Banda Tian
Matemático chino (nacido en 1958)
Banda Tian
Tian en Oberwolfach en 2005
Nacido( 24 de noviembre de 1958 )24 de noviembre de 1958 (65 años)
Nanjing , Jiangsu , China
NacionalidadChino
Alma máterUniversidad de Nanjing ( licenciatura )
Universidad de Pekín ( maestría )
Universidad de Harvard ( doctorado )
Conocido porConjetura de Yau-Tian-Donaldson
K-estabilidad
K-estabilidad de las variedades de Fano
PremiosPremio Veblen (1996)
Premio Alan T. Waterman (1994)
Carrera científica
CamposMatemáticas
InstitucionesUniversidad de Princeton
Universidad de Pekín
TesisMétricas de Kähler sobre variedades algebraicas  (1988)
Asesor de doctoradoShing-Tung Yau
Estudiantes de doctoradoAaron Naber
Nataša Šešum
Wei Dongyi
Nombre chino
Chino tradicional田剛
Chino simplificado田刚
Transcripciones
Mandarín estándar
Pinyin HanyuTian Gang

Tian Gang ( chino :田刚; nacido el 24 de noviembre de 1958) [1] es un matemático chino. Es profesor de matemáticas en la Universidad de Pekín y profesor emérito Higgins en la Universidad de Princeton . Es conocido por sus contribuciones a los campos matemáticos de la geometría de Kähler , la teoría de Gromov-Witten y el análisis geométrico .

A partir de 2020, es vicepresidente de la Liga Democrática de China y presidente de la Sociedad Matemática de China . De 2017 a 2019 se desempeñó como vicepresidente de la Universidad de Pekín .

Biografía

Tian nació en Nanjing , Jiangsu , China. Se graduó en el segundo examen de ingreso a la universidad después de la Revolución Cultural en 1978. Se graduó de la Universidad de Nanjing en 1982 y recibió una maestría de la Universidad de Pekín en 1984. En 1988, recibió un doctorado en matemáticas de la Universidad de Harvard , bajo la supervisión de Shing-Tung Yau .

En 1998, fue nombrado profesor Cheung Kong Scholar en la Universidad de Pekín. Más tarde, su nombramiento se cambió a la cátedra de profesor Cheung Kong Scholar. Fue profesor de matemáticas en el Instituto Tecnológico de Massachusetts de 1995 a 2006 (ocupó la cátedra de Profesor Simons de Matemáticas desde 1996). Su empleo en Princeton comenzó en 2003, y más tarde fue nombrado Profesor Higgins de Matemáticas. A partir de 2005, ha sido director del Centro Internacional de Investigación Matemática de Pekín (BICMR); [2] de 2013 a 2017 fue Decano de la Facultad de Ciencias Matemáticas de la Universidad de Pekín. [3] Él y John Milnor son académicos superiores del Instituto de Matemáticas Clay (CMI). En 2011, Tian se convirtió en director del Programa de Investigación Sino-Francés en Matemáticas en el Centro Nacional de Investigación Científica (CNRS) en París . En 2010, se convirtió en consultor científico del Centro Internacional de Física Teórica en Trieste , Italia. [4]

Tian ha formado parte de numerosos comités, incluidos los del Premio Abel y el Premio Leroy P. Steele . [5] Es miembro de los consejos editoriales de muchas revistas, incluidas Advances in Mathematics y Journal of Geometric Analysis. En el pasado, ha formado parte de los consejos editoriales de Annals of Mathematics y Journal of the American Mathematical Society .

Entre sus premios y honores:

Desde al menos 2013 ha estado muy involucrado en la política china, desempeñándose como vicepresidente de la Liga Democrática de China , el segundo partido político más poblado de China .

