Topología de operador débil

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En el análisis funcional , la topología del operador débil , a menudo abreviada WOT , ^[1] es la topología más débil en el conjunto de operadores acotados en un espacio de Hilbert , de modo que el funcional que envía un operador al número complejo es continuo para cualquier vector y en el espacio de Hilbert.${\displaystyle H}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \langle Tx,y\rangle }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Explícitamente, para un operador existe una base de vecindades del siguiente tipo: elija un número finito de vectores , funcionales continuos y constantes reales positivas indexadas por el mismo conjunto finito . Un operador se encuentra en la vecindad si y solo si para todo .${\displaystyle T}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle \varepsilon _{i}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle S}$${\displaystyle |y_{i}(T(x_{i})-S(x_{i}))|<\varepsilon _{i}}$${\displaystyle i\in I}$

De manera equivalente, una red de operadores acotados converge a en WOT si para todos y , la red converge a .${\displaystyle T_{i}\subseteq B(H)}$${\displaystyle T\in B(H)}$${\displaystyle y\in H^{*}}$${\displaystyle x\in H}$${\displaystyle y(T_{i}x)}$${\displaystyle y(Tx)}$

La WOT es la más débil entre todas las topologías comunes en${\displaystyle B(H)}$ los operadores acotados en un espacio de Hilbert .${\displaystyle H}$

La topología de operador fuerte , o SOT, en es la topología de convergencia puntual. Debido a que el producto interno es una función continua, la SOT es más fuerte que la WOT. El siguiente ejemplo muestra que esta inclusión es estricta. Sea y considere la secuencia de desplazamientos a la derecha. Una aplicación de Cauchy-Schwarz muestra que en WOT. Pero claramente no converge a en SOT.${\displaystyle B(H)}$${\displaystyle H=\ell ^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle \{T^{n}\}}$${\displaystyle T^{n}\to 0}$${\displaystyle T^{n}}$${\displaystyle 0}$

Los funcionales lineales del conjunto de operadores acotados de un espacio de Hilbert que son continuos en la topología de operadores fuerte son precisamente aquellos que son continuos en la topología de operadores fuerte (en realidad, la topología de operadores fuerte es la topología de operadores más débil que deja continuos a todos los funcionales lineales fuertemente continuos del conjunto de operadores acotados del espacio de Hilbert H ). Debido a este hecho, el cierre de un conjunto convexo de operadores en la topología de operadores fuerte es el mismo que el cierre de ese conjunto en la topología de operadores fuerte.${\displaystyle B(H)}$

De la identidad de polarización se deduce que una red converge en SOT si y sólo si en WOT.${\displaystyle \{T_{\alpha }\}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle T_{\alpha }^{*}T_{\alpha }\to 0}$

El predual de B ( H ) es el operador de clase de traza C ₁ ( H ), y genera la topología w* en  B ( H ), llamada topología de operador de estrella débil o topología σ-débil. Las topologías de operador débil y σ-débil concuerdan en conjuntos acotados por normas en  B ( H ).

Una red { T _α } ⊂ B ( H ) converge a T en WOT si y solo Tr( T _α F ) converge a Tr( TF ) para todo operador de rango finito F . Dado que todo operador de rango finito es de clase traza, esto implica que WOT es más débil que la topología σ-débil. Para ver por qué la afirmación es verdadera, recuerde que todo operador de rango finito F es una suma finita

${\displaystyle F=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}u_{i}v_{i}^{*}.}$

Entonces { T _α } converge a T en WOT significa

${\displaystyle {\text{Tr}}\left(T_{\alpha }F\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(T_{\alpha }u_{i}\right)\longrightarrow \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(Tu_{i}\right)={\text{Tr}}(TF).}$

Extendiendo ligeramente, se puede decir que las topologías de operador débil y σ-débil concuerdan en conjuntos acotados por normas en B ( H ): Cada operador de clase traza tiene la forma

${\displaystyle S=\sum _{i}\lambda _{i}u_{i}v_{i}^{*},}$

donde converge la serie . Supongamos que y en WOT. Para cada clase de traza S ,${\displaystyle \sum \nolimits _{i}\lambda _{i}}$${\displaystyle \sup \nolimits _{\alpha }\|T_{\alpha }\|=k<\infty ,}$${\displaystyle T_{\alpha }\to T}$

${\displaystyle {\text{Tr}}\left(T_{\alpha }S\right)=\sum _{i}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(T_{\alpha }u_{i}\right)\longrightarrow \sum _{i}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(Tu_{i}\right)={\text{Tr}}(TS),}$

invocando, por ejemplo, el teorema de convergencia dominada .

