Teorema de Dudley
En teoría de probabilidad , el teorema de Dudley es un resultado que relaciona el límite superior esperado y las propiedades de regularidad de un proceso gaussiano con su estructura de entropía y covarianza .
Historia
El resultado fue enunciado y demostrado por primera vez por VN Sudakov, como se señala en un artículo de Richard M. Dudley . [1] Dudley había atribuido anteriormente a Volker Strassen la conexión entre la entropía y la regularidad.
Declaración
Sea ( X t ) t ∈ T un proceso gaussiano y sea d X la pseudométrica en T definida por
![{\displaystyle d_{X}(s,t)={\sqrt {\mathbf {E} {\big [}|X_{s}-X_{t}|^{2}]}}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/770206df9ebe1f1c09dbea1684a2951cbae3309d)
Para ε > 0, denotamos por N ( T , d X ; ε ) el número de entropía , es decir, el número mínimo de d X -bolas (abiertas) de radio ε necesarias para cubrir T . Entonces
![{\displaystyle \mathbf {E} \left[\sup _{t\in T}X_{t}\right]\leq 24\int _{0}^{+\infty }{\sqrt {\log N(T,d_{X};\varepsilon )}}\,\mathrm {d} \varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cb0f5968f253567ccb5f75d5932eb0e68a73cd8)
Además, si la integral de entropía en el lado derecho converge, entonces X tiene una versión con casi toda la trayectoria de muestra acotada y (uniformemente) continua en ( T , d X ).
Referencias
- ^ Dudley, Richard (2016). Houdré, Christian; Mason, David; Reynaud-Bouret, Patricia ; Jan Rosiński, Jan (eds.). El trabajo de VN Sudakov sobre la supremacía esperada de los procesos gaussianos. High Dimensional Probability. Vol. VII. págs. 37–43.
- Dudley, Richard M. (1967). "Los tamaños de los subconjuntos compactos del espacio de Hilbert y la continuidad de los procesos gaussianos". Journal of Functional Analysis . 1 (3): 290–330. doi :10.1016/0022-1236(67)90017-1. MR 0220340.
- Ledoux, Michel; Talagrand, Michel (1991). Probabilidad en espacios de Banach . Berlín: Springer-Verlag. pp. xii+480. ISBN 3-540-52013-9. Sr. 1102015.(Ver capítulo 11)