Contribuciones matemáticas

El problema de Kähler-Einstein

Tian es conocido por sus contribuciones a la geometría de Kähler y, en particular, al estudio de las métricas de Kähler-Einstein . Shing-Tung Yau , en su famosa resolución de la conjetura de Calabi , había resuelto el caso de las variedades de Kähler cerradas con primera clase de Chern no positiva. Su trabajo en la aplicación del método de continuidad mostró que el control C 0 de los potenciales de Kähler sería suficiente para demostrar la existencia de métricas de Kähler-Einstein en variedades de Kähler cerradas con primera clase de Chern positiva , también conocidas como "variedades de Fano". Tian y Yau extendieron el análisis de Yau de la conjetura de Calabi a entornos no compactos, donde obtuvieron resultados parciales. [TY90] También extendieron su trabajo para permitir singularidades orbifold. [TY91]

Tian introdujo el " invariante α ", que es esencialmente la constante óptima en la desigualdad de Moser-Trudinger cuando se aplica a potenciales de Kähler con un valor supremo de 0. Demostró que si el invariante α es suficientemente grande (es decir, si se cumple una desigualdad de Moser-Trudinger suficientemente fuerte), entonces se podría lograr el control de C 0 en el método de continuidad de Yau. [T87b] Esto se aplicó para demostrar nuevos ejemplos de superficies de Kähler-Einstein. El caso de las superficies de Kähler fue revisado por Tian en 1990, dando una resolución completa del problema de Kähler-Einstein en ese contexto. [T90b] La técnica principal fue estudiar las posibles degeneraciones geométricas de una secuencia de métricas de Kähler-Einstein, detectables por la convergencia de Gromov-Hausdorff . Tian adaptó muchas de las innovaciones técnicas de Karen Uhlenbeck , desarrolladas para las conexiones de Yang-Mills, al contexto de las métricas de Kähler. En 1989 y 1990, Michael Anderson , Shigetoshi Bando, Atsushi Kasue e Hiraku Nakajima realizaron trabajos similares e influyentes en el contexto de Riemann . [6] [7] [8]

La contribución más reconocida de Tian al problema de Kähler-Einstein se produjo en 1997. Yau había conjeturado en la década de 1980, basándose en parte en la analogía con el teorema de Donaldson-Uhlenbeck-Yau , que la existencia de una métrica de Kähler-Einstein debería corresponder a la estabilidad de la variedad de Kähler subyacente en un cierto sentido de teoría de invariantes geométricos . Se entendió generalmente, especialmente después del trabajo de Akito Futaki, [9] que la existencia de campos vectoriales holomorfos debería actuar como una obstrucción a la existencia de métricas de Kähler-Einstein. Tian y Wei Yue Ding establecieron que esta obstrucción no es suficiente dentro de la clase de orbifolds de Kähler . [DT92] Tian, ​​en su artículo de 1997, dio ejemplos concretos de variedades de Kähler (en lugar de orbifolds) que no tenían campos vectoriales holomorfos ni tampoco métricas de Kähler-Einstein, mostrando que el criterio deseado se encuentra más profundamente. [T97] Yau había propuesto que, en lugar de campos vectoriales holomorfos en la variedad misma, debería ser relevante estudiar las deformaciones de incrustaciones proyectivas de variedades de Kähler bajo campos vectoriales holomorfos en el espacio proyectivo. Esta idea fue modificada por Tian, ​​introduciendo la noción de K-estabilidad y mostrando que cualquier variedad de Kähler-Einstein debe ser K-estable . [T97]

En 2002, Simon Donaldson modificó y amplió la definición de Tian de K-estabilidad. [10] La conjetura de que la K-estabilidad sería suficiente para asegurar la existencia de una métrica de Kähler-Einstein se conoció como la conjetura de Yau-Tian-Donaldson . En 2015, Xiuxiong Chen , Donaldson y Song Sun publicaron una prueba de la conjetura, recibiendo el Premio Oswald Veblen en Geometría por su trabajo. [11] [12] [13] Tian publicó una prueba de la conjetura en el mismo año, aunque Chen, Donaldson y Sun han acusado a Tian de mala conducta académica y matemática por su artículo. [T15] [14] [15]

Geometría de Kähler

En uno de sus primeros artículos, Tian estudió el espacio de métricas de Calabi-Yau en una variedad de Kähler. [T87a] Demostró que cualquier deformación infinitesimal de la estructura de Calabi-Yau puede ser "integrada" a una familia de un parámetro de métricas de Calabi-Yau; esto prueba que el "espacio de módulos" de las métricas de Calabi-Yau en la variedad dada tiene la estructura de una variedad suave. Esto también fue estudiado anteriormente por Andrey Todorov, y el resultado se conoce como el teorema de Tian-Todorov. [16] Como aplicación, Tian encontró una fórmula para la métrica de Weil-Petersson en el espacio de módulos de las métricas de Calabi-Yau en términos de la función de período . [T87a] [17]