Por lo tanto, todo conjunto acotado por normas es compacto en WOT, por el teorema de Banach-Alaoglu .

La operación adjunta T → T* , como consecuencia inmediata de su definición, es continua en WOT.

La multiplicación no es conjuntamente continua en WOT: nuevamente sea el desplazamiento unilateral. Apelando a Cauchy-Schwarz, se tiene que tanto T ⁿ como T* ⁿ convergen a 0 en WOT. Pero T* ⁿ T ⁿ es el operador identidad para todo . (Debido a que WOT coincide con la topología σ-débil en conjuntos acotados, la multiplicación no es conjuntamente continua en la topología σ-débil).${\displaystyle T}$${\displaystyle n}$

Sin embargo, se puede hacer una afirmación más débil: la multiplicación es continua por separado en WOT. Si una red T _i → T en WOT, entonces ST _i → ST y T _i S → TS en WOT.

Podemos extender las definiciones de SOT y WOT al contexto más general donde X e Y son espacios normados y es el espacio de operadores lineales acotados de la forma . En este caso, cada par y define una seminorma en a través de la regla . La familia resultante de seminormas genera la topología de operador débil en . De manera equivalente, la WOT en se forma tomando como vecindades abiertas básicas aquellos conjuntos de la forma${\displaystyle B(X,Y)}$${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y^{*}\in Y^{*}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{x,y^{*}}}$${\displaystyle B(X,Y)}$${\displaystyle \|T\|_{x,y^{*}}=|y^{*}(Tx)|}$${\displaystyle B(X,Y)}$${\displaystyle B(X,Y)}$

${\displaystyle N(T,F,\Lambda ,\epsilon ):=\left\{S\in B(X,Y):\left|y^{*}((S-T)x)\right|<\epsilon ,x\in F,y^{*}\in \Lambda \right\},}$

donde es un conjunto finito, es también un conjunto finito, y . El espacio es un espacio vectorial topológico localmente convexo cuando se le dota de la WOT.${\displaystyle T\in B(X,Y),F\subseteq X}$${\displaystyle \Lambda \subseteq Y^{*}}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle B(X,Y)}$

La topología del operador fuerte en se genera mediante la familia de seminormas a través de las reglas . Por lo tanto, una base topológica para el SOT está dada por vecindades abiertas de la forma${\displaystyle B(X,Y)}$${\displaystyle \|\cdot \|_{x},x\in X,}$${\displaystyle \|T\|_{x}=\|Tx\|}$

${\displaystyle N(T,F,\epsilon ):=\{S\in B(X,Y):\|(S-T)x\|<\epsilon ,x\in F\},}$

donde como antes es un conjunto finito, y${\displaystyle T\in B(X,Y),F\subseteq X}$${\displaystyle \epsilon >0.}$

La diferente terminología para las diversas topologías en a veces puede ser confusa. Por ejemplo, "convergencia fuerte" para vectores en un espacio normado a veces se refiere a convergencia normativa, que muy a menudo es distinta de (y más fuerte que) la convergencia SOT cuando el espacio normado en cuestión es . La topología débil en un espacio normado es la topología más burda que hace que los funcionales lineales en continuos; cuando tomamos en lugar de , la topología débil puede ser muy diferente de la topología de operador débil. Y mientras que la WOT es formalmente más débil que la SOT, la SOT es más débil que la topología de norma de operador.${\displaystyle B(X,Y)}$${\displaystyle B(X,Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle B(X,Y)}$${\displaystyle X}$

En general, se cumplen las siguientes inclusiones:

${\displaystyle \{{\text{WOT-open sets in }}B(X,Y)\}\subseteq \{{\text{SOT-open sets in }}B(X,Y)\}\subseteq \{{\text{operator-norm-open sets in }}B(X,Y)\},}$

y estas inclusiones pueden o no ser estrictas dependiendo de las elecciones de y .${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

La WOT es una topología formalmente más débil que la SOT, pero sin embargo comparten algunas propiedades importantes. Por ejemplo,${\displaystyle B(X,Y)}$

${\displaystyle (B(X,Y),{\text{SOT}})^{*}=(B(X,Y),{\text{WOT}})^{*}.}$

En consecuencia, si es convexo entonces${\displaystyle S\subseteq B(X,Y)}$

${\displaystyle {\overline {S}}^{\text{SOT}}={\overline {S}}^{\text{WOT}},}$

en otras palabras, el cierre SOT y el cierre WOT coinciden para conjuntos convexos.

• Topologías sobre el conjunto de operadores en un espacio de Hilbert
• Topología débil  – Término matemático
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