Sistema lineal

Sistema físico que satisface el principio de superposición

En teoría de sistemas , un sistema lineal es un modelo matemático de un sistema basado en el uso de un operador lineal . Los sistemas lineales suelen presentar características y propiedades mucho más simples que el caso no lineal . Como abstracción o idealización matemática, los sistemas lineales encuentran aplicaciones importantes en la teoría del control automático , el procesamiento de señales y las telecomunicaciones . Por ejemplo, el medio de propagación de los sistemas de comunicación inalámbrica a menudo se puede modelar mediante sistemas lineales.

Definición

{\displaystyle y_{3}(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t)} — Diagrama de bloques que ilustra la propiedad de aditividad para un sistema SISO de tiempo continuo determinista. El sistema satisface la propiedad de aditividad o es aditivo si y solo si para todo el tiempo y para todas las entradas y . Haga clic en la imagen para ampliarla. $y_{3}(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t)$ ${\estilo de visualización t}$ $Estilo de visualización x_{1}(t)}$ $Estilo de visualización x_{2}(t)}$

{\displaystyle y_{2}(t)=a\,y_{1}(t)} — Diagrama de bloques que ilustra la propiedad de homogeneidad para un sistema SISO determinista de tiempo continuo. El sistema satisface la propiedad de homogeneidad o es homogéneo si y solo si para todo tiempo , para toda constante real y para toda entrada . Haga clic en la imagen para ampliarla. $y_{2}(t)=a\,y_{1}(t)$ ${\estilo de visualización t}$ ${\estilo de visualización a}$ $Estilo de visualización x_{1}(t)}$

{\displaystyle y_{3}(t)=a_{1}\,y_{1}(t)+a_{2}\,y_{2}(t)} — Diagrama de bloques que ilustra el principio de superposición para un sistema SISO determinista de tiempo continuo. El sistema satisface el principio de superposición y, por lo tanto, es lineal si y solo si para todo tiempo , para todas las constantes reales y y para todas las entradas y . Haga clic en la imagen para ampliarla. $y_{3}(t)=a_{1}\,y_{1}(t)+a_{2}\,y_{2}(t)$ ${\estilo de visualización t}$ $estilo de visualización a_{1}$ $estilo de visualización a_{2}$ $Estilo de visualización x_{1}(t)}$ $Estilo de visualización x_{2}(t)}$

Un sistema determinista general puede describirse mediante un operador, $H$ , que asigna una entrada, $x (t)$ , como función de $t$ a una salida, $y (t)$ , un tipo de descripción de caja negra .

Un sistema es lineal si y sólo si satisface el principio de superposición , o equivalentemente las propiedades de aditividad y homogeneidad, sin restricciones (es decir, para todas las entradas, todas las constantes de escala y todo el tiempo). ^[1]^[2]^[3]^[4]

El principio de superposición significa que una combinación lineal de entradas al sistema produce una combinación lineal de las salidas individuales de estado cero (es decir, salidas que establecen las condiciones iniciales en cero) correspondientes a las entradas individuales. ^[5]^[6]

En un sistema que satisface la propiedad de homogeneidad, escalar la entrada siempre da como resultado escalar la respuesta de estado cero por el mismo factor. ^[6] En un sistema que satisface la propiedad de aditividad, sumar dos entradas siempre da como resultado sumar las dos respuestas de estado cero correspondientes debido a las entradas individuales. ^[6]

Matemáticamente, para un sistema de tiempo continuo, dadas dos entradas arbitrarias así como sus respectivas salidas de estado cero , entonces un sistema lineal debe satisfacer para cualquier valor escalar $α$ y $β$ , para cualquier señal de entrada $x$ $1$ $($ $t$ $)$ y $x$ $2$ $($ $t$ $)$ , y para todo tiempo $t$ . ${\begin{alineado}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{alineado}}$ ${\begin{aligned}y_{1}(t)&=H\left\{x_{1}(t)\right\}\\y_{2}(t)&=H\left\{x_{2}(t)\right\}\end{aligned}}$ $\alpha y_{1}(t)+\beta y_{2}(t)=H\left\{\alpha x_{1}(t)+\beta x_{2}(t)\right\}$

El sistema se define entonces mediante la ecuación $H (x (t)) = y (t)$ , donde $y (t)$ es una función arbitraria del tiempo y $x (t)$ es el estado del sistema. Dados $y (t)$ y $H$ , el sistema se puede resolver para $x (t)$ .

