario, el trapezoide es un paralelogramo y tiene dos pares de bases. Un trapezoide escaleno es un trapezoide sin lados de igual medida, ^[3] en contraste con los casos especiales que se describen a continuación.

En la geometría euclidiana , se suele considerar que un trapezoide es un cuadrilátero convexo , pero también existen casos cruzados . Si ABCD es un trapezoide convexo, entonces ABDC es un trapezoide cruzado. Las fórmulas métricas de este artículo se aplican a los trapecios convexos.

El antiguo matemático griego Euclides definió cinco tipos de cuadrilátero, de los cuales cuatro tenían dos pares de lados paralelos (conocidos en español como cuadrado, rectángulo, rombo y romboide) y el último no tenía dos pares de lados paralelos: un τραπέζια ( trapecia ^[5] literalmente 'mesa', de τετράς ( tetrás ) 'cuatro' + πέζα ( péza ) 'pie; extremo, borde, arista'). ^[6]

Proclo (412 a 485 d. C.) introdujo dos tipos de trapecios en su comentario al primer libro de los Elementos de Euclides : ^{[4] [7]}

• Un par de lados paralelos: un trapezoide (τραπέζιον), dividido en trapecios isósceles (catetos iguales) y escalenos (desiguales).
• sin lados paralelos – trapezoide (τραπεζοειδή, trapezoeidé , literalmente 'parecido a un trapecio' (εἶδος significa 'parecido'), de la misma manera que cuboide significa ' parecido a un cubo ' y romboide significa ' parecido a un rombo ')

Todas las lenguas europeas siguen la estructura de Proclo ^{[7] [8],} al igual que el inglés hasta finales del siglo XVIII, hasta que un influyente diccionario matemático publicado por Charles Hutton en 1795 apoyó sin explicación una transposición de los términos. Esto se invirtió en inglés británico alrededor de 1875, pero se ha mantenido en inglés americano hasta el presente. ^[4]

La siguiente tabla compara los usos, con las definiciones más específicas en la parte superior y las más generales en la parte inferior.

Tipo	Conjuntos de lados paralelos	Imagen	Terminología original			Terminología moderna
			Euclides (Definición 22)	Proclo (Definiciones 30 a 34, citando a Posidonio)	Definición de Euclides/Proclo	Inglés británico	Inglés americano
Paralelogramo	2		ῥόμβος (rombos)		Equilátero pero no rectángulo	Rombo/Paralelogramo
			ῥομβοειδὲς (romboides)		lados opuestos y ángulos iguales entre sí pero no equiláteros ni rectángulos	Romboide/Paralelogramo
No paralelogramo	1		trapecio (trapecio)	τραπέζιον ἰσοσκελὲς ( trapecio ion isoskelés)	Dos lados paralelos y una línea de simetría.	Trapecio isósceles	Oide de trapecio isósceles
				τραπέζιον σκαληνὸν ( trapecio ion skalinón)	Dos lados paralelos y ninguna línea de simetría.	Trapecio​	Oide de trapecio
	0			τραπέζοειδὲς ( trapecio oides )	No hay lados paralelos	Cuadrilátero irregular / Trapecioide [9] [10]	Trapecio​

Existe cierto desacuerdo sobre si los paralelogramos , que tienen dos pares de lados paralelos, deben considerarse trapecios.

Algunos definen un trapezoide como un cuadrilátero que tiene solo un par de lados paralelos (la definición exclusiva), excluyendo así los paralelogramos. ^[11] Algunas fuentes utilizan el término trapezoide propio para describir trapecios bajo la definición exclusiva, análogo a los usos de la palabra propio en algunos otros objetos matemáticos. ^[12]

Otros ^{[13] [ verificación fallida ]} definen un trapezoide como un cuadrilátero con al menos un par de lados paralelos (la definición inclusiva ^[14] ), lo que convierte al paralelogramo en un tipo especial de trapezoide. La última definición es coherente con sus usos en matemáticas superiores, como el cálculo . Este artículo utiliza la definición inclusiva y considera los paralelogramos como casos especiales de un trapezoide. Esto también se defiende en la taxonomía de los cuadriláteros .