Motivado por el problema de Kähler-Einstein y una conjetura de Yau relacionada con las métricas de Bergman , Tian estudió el siguiente problema. Sea L un fibrado lineal sobre una variedad de Kähler M y fijemos una métrica de fibrado hermítica cuya forma de curvatura sea una forma de Kähler sobre M. Supóngase que para m suficientemente grande , un conjunto ortonormal de secciones holomorfas del fibrado lineal L ⊗ m define una incrustación proyectiva de M. Se puede retirar la métrica del Estudio de Fubini para definir una secuencia de métricas sobre M a medida que m aumenta. Tian demostró que un cierto reescalamiento de esta secuencia convergerá necesariamente en la topología C 2 a la métrica original de Kähler. [T90a] Las asintóticas refinadas de esta secuencia fueron retomadas en varios artículos posteriores influyentes de otros autores, y son particularmente importantes en el programa de Simon Donaldson sobre métricas extremales. [18] [19] [20] [21] [22] La aproximabilidad de una métrica de Kähler mediante métricas de Kähler inducidas a partir de incrustaciones proyectivas también es relevante para la descripción de Yau de la conjetura de Yau-Tian-Donaldson, como se indicó anteriormente.

En un artículo altamente técnico, Xiuxiong Chen y Tian estudiaron la teoría de regularidad de ciertas ecuaciones complejas de Monge-Ampère , con aplicaciones al estudio de la geometría de métricas extremas de Kähler. [CT08] Aunque su artículo ha sido ampliamente citado, Julius Ross y David Witt Nyström encontraron contraejemplos a los resultados de regularidad de Chen y Tian en 2015. [23] No está claro qué resultados del artículo de Chen y Tian siguen siendo válidos.

Teoría de Gromov-Witten

Las curvas pseudoholomórficas fueron demostradas por Mikhail Gromov en 1985 como herramientas poderosas en geometría simpléctica . [24] En 1991, Edward Witten conjeturó un uso de la teoría de Gromov para definir invariantes enumerativos . [25] Tian y Yongbin Ruan encontraron los detalles de tal construcción, probando que las diversas intersecciones de las imágenes de curvas pseudoholomórficas son independientes de muchas elecciones, y en particular da una aplicación multilineal asociativa en la homología de ciertas variedades simplécticas. [RT95] Esta estructura se conoce como cohomología cuántica ; un enfoque contemporáneo e igualmente influyente se debe a Dusa McDuff y Dietmar Salamon . [26] Los resultados de Ruan y Tian están en un contexto algo más general.

Junto con Jun Li , Tian realizó una adaptación puramente algebraica de estos resultados al contexto de las variedades algebraicas . [LT98b] Esto se hizo al mismo tiempo que Kai Behrend y Barbara Fantechi , utilizando un enfoque diferente. [27]

Li y Tian adaptaron luego su trabajo algebro-geométrico al contexto analítico en variedades simplécticas, extendiendo el trabajo anterior de Ruan y Tian. [LT98a] Tian y Gang Liu hicieron uso de este trabajo para demostrar la conocida conjetura de Arnold sobre el número de puntos fijos de los difeomorfismos hamiltonianos. [LT98c] Sin embargo, estos artículos de Li-Tian y Liu-Tian sobre la teoría simpléctica de Gromov-Witten han sido criticados por Dusa McDuff y Katrin Wehrheim por ser incompletos o incorrectos, diciendo que el artículo de Li y Tian [LT98a] "carece de casi todos los detalles" sobre ciertos puntos y que el artículo de Liu y Tian [LT98c] tiene "errores analíticos graves". [28]