El comportamiento del sistema resultante sometido a una entrada compleja puede describirse como una suma de respuestas a entradas más simples. En sistemas no lineales, no existe tal relación. Esta propiedad matemática hace que la solución de ecuaciones de modelado sea más sencilla que en muchos sistemas no lineales. Para sistemas invariantes en el tiempo, esta es la base de los métodos de respuesta al impulso o de respuesta en frecuencia (véase teoría de sistemas LTI ), que describen una función de entrada general $x (t)$ en términos de impulsos unitarios o componentes de frecuencia .

Las ecuaciones diferenciales típicas de sistemas lineales invariantes en el tiempo se adaptan bien al análisis utilizando la transformada de Laplace en el caso continuo y la transformada Z en el caso discreto (especialmente en implementaciones informáticas).

Otra perspectiva es que las soluciones de los sistemas lineales comprenden un sistema de funciones que actúan como vectores en el sentido geométrico.

Un uso común de los modelos lineales es describir un sistema no lineal mediante linealización . Esto se hace generalmente por conveniencia matemática.

La definición anterior de un sistema lineal es aplicable a los sistemas SISO (una sola entrada, una sola salida). Para los sistemas MIMO (múltiples entradas, múltiples salidas), se consideran los vectores de señales de entrada y salida ( , , , ) en lugar de las señales de entrada y salida ( , , , .) ^[2]^[4] ${\mathbf {x}}_{1}(t)$ ${\mathbf {x}}_{2}(t)$ ${\mathbf {y}}_{1}(t)$ ${\mathbf {y}}_{2}(t)$ $Estilo de visualización x_{1}(t)}$ $Estilo de visualización x_{2}(t)}$ $Estilo de visualización y_{1}(t)}$ $Estilo de visualización y_{2}(t)$

Esta definición de un sistema lineal es análoga a la definición de una ecuación diferencial lineal en cálculo y una transformación lineal en álgebra lineal .

Ejemplos

Un oscilador armónico simple obedece la ecuación diferencial: $m{\frac {d^{2}(x)}{dt^{2}}}=-kx.$

Si entonces $H$ es un operador lineal, siendo $y$ $($ $t$ $) = 0$ , podemos reescribir la ecuación diferencial como $H$ $($ $x$ $($ $t$ $)) =$ $y$ $($ $t$ $)$ , lo que demuestra que un oscilador armónico simple es un sistema lineal. $H(x(t))=m{\frac {d^{2}(x(t))}{dt^{2}}}+kx(t),$

Otros ejemplos de sistemas lineales incluyen aquellos descritos por , , , y cualquier sistema descrito por ecuaciones diferenciales lineales ordinarias. ^[4] Los sistemas descritos por , , , , , , y un sistema con salida de simetría impar que consiste en una región lineal y una región de saturación (constante), son no lineales porque no siempre satisfacen el principio de superposición. ^[7]^[8]^[9]^[10] $y(t)=k\,x(t)$ $y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}$ $y(t)=k\,\int _{-\infty }^{t}x(\tau )\mathrm {d} \tau$ $y(t)=k$ $y(t)=k\,x(t)+k_{0}$ $y(t)=\sin {[x(t)]}$ $y(t)=\cos {[x(t)]}$ $y(t)=x^{2}(t)$ ${\textstyle y(t)={\sqrt {x(t)}}}$ $y(t)=|x(t)|$