Según la definición inclusiva, todos los paralelogramos (incluidos los rombos , los cuadrados y los rectángulos no cuadrados ) son trapecios. Los rectángulos tienen simetría especular en los bordes medios; los rombos tienen simetría especular en los vértices, mientras que los cuadrados tienen simetría especular tanto en los bordes medios como en los vértices.

Un trapezoide rectángulo (también llamado trapezoide rectángulo ) tiene dos ángulos rectos adyacentes . ^[13] Los trapecios rectos se utilizan en la regla trapezoidal para estimar áreas bajo una curva.

Un trapezoide agudo tiene dos ángulos agudos adyacentes en su borde de base más largo .

Por otro lado, un trapezoide obtuso tiene un ángulo agudo y uno obtuso en cada base .

Un trapezoide isósceles es un trapezoide en el que los ángulos de la base tienen la misma medida. En consecuencia, los dos catetos también tienen la misma longitud y tiene simetría de reflexión . Esto es posible para trapecios acutángulos o trapecios rectos (como rectángulos).

Un paralelogramo es (según la definición inclusiva) un trapezoide con dos pares de lados paralelos. Un paralelogramo tiene simetría rotacional central doble (o simetría de reflexión puntual ). Es posible que existan trapecios obtusos o trapecios rectos (rectángulos).

Un trapezoide tangencial es un trapezoide que tiene un círculo inscrito .

Un cuadrilátero de Saccheri es similar a un trapezoide en el plano hiperbólico , con dos ángulos rectos adyacentes, mientras que es un rectángulo en el plano euclidiano . Un cuadrilátero de Lambert en el plano hiperbólico tiene 3 ángulos rectos.

Cuatro longitudes a , c , b , d pueden constituir los lados consecutivos de un trapezoide no paralelogramo con a y b paralelos sólo cuando ^[15]

${\displaystyle \displaystyle |dc|<|ba|<d+c.}$

El cuadrilátero es un paralelogramo cuando , pero es un cuadrilátero ex-tangencial (que no es un trapezoide) cuando . ^{[16] : p. 35}${\displaystyle dc=ba=0}$${\displaystyle |dc|=|ba|\neq 0}$

Dado un cuadrilátero convexo, las siguientes propiedades son equivalentes y cada una implica que el cuadrilátero es un trapezoide:

• Tiene dos ángulos adyacentes que son suplementarios , es decir, suman 180 grados .
• El ángulo entre un lado y una diagonal es igual al ángulo entre el lado opuesto y la misma diagonal.
• Las diagonales se cortan entre sí en la misma proporción (esta proporción es la misma que hay entre las longitudes de los lados paralelos).
• Las diagonales cortan el cuadrilátero en cuatro triángulos, de los cuales un par opuesto tiene áreas iguales. ^{[16] : Prop.5}
• El producto de las áreas de los dos triángulos formados por una diagonal es igual al producto de las áreas de los dos triángulos formados por la otra diagonal. ^{[16] : Teo.6}
• Las áreas S y T de algunos dos triángulos opuestos de los cuatro triángulos formados por las diagonales satisfacen la ecuación

${\displaystyle {\sqrt {K}}={\sqrt {S}}+{\sqrt {T}},}$

donde K es el área del cuadrilátero. ^{[16] : Teoría 8}

• Los puntos medios de dos lados opuestos del trapezoide y la intersección de las diagonales son colineales . ^{[16] : Teoría 15}
• Los ángulos del cuadrilátero ABCD satisfacen ^{[16] : p. 25}${\displaystyle \sin A\sin C=\sin B\sin D.}$
• Los cosenos de dos ángulos adyacentes suman 0, al igual que los cosenos de los otros dos ángulos. ^{[16] : p. 25}
• Las cotangentes de dos ángulos adyacentes suman 0, al igual que las cotangentes de los otros dos ángulos adyacentes. ^{[16] : p. 26}
• Un bimediano divide el cuadrilátero en dos cuadriláteros de áreas iguales. ^{[16] : p. 26}
• El doble de la longitud de la bimediana que une los puntos medios de dos lados opuestos es igual a la suma de las longitudes de los otros lados. ^{[16] : p. 31}