Análisis geométrico

En 1995, Tian y Weiyue Ding estudiaron el flujo de calor del mapa armónico de una variedad riemanniana cerrada bidimensional en una variedad riemanniana cerrada N . [DT95] En un trabajo seminal de 1985, después del gran avance de 1982 de Jonathan Sacks y Karen Uhlenbeck , Michael Struwe había estudiado este problema y demostrado que hay una solución débil que existe para todo tiempo positivo. Además, Struwe demostró que la solución u es suave a partir de un número finito de puntos del espacio-tiempo; dada cualquier secuencia de puntos del espacio-tiempo en la que la solución sea suave y que converjan a un punto singular dado ( p , T ) , se pueden realizar algunos reescalamientos para (subsiguientemente) definir un número finito de mapas armónicos desde la esfera redonda bidimensional hacia N , llamados "burbujas". Ding y Tian demostraron una cierta "cuantización de energía", lo que significa que el defecto entre la energía de Dirichlet de u ( T ) y el límite de la energía de Dirichlet de u ( t ) cuando t se acerca a T se mide exactamente por la suma de las energías de Dirichlet de las burbujas. Estos resultados son significativos en el análisis geométrico, siguiendo el resultado original de cuantificación de energía de Yum-Tong Siu y Shing-Tung Yau en su prueba de la conjetura de Frankel. [29] El problema análogo para los mapas armónicos , en oposición a la consideración de Ding y Tian del flujo del mapa armónico, fue considerado por Changyou Wang aproximadamente en la misma época. [30]

Un artículo importante de Tian trató sobre las ecuaciones de Yang-Mills . [T00a] Además de extender gran parte del análisis de Karen Uhlenbeck a dimensiones superiores, estudió la interacción de la teoría de Yang-Mills con la geometría calibrada . Uhlenbeck había demostrado en la década de 1980 que, cuando se da una secuencia de conexiones de Yang-Mills de energía uniformemente acotada, convergerán suavemente en el complemento de un subconjunto de codimensión al menos cuatro, conocido como el complemento del "conjunto singular". Tian demostró que el conjunto singular es un conjunto rectificable . En el caso de que la variedad esté equipada con una calibración, se puede restringir el interés a las conexiones de Yang-Mills que son autoduales en relación con la calibración. En este caso, Tian demostró que el conjunto singular está calibrado. Por ejemplo, el conjunto singular de una secuencia de conexiones hermíticas de Yang-Mills de energía uniformemente acotada será un ciclo holomorfo. Esta es una característica geométrica significativa del análisis de las conexiones Yang-Mills.

Flujo de Ricci

En 2006, Tian y Zhou Zhang estudiaron el flujo de Ricci en el contexto especial de las variedades cerradas de Kähler . [TZ06] Su principal logro fue demostrar que el tiempo máximo de existencia se puede caracterizar en términos puramente cohomológicos. Esto representa un sentido en el que el flujo de Kähler-Ricci es significativamente más simple que el flujo de Ricci habitual, donde no hay un cálculo (conocido) del tiempo máximo de existencia a partir de un contexto geométrico dado. La prueba de Tian y Zhang consiste en un uso del principio de máximo escalar aplicado a varias ecuaciones de evolución geométrica, en términos de un potencial de Kähler parametrizado por una deformación lineal de formas que es cohomóloga al flujo de Kähler-Ricci en sí. En un trabajo notable con Jian Song, Tian analizó el flujo de Kähler-Ricci en ciertas variedades complejas bidimensionales. [ST07]

En 2002 y 2003, Grigori Perelman publicó tres artículos en arXiv que pretendían demostrar la conjetura de Poincaré y la conjetura de geometrización en el campo de la topología geométrica tridimensional . [31] [32] [33] Los artículos de Perelman fueron aclamados inmediatamente por muchas de sus ideas y resultados novedosos, aunque los detalles técnicos de muchos de sus argumentos se consideraron difíciles de verificar. En colaboración con John Morgan , Tian publicó una exposición de los artículos de Perelman en 2007, completando muchos de los detalles. [MT07] Otras exposiciones, que también han sido ampliamente estudiadas, fueron escritas por Huai-Dong Cao y Xi-Ping Zhu , y por Bruce Kleiner y John Lott . [34] [35] La exposición de Morgan y Tian es la única de las tres que aborda el tercer artículo de Perelman, [33] que es irrelevante para el análisis de la conjetura de geometrización pero que utiliza el flujo de acortamiento de curvas para proporcionar un argumento más simple para el caso especial de la conjetura de Poincaré. Ocho años después de la publicación del libro de Morgan y Tian, ​​Abbas Bahri señaló que parte de su exposición de este artículo era errónea, al haberse basado en cálculos incorrectos de ecuaciones de evolución. [36] El error, que abordaba detalles que no estaban presentes en el artículo de Perelman, fue corregido poco después por Morgan y Tian. [37]

En colaboración con Nataša Šešum , Tian también publicó una exposición del trabajo de Perelman sobre el flujo de Ricci de las variedades de Kähler, que Perelman no publicó en ninguna forma. [38]

Publicaciones seleccionadas

Artículos de investigación.

