Sistema invariante en el tiempo

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En teoría de control , un sistema invariante en el tiempo ( TI ) tiene una función del sistema dependiente del tiempo que no es una función directa del tiempo. Tales sistemas se consideran una clase de sistemas en el campo del análisis de sistemas . La función del sistema dependiente del tiempo es una función de la función de entrada dependiente del tiempo . Si esta función depende solo indirectamente del dominio del tiempo (a través de la función de entrada, por ejemplo), entonces ese es un sistema que se consideraría invariante en el tiempo. Por el contrario, cualquier dependencia directa del dominio del tiempo de la función del sistema podría considerarse como un "sistema variable en el tiempo".

Matemáticamente hablando, la "invariancia temporal" de un sistema es la siguiente propiedad: ^{[4] : p. 50}

Dado un sistema con una función de salida dependiente del tiempo ⁠ ⁠${\displaystyle y(t)}$ , y una función de entrada dependiente del tiempo ⁠ ⁠${\estilo de visualización x(t)}$ , el sistema se considerará invariante en el tiempo si un retardo de tiempo en la entrada ⁠ ⁠${\displaystyle x(t+\delta )}$ equivale directamente a un retardo de tiempo de la función de salida ⁠ ⁠ . Por ejemplo, si el tiempo ${\displaystyle y(t+\delta )}$⁠ ⁠${\displaystyle t}$ es "tiempo transcurrido", entonces "invariancia en el tiempo" implica que la relación entre la función de entrada ⁠ ⁠${\displaystyle x(t)}$ y la función de salida ⁠ ⁠${\displaystyle y(t)}$ es constante con respecto al tiempo ⁠ ⁠${\displaystyle t:}$

${\displaystyle y(t)=f(x(t),t)=f(x(t)).}$

En el lenguaje del procesamiento de señales , esta propiedad puede satisfacerse si la función de transferencia del sistema no es una función directa del tiempo, excepto según lo expresado por la entrada y la salida.

En el contexto de un esquema de sistema, esta propiedad también se puede expresar de la siguiente manera, como se muestra en la figura de la derecha:

Si un sistema es invariante en el tiempo, entonces el bloque del sistema conmuta con un retraso arbitrario.

Si un sistema invariante en el tiempo es también lineal , es objeto de la teoría lineal invariante en el tiempo (lineal invariante en el tiempo) con aplicaciones directas en espectroscopia de RMN , sismología , circuitos , procesamiento de señales , teoría de control y otras áreas técnicas. Los sistemas no lineales invariantes en el tiempo carecen de una teoría integral que los rija. Los sistemas discretos invariantes en el tiempo se conocen como sistemas invariantes por desplazamiento . Los sistemas que carecen de la propiedad invariante en el tiempo se estudian como sistemas variantes en el tiempo .

Para demostrar cómo determinar si un sistema es invariante en el tiempo, considere los dos sistemas:

• Sistema A:${\displaystyle y(t)=tx(t)}$
• Sistema B:${\displaystyle y(t)=10x(t)}$

Dado que la función del sistema para el sistema A depende explícitamente de t fuera de , no es invariante en el tiempo porque la dependencia del tiempo no es explícitamente una función de la función de entrada.${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle x(t)}$

Por el contrario, la dependencia temporal del sistema B es solo una función de la entrada variable en el tiempo . Esto hace que el sistema B sea invariante en el tiempo .${\displaystyle x(t)}$

El ejemplo formal a continuación muestra con más detalle que, mientras que el Sistema B es un Sistema Invariante al Desplazamiento en función del tiempo, t , el Sistema A no lo es.

A continuación se presenta una prueba más formal de por qué los sistemas A y B anteriores difieren. Para realizar esta prueba se utilizará la segunda definición.