Además, las siguientes propiedades son equivalentes y cada una implica que los lados opuestos a y b son paralelos:

• Los lados consecutivos a , c , b , d y las diagonales p , q satisfacen la ecuación ^{[16] : Cor.11}

${\displaystyle p^{2}+q^{2}=c^{2}+d^{2}+2ab.}$

• La distancia v entre los puntos medios de las diagonales satisface la ecuación ^{[16] : Teoría 12}

${\displaystyle v={\frac {|ab|}{2}}.}$

El segmento medio de un trapezoide es el segmento que une los puntos medios de los catetos. Es paralelo a las bases. Su longitud m es igual al promedio de las longitudes de las bases a y b del trapezoide, ^[13]

${\displaystyle m={\frac {a+b}{2}}.}$

El segmento medio de un trapezoide es uno de los dos bimedianos (el otro bimediano divide el trapezoide en áreas iguales).

La altura (o altitud) es la distancia perpendicular entre las bases. En el caso de que las dos bases tengan longitudes diferentes ( a ≠ b ), la altura de un trapezoide h se puede determinar por la longitud de sus cuatro lados utilizando la fórmula ^[13]

${\displaystyle h={\frac {\sqrt {(pa)(pb)(pbd)(pbc)}}{2|ba|}}}$

donde c y d son las longitudes de los catetos y .${\displaystyle p=a+b+c+d}$

El área K de un trapezoide está dada por ^[13]

${\displaystyle K={\frac {a+b}{2}}\cdot h=mh}$

donde a y b son las longitudes de los lados paralelos, h es la altura (la distancia perpendicular entre estos lados), y m es la media aritmética de las longitudes de los dos lados paralelos. En 499 d. C. Aryabhata , un gran matemático y astrónomo de la era clásica de las matemáticas y la astronomía indias , utilizó este método en el Aryabhatiya (sección 2.8). Esto produce como un caso especial la conocida fórmula para el área de un triángulo , al considerar un triángulo como un trapezoide degenerado en el que uno de los lados paralelos se ha encogido a un punto.

El matemático indio del siglo VII Bhāskara I derivó la siguiente fórmula para el área de un trapezoide con lados consecutivos a , c , b , d :

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}(a+b){\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left((ba)+{\frac {c^{2}-d^{2}}{ba}}\right)^{2}}}}$

donde a y b son paralelas y b > a . ^[17] Esta fórmula se puede factorizar en una versión más simétrica ^[13]

${\displaystyle K={\frac {a+b}{4|ba|}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+cd)(ab-c+d)}}.}$

Cuando uno de los lados paralelos se ha reducido a un punto (digamos a = 0), esta fórmula se reduce a la fórmula de Herón para el área de un triángulo.

Otra fórmula equivalente para el área, que se asemeja más a la fórmula de Heron, es ^[13]

${\displaystyle K={\frac {a+b}{|ba|}}{\sqrt {(sb)(sa)(sbc)(sbd)}}}$

donde es el semiperímetro del trapezoide. (Esta fórmula es similar a la fórmula de Brahmagupta , pero se diferencia de ella en que un trapezoide puede no ser cíclico (inscrito en un círculo). La fórmula también es un caso especial de la fórmula de Bretschneider para un cuadrilátero general ).${\displaystyle s={\frac {1}{2}}(a+b+c+d)}$

De la fórmula de Bretschneider se deduce que

${\displaystyle K={\sqrt {{\frac {(ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2})(ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2})}{4(ba)^{2}}}-\left({\frac {c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}}{4}}\right)^{2}}}.}$

La bimediana que une los lados paralelos biseca el área.

Las longitudes de las diagonales son ^[13]

${\displaystyle p={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{ba}}},}$

${\displaystyle q={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2}}{ba}}}}$

donde a es la base corta, b es la base larga y c y d son los catetos del trapezoide.