T87a.
Tian, ​​Gang (1987). "Suavidad del espacio de deformación universal de variedades compactas de Calabi-Yau y su métrica de Petersson-Weil". En Yau, S.-T. (ed.). Aspectos matemáticos de la teoría de cuerdas . Conferencia celebrada en la Universidad de California, San Diego (21 de julio–1 de agosto de 1986). Serie avanzada en física matemática. Vol. 1. Singapur: World Scientific Publishing Co. pp. 629–646. doi :10.1142/9789812798411_0029. ISBN 9971-50-273-9.Sr. 0915841  .
T87b.
Tian, ​​Gang (1987). "Sobre las métricas de Kähler–Einstein en ciertas variedades de Kähler con c1(M) > 0". Inventiones Mathematicae . 89 (2): 225–246. doi :10.1007/BF01389077. MR  0894378. S2CID  122352133.
Año: 2007.
Tian, ​​Gang; Yau, Shing-Tung (1987). "Métricas de Kähler–Einstein en superficies complejas con C1 > 0". Communications in Mathematical Physics . 112 (1): 175–203. doi :10.1007/BF01217685. MR  0904143. S2CID  121216755.
T90a.
Tian, ​​Gang (1990). "Sobre un conjunto de métricas de Kähler polarizadas en variedades algebraicas". Journal of Differential Geometry . 32 (1): 99–130. doi : 10.4310/jdg/1214445039 . MR  1064867.
T90b.
Tian, ​​G. (1990). "Sobre la conjetura de Calabi para superficies complejas con primera clase de Chern positiva". Inventiones Mathematicae . 101 (1): 101–172}. Bibcode :1990InMat.101..101T. doi :10.1007/BF01231499. MR  1055713. S2CID  59419559.
Año TY90.
Tian, ​​G.; Yau, Shing-Tung (1990). "Variedades de Kähler completas con curvatura de Ricci cero. I". Revista de la Sociedad Americana de Matemáticas . 3 (3): 579–609. doi : 10.1090/S0894-0347-1990-1040196-6 . MR  1040196.
TY91.
Tian, ​​Gang; Yau, Shing-Tung (1991). "Variedades de Kähler completas con curvatura de Ricci cero. II". Inventiones Mathematicae . 106 (1): 27–60. Bibcode :1991InMat.106...27T. doi :10.1007/BF01243902. MR  1123371. S2CID  122638262.
DT92.
Ding, Wei Yue; Tian, ​​pandilla (1992). "Métricas de Kähler-Einstein y la invariante de Futaki generalizada". Invenciones Mathematicae . 110 : 315–335. Código Bib : 1992 InMat.110..315D. doi :10.1007/BF01231335. SEÑOR  1185586. S2CID  59332400.
DT95.
Ding, Weiyue; Tian, ​​Gang (1995). "Identidad energética para una clase de mapas armónicos aproximados a partir de superficies". Comunicaciones en Análisis y Geometría . 3 (3–4): 543–554. doi : 10.4310/CAG.1995.v3.n4.a1 . MR  1371209.
RT95.
Ruan, Yongbin ; Tian, ​​Gang (1995). "Una teoría matemática de la cohomología cuántica". Journal of Differential Geometry . 42 (2): 259–367. doi : 10.4310/jdg/1214457234 . MR  1366548.
ST97.
Siebert, Bernd ; Tian, ​​Gang (1997). "Sobre anillos de cohomología cuántica de variedades de Fano y una fórmula de Vafa e Intriligator". Revista Asiática de Matemáticas . 1 (4): 679–695. doi :10.4310/AJM.1997.v1.n4.a2. MR  1621570. S2CID  14494725.
T97.
Tian, ​​Gang (1997). "Métricas de Kähler–Einstein con curvatura escalar positiva". Inventiones Mathematicae . 130 (1): 1–37. Bibcode :1997InMat.130....1T. doi :10.1007/s002220050176. MR  1471884. S2CID  122529381.
LT98a.
