Teorema de división

En el campo matemático de la geometría diferencial , existen varios teoremas de desdoblamiento que determinan cuándo una variedad pseudoriemanniana puede darse como un producto métrico. El más conocido es el teorema de desdoblamiento de Cheeger-Gromoll para variedades riemannianas, aunque también se han realizado investigaciones sobre el desdoblamiento de variedades lorentzianas .

Toda variedad riemanniana conexa M tiene una estructura espacial métrica subyacente , y esto permite la definición de una línea geodésica como una función c : ℝ → M tal que la distancia de c ( s ) a c ( t ) es igual a | t − s | para s y t arbitrarios . Esto quiere decir que la restricción de c a cualquier intervalo acotado es una curva de longitud mínima que conecta sus puntos finales. ^[1]

En 1971, Jeff Cheeger y Detlef Gromoll demostraron que si una variedad riemanniana geodésicamente completa y conexa de curvatura de Ricci no negativa contiene cualquier línea geodésica, entonces debe dividirse isométricamente como el producto de una variedad riemanniana completa con ℝ . La prueba fue simplificada posteriormente por Jost Eschenburg y Ernst Heintze. En 1936, Stefan Cohn-Vossen había formulado y demostrado originalmente el teorema en el caso de variedades bidimensionales, y Victor Toponogov había extendido el trabajo de Cohn-Vossen a dimensiones superiores, bajo la condición especial de curvatura seccional no negativa . ^[2]

La prueba puede resumirse de la siguiente manera. ^[3] La condición de una línea geodésica permite definir dos funciones de Busemann . Estas pueden considerarse una función de distancia riemanniana normalizada a los dos puntos finales de la línea. Del teorema de comparación laplaciano fundamental demostrado anteriormente por Eugenio Calabi , estas funciones son ambas superarmónicas bajo el supuesto de curvatura de Ricci. Cualquiera de estas funciones podría ser negativa en algunos puntos, pero la desigualdad triangular implica que su suma no es negativa. El principio del máximo fuerte implica que la suma es idénticamente cero y, por lo tanto, que cada función de Busemann es de hecho (débilmente) una función armónica . El lema de Weyl implica la diferenciabilidad infinita de las funciones de Busemann. Luego, la prueba puede terminarse utilizando la fórmula de Bochner para construir campos vectoriales paralelos , configurando el teorema de descomposición de De Rham . ^[4] Alternativamente, se puede invocar la teoría de las inmersiones de Riemann . ^[5]

Como consecuencia de su teorema de desdoblamiento, Cheeger y Gromoll pudieron demostrar que la cobertura universal de cualquier variedad cerrada de curvatura de Ricci no negativa debe desdoblarse isométricamente como el producto de una variedad cerrada con un espacio euclidiano . Si la cobertura universal es topológicamente contráctil , entonces se deduce que todas las métricas involucradas deben ser planas . ^[6]

En 1982, Shing-Tung Yau conjeturó que debería cumplirse una versión lorentziana particular del teorema de Cheeger y Gromoll. ^[7] Jost Eschenburg, Gregory Galloway y Richard Newman encontraron pruebas en varios niveles de generalidad. En estos resultados, el papel de la completitud geodésica se reemplaza por la condición de hiperbolicidad global o de completitud geodésica temporal . La no negatividad de la curvatura de Ricci se reemplaza por la condición de convergencia temporal de que la curvatura de Ricci es no negativa en todas las direcciones temporales. Se requiere que la línea geodésica sea temporal. ^[8]

Notas.

Artículos históricos.

Libros de texto.