Sistema A: Iniciar con un retraso de la entrada${\displaystyle x_{d}(t)=x(t+\delta )}$

${\displaystyle y(t)=tx(t)}$

${\displaystyle y_{1}(t)=tx_{d}(t)=tx(t+\delta )}$

Ahora retrasa la salida por${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle y(t)=tx(t)}$

${\displaystyle y_{2}(t)=y(t+\delta )=(t+\delta )x(t+\delta )}$

Está claro , por tanto, que el sistema no es invariante en el tiempo.${\displaystyle y_{1}(t)\neq y_{2}(t)}$

Sistema B: Iniciar con un retraso de la entrada${\displaystyle x_{d}(t)=x(t+\delta )}$

${\displaystyle y(t)=10x(t)}$

${\displaystyle y_{1}(t)=10x_{d}(t)=10x(t+\delta )}$

Ahora retrasa la salida por${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle y(t)=10x(t)}$

${\displaystyle y_{2}(t)=y(t+\delta )=10x(t+\delta )}$

Está claro , por tanto, que el sistema es invariante en el tiempo.${\displaystyle y_{1}(t)=y_{2}(t)}$

De manera más general, la relación entre la entrada y la salida es

${\displaystyle y(t)=f(x(t),t),}$

y su variación con el tiempo es

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}.}$

Para los sistemas invariantes en el tiempo, las propiedades del sistema permanecen constantes con el tiempo,

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=0.}$

Aplicado a los sistemas A y B anteriores:

${\displaystyle f_{A}=tx(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{A}}{\partial t}}=x(t)\neq 0}$En general, por lo que no es invariante en el tiempo,

${\displaystyle f_{B}=10x(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{B}}{\partial t}}=0}$Por lo tanto, es invariante en el tiempo.

Podemos denotar el operador de desplazamiento por donde es la cantidad en la que se debe desplazar el conjunto de índices de un vector . Por ejemplo, el sistema de "avance en 1"${\displaystyle \mathbb {T} _{r}}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle x(t+1)=\delta (t+1)*x(t)}$

se puede representar en esta notación abstracta por

${\displaystyle {\tilde {x}}_{1}=\mathbb {T} _{1}{\tilde {x}}}$

donde es una función dada por${\displaystyle {\tilde {x}}}$

${\displaystyle {\tilde {x}}=x(t)\forall t\in \mathbb {R} }$

con el sistema produciendo la salida desplazada

${\displaystyle {\tilde {x}}_{1}=x(t+1)\forall t\in \mathbb {R} }$

Entonces es un operador que avanza el vector de entrada en 1.${\displaystyle \mathbb {T} _{1}}$

Supongamos que representamos un sistema mediante un operador . Este sistema es invariante en el tiempo si conmuta con el operador de desplazamiento, es decir,${\displaystyle \mathbb {H} }$

${\displaystyle \mathbb {T} _{r}\mathbb {H} =\mathbb {H} \mathbb {T} _{r}\forall r}$

Si nuestra ecuación del sistema está dada por

${\displaystyle {\tilde {y}}=\mathbb {H} {\tilde {x}}}$

entonces es invariante en el tiempo si podemos aplicar el operador de sistema on seguido del operador de desplazamiento , o podemos aplicar el operador de desplazamiento seguido del operador de sistema , con los dos cálculos produciendo resultados equivalentes.${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle {\tilde {x}}}$${\displaystyle \mathbb {T} _{r}}$${\displaystyle \mathbb {T} _{r}}$${\displaystyle \mathbb {H} }$

Al aplicar primero el operador del sistema se obtiene:

${\displaystyle \mathbb {T} _{r}\mathbb {H} {\tilde {x}}=\mathbb {T} _{r}{\tilde {y}}={\tilde {y}}_{r}}$

Al aplicar primero el operador shift se obtiene

${\displaystyle \mathbb {H} \mathbb {T} _{r}{\tilde {x}}=\mathbb {H} {\tilde {x}}_{r}}$

Si el sistema es invariante en el tiempo, entonces

${\displaystyle \mathbb {H} {\tilde {x}}_{r}={\tilde {y}}_{r}}$

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