Li, Jun ; Tian, ​​Gang (1998). "Ciclos de módulos virtuales e invariantes de Gromov–Witten de variedades simplécticas generales". En Stern, Ronald J. (ed.). Temas en variedades simplécticas de 4 dimensiones . Primeras conferencias de prensa internacional presentadas en la Universidad de California, Irvine (28-30 de marzo de 1996). Primera serie de conferencias de prensa internacional. Vol. I. Cambridge, MA: International Press. págs. 47–83. arXiv : alg-geom/9608032 . ISBN 1-57146-019-5.Señor 1635695  .
LT98b.
Li, Jun ; Tian, ​​Gang (1998). "Ciclos de módulos virtuales e invariantes de Gromov–Witten de variedades algebraicas". Revista de la Sociedad Americana de Matemáticas . 11 (1): 119–174. doi : 10.1090/S0894-0347-98-00250-1 . MR  1467172. S2CID  15201721.
LT98c.
Liu, Gang; Tian, ​​Gang (1998). "Homología de Floer y conjetura de Arnold". Journal of Differential Geometry . 49 (1): 1–74. doi : 10.4310/jdg/1214460936 . MR  1642105.
T00a.
Tian, ​​Gang (2000). "Teoría de calibres y geometría calibrada. I". Anales de Matemáticas . Segunda serie. 151 (1): 193–268. arXiv : math/0010015 . doi :10.2307/121116. JSTOR  121116. MR  1745014.
Número de pieza TZ06.
Tian, ​​Gang; Zhang, Zhou (2006). "Sobre el flujo de Kähler–Ricci en variedades proyectivas de tipo general". Anales chinos de matemáticas, serie B . 27 (2): 179–192. CiteSeerX  10.1.1.116.5906 . doi :10.1007/s11401-005-0533-x. MR  2243679. S2CID  16476473.
ST07.
Canción, Jian; Tian, ​​pandilla (2007). "El flujo de Kähler-Ricci sobre superficies de dimensión Kodaira positiva". Invenciones Mathematicae . 17 (3): 609–653. arXiv : matemáticas/0602150 . Código Bib : 2007 InMat.170..609S. doi :10.1007/s00222-007-0076-8. SEÑOR  2357504. S2CID  735225.
CT08.
Chen, XX ; Tian, ​​G. (2008). "Geometría de métricas de Kähler y foliaciones por discos holomorfos". Publicaciones Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques . 107 : 1–107. arXiv : matemáticas/0507148 . doi :10.1007/s10240-008-0013-4. SEÑOR  2434691. S2CID  119699845.
T15.
Tian, ​​Gang (2015). "K-estabilidad y métricas de Kähler–Einstein". Communications on Pure and Applied Mathematics . 68 (7): 1085–1156. arXiv : 1211.4669 . doi :10.1002/cpa.21578. MR  3352459. S2CID  119303358. (Errata:  doi :10.1002/cpa.21612)

Libros.

T00b.
Tian, ​​pandilla (2000). Métricas canónicas en geometría de Kähler . Conferencias de Matemáticas ETH Zürich. Notas tomadas por Meike Akveld . Basilea: Birkhäuser Verlag. doi :10.1007/978-3-0348-8389-4. ISBN 3-7643-6194-8.Señor 1787650  .
Número MT07.
Morgan, John ; Tian, ​​Gang (2007). Flujo de Ricci y la conjetura de Poincaré . Clay Mathematics Monographs . Vol. 3. Cambridge, MA: Clay Mathematics Institute . arXiv : math/0607607 . ISBN 978-0-8218-4328-4.Señor 2334563  .

Morgan, John ; Tian, ​​Gang (2015). "Corrección a la Sección 19.2 de Ricci Flow y la conjetura de Poincaré". arXiv : 1512.00699 [math.DG].
Número MT14.
Morgan, John ; Tian, ​​Gang (2014). La conjetura de geometrización . Clay Mathematics Monographs . Vol. 5. Cambridge, MA: Clay Mathematics Institute . ISBN 978-0-8218-5201-9.Señor 3186136  .

Referencias

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