Si el trapezoide se divide en cuatro triángulos por sus diagonales AC y BD (como se muestra a la derecha), que se cortan en O , entonces el área de AOD es igual a la de BOC , y el producto de las áreas de AOD y BOC es igual al de AOB y COD . La relación de las áreas de cada par de triángulos adyacentes es la misma que la que existe entre las longitudes de los lados paralelos. ^[13]${\displaystyle \triángulo}$ ${\displaystyle \triángulo}$ ${\displaystyle \triángulo}$ ${\displaystyle \triángulo}$ ${\displaystyle \triángulo}$ ${\displaystyle \triángulo}$

Sea el trapezoide con vértices A , B , C y D en secuencia y lados paralelos AB y DC . Sea E la intersección de las diagonales, y sea F en el lado DA y G en el lado BC de manera que FEG sea paralelo a AB y CD . Entonces FG es la media armónica de AB y DC : ^[18]

${\displaystyle {\frac {1}{FG}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{AB}}+{\frac {1}{DC}}\right).}$

La línea que pasa por el punto de intersección de los lados no paralelos extendidos y el punto de intersección de las diagonales, biseca cada base. ^[19]

El centro de área (centro de masa para una lámina uniforme ) se encuentra a lo largo del segmento de línea que une los puntos medios de los lados paralelos, a una distancia perpendicular x del lado más largo b dada por ^[20]

${\displaystyle x={\frac {h}{3}}\left({\frac {2a+b}{a+b}}\right).}$

El centro del área divide este segmento en la proporción (cuando se toma del lado corto al lado largo) ^{[21] : p. 862}

${\displaystyle {\frac {a+2b}{2a+b}}.}$

Si las bisectrices de los ángulos A y B se intersecan en P , y las bisectrices de los ángulos C y D se intersecan en Q , entonces ^[19]

${\displaystyle PQ={\frac {|AD+BC-AB-CD|}{2}}.}$

En arquitectura, la palabra se utiliza para referirse a puertas, ventanas y edificios simétricos construidos más anchos en la base y estrechándose hacia la parte superior, al estilo egipcio. Si estos tienen lados rectos y esquinas angulares agudas, sus formas suelen ser trapecios isósceles . Este era el estilo estándar para las puertas y ventanas de los incas . ^[22]

El problema de las escaleras cruzadas es el problema de encontrar la distancia entre los lados paralelos de un trapezoide rectángulo, dadas las longitudes diagonales y la distancia desde el cateto perpendicular hasta la intersección diagonal.

En morfología , taxonomía y otras disciplinas descriptivas en las que es necesario un término para dichas formas, términos como trapezoidal o trapeciforme suelen ser útiles en las descripciones de órganos o formas particulares. ^[23]

En ingeniería informática, en concreto en lógica digital y arquitectura informática, los trapecios se utilizan habitualmente para simbolizar multiplexores . Los multiplexores son elementos lógicos que seleccionan entre varios elementos y producen una única salida en función de una señal seleccionada. Los diseños típicos emplean trapecios sin indicar específicamente que son multiplexores, ya que son universalmente equivalentes.

• Frustum , un sólido que tiene caras trapezoidales
• Número cortés , también conocido como número trapezoidal
• Cuña , poliedro definido por dos triángulos y tres caras trapezoidales.

• D. Fraivert, A. Sigler y M. Stupel: Propiedades comunes de los trapecios y los cuadriláteros convexos

• "Trapecio" en la Enciclopedia de Matemáticas
• Weisstein, Eric W. "Trapecio rectángulo". MathWorld .
• Definición de trapezoide, Área de un trapezoide, Mediana de un trapezoide (con animaciones interactivas)
• Trapecio (América del Norte) en elsy.at: Curso animado (construcción, circunferencia, área)
• Regla trapezoidal en métodos numéricos para estudiantes de grado de ciencias biológicas
• Autar Kaw y E. Eric Kalu, Métodos numéricos con aplicaciones (2008)