El gráfico de salida versus entrada de un sistema lineal no necesita ser una línea recta que pase por el origen. Por ejemplo, considere un sistema descrito por (como un capacitor de capacitancia constante o un inductor de inductancia constante ). Es lineal porque satisface el principio de superposición. Sin embargo, cuando la entrada es una sinusoide, la salida también es una sinusoide y, por lo tanto, su gráfico de salida-entrada es una elipse centrada en el origen en lugar de una línea recta que pase por el origen. $y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}$

Además, la salida de un sistema lineal puede contener armónicos (y tener una frecuencia fundamental menor que la entrada) incluso cuando la entrada es una senoide. Por ejemplo, considere un sistema descrito por . Es lineal porque satisface el principio de superposición. Sin embargo, cuando la entrada es una senoide de la forma , utilizando identidades trigonométricas producto-suma se puede demostrar fácilmente que la salida es , es decir, la salida no consiste solo en senosides de la misma frecuencia que la entrada ( 3 rad/s ), sino también en senosides de frecuencias 2 rad/s y 4 rad/s ; además, tomando el mínimo común múltiplo del periodo fundamental de los senosides de la salida, se puede demostrar que la frecuencia angular fundamental de la salida es 1 rad/s , que es diferente a la de la entrada. $y(t)=(1.5+\cos {(t)})\,x(t)$ $x(t)=\cos {(3t)}$ $y(t)=1.5\cos {(3t)}+0.5\cos {(2t)}+0.5\cos {(4t)}$

Respuesta al impulso variable en el tiempo

La respuesta al impulso variable en el tiempo $h (t 2, t 1)$ de un sistema lineal se define como la respuesta del sistema en el tiempo t = t ₂ a un único impulso aplicado en el tiempo $t = t 1$ . En otras palabras, si la entrada $x (t)$ a un sistema lineal es donde $δ($ $t$ $)$ representa la función delta de Dirac , y la respuesta correspondiente $y$ $($ $t$ $)$ del sistema es entonces la función $h$ $($ $t$ $2$ $,$ $t$ $1$ $)$ es la respuesta al impulso variable en el tiempo del sistema. Dado que el sistema no puede responder antes de que se aplique la entrada, se debe cumplir la siguiente condición de causalidad : $x(t)=\delta (t-t_{1})$ $y(t=t_{2})=h(t_{2},t_{1})$ $h(t_{2},t_{1})=0,t_{2}<t_{1}$

La integral de convolución

La salida de cualquier sistema lineal general de tiempo continuo está relacionada con la entrada mediante una integral que puede escribirse en un rango doblemente infinito debido a la condición de causalidad: $y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t,t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t,t')x(t')dt'$

Si las propiedades del sistema no dependen del tiempo en el que se opera, entonces se dice que es invariante en el tiempo y $h$ es una función únicamente de la diferencia de tiempo $τ = t - t'$ que es cero para $τ < 0$ (es decir, $t < t'$ ). Por redefinición de $h$ es posible escribir la relación entrada-salida de forma equivalente de cualquiera de las formas, $y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t-t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t-t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau =\int _{0}^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau$

Los sistemas lineales invariantes en el tiempo se caracterizan más comúnmente por la transformada de Laplace de la función de respuesta al impulso llamada función de transferencia, que es: $H(s)=\int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,dt.$

En las aplicaciones, esta suele ser una función algebraica racional de $s$ . Como $h (t)$ es cero para $t$ negativo , la integral puede escribirse igualmente sobre el rango doblemente infinito y, al poner $s = iω,$ se obtiene la fórmula para la función de respuesta de frecuencia : $H(i\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-i\omega t}dt$

Sistemas de tiempo discreto

La salida de cualquier sistema lineal de tiempo discreto está relacionada con la entrada mediante la suma de convolución variable en el tiempo: o equivalentemente para un sistema invariante en el tiempo al redefinir $h$ , donde representa el tiempo de retraso entre el estímulo en el tiempo m y la respuesta en el tiempo n . $y[n]=\sum _{m=-\infty }^{n}{h[n,m]x[m]}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }{h[n,m]x[m]}$ $y[n]=\sum _{k=0}^{\infty }{h[k]x[n-k]}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[k]x[n-k]}$ $k=n-m$

Véase también

Referencias

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