Topología de operador fuerte

En el análisis funcional , una rama de las matemáticas , la topología de operadores fuertes , a menudo abreviada como SOT , es la topología localmente convexa en el conjunto de operadores acotados en un espacio de Hilbert H inducida por las seminormas de la forma , a medida que x varía en H. ${\displaystyle T\mapsto \|Tx\|}$

Equivalentemente, es la topología más burda tal que, para cada x fija en H , el mapa de evaluación (que toma valores en H ) es continuo en T. La equivalencia de estas dos definiciones se puede ver al observar que una subbase para ambas topologías está dada por los conjuntos (donde T ₀ es cualquier operador acotado en H , x es cualquier vector y ε es cualquier número real positivo).${\displaystyle T\mapsto Tx}$${\displaystyle U(T_{0},x,\epsilon )=\{T:\|Tx-T_{0}x\|<\epsilon \}}$

En términos concretos, esto significa que en la topología de operadores fuertes si y sólo si para cada x en H .${\displaystyle T_{i}\to T}$${\displaystyle \|T_{i}x-Tx\|\a 0}$

La SOT es más fuerte que la topología del operador débil y más débil que la topología normal .

La topología de convergencia puntual carece de algunas de las mejores propiedades que posee la topología de operadores débiles , pero al ser más fuerte, a veces es más fácil demostrar las cosas en esta topología. También se la puede considerar más natural, ya que es simplemente la topología de convergencia puntual.

La topología SOT también proporciona el marco para el cálculo funcional medible , al igual que la topología norma lo hace para el cálculo funcional continuo .

Los funcionales lineales del conjunto de operadores acotados de un espacio de Hilbert que son continuos en la topología de operadores débiles (WOT) son precisamente aquellos que son continuos en la topología de operadores débiles (WOT). Debido a esto, el cierre de un conjunto convexo de operadores en la WOT es el mismo que el cierre de ese conjunto en la SOT.

Este lenguaje se traduce en propiedades de convergencia de los operadores del espacio de Hilbert. Para un espacio de Hilbert complejo, es fácil verificar mediante la identidad de polarización que la convergencia del operador fuerte implica la convergencia del operador débil.

• Semigrupo fuertemente continuo
• Topologías sobre el conjunto de operadores en un espacio de Hilbert

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .
• Pedersen, Gert (1989). Análisis ahora . Saltador. ISBN 0-387-96788-5.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .