Lema de Weyl (ecuación de Laplace)
Ecuación matemática

En matemáticas , el lema de Weyl , llamado así por Hermann Weyl , afirma que toda solución débil de la ecuación de Laplace es una solución uniforme . Esto contrasta con la ecuación de onda , por ejemplo, que tiene soluciones débiles que no son soluciones uniformes. El lema de Weyl es un caso especial de regularidad elíptica o hipoelíptica .

Enunciado del lema

Sea un subconjunto abierto del espacio euclidiano -dimensional y sea el operador de Laplace habitual . El lema de Weyl [1] establece que si una función localmente integrable es una solución débil de la ecuación de Laplace, en el sentido de que Ohmio {\estilo de visualización\Omega} norte {\estilo de visualización n} R norte {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} Δ {\estilo de visualización \Delta} tú ∈ yo yo o do 1 ( Ohmio ) {\displaystyle u\in L_{\mathrm {loc} }^{1}(\Omega)}

∫ Ohmio tú ( incógnita ) Δ φ ( incógnita ) d incógnita = 0 {\displaystyle \int _{\Omega }u(x)\,\Delta \varphi (x)\,dx=0}

para cada función de prueba ( función suave con soporte compacto ) , entonces (hasta la redefinición en un conjunto de medida cero ) es suave y satisface puntualmente en . φ ∈ do do ∞ ( Ohmio ) {\displaystyle \varphi \en C_{c}^{\infty }(\Omega )} tú ∈ do ∞ ( Ohmio ) {\displaystyle u\in C^{\infty }(\Omega )} Δ tú = 0 {\displaystyle \Delta u=0} Ohmio {\estilo de visualización\Omega}

Este resultado implica la regularidad interior de las funciones armónicas en , pero no dice nada sobre su regularidad en el límite . Ohmio {\estilo de visualización\Omega} ∂ Ohmio {\displaystyle \parcial \Omega}

Idea de la prueba

Para probar el lema de Weyl, se convoluciona la función con un suavizador apropiado y se muestra que el suavizador satisface la ecuación de Laplace, lo que implica que tiene la propiedad de valor medio. Tomando el límite como y usando las propiedades de los suavizadores, se encuentra que también tiene la propiedad de valor medio, [2] lo que implica que es una solución suave de la ecuación de Laplace. [3] [4] Las pruebas alternativas utilizan la suavidad de la solución fundamental del laplaciano o estimaciones elípticas a priori adecuadas. tú {\estilo de visualización u} φ mi {\displaystyle \varphi _{\varepsilon }} tú mi = φ mi ∗ tú {\displaystyle u_{\varepsilon }=\varphi _{\varepsilon }\ast u} tú mi {\ Displaystyle u _ {\ varepsilon}} mi → 0 {\displaystyle \varepsilon \a 0} tú {\estilo de visualización u}

Prueba

Sea el suavizador estándar . ( ρ mi ) mi > 0 {\displaystyle \left(\rho _{\varepsilon }\right)_{\varepsilon >0}}

Fije un conjunto compacto y ponga como la distancia entre y el límite de . Ohmio " ⋐ Ohmio {\displaystyle \Omega ^{\prime }\Subconjunto \Omega } mi 0 = distribución ⁡ ( Ohmio " , ∂ Ohmio ) {\displaystyle \varepsilon _{0}=\operatorname {dist} \left(\Omega ^{\prime },\partial \Omega \right)} Ohmio " {\displaystyle \Omega ^{\prime }} Ohmio {\estilo de visualización\Omega}

Para cada uno y la función incógnita ∈ Ohmio " {\displaystyle x\in \Omega ^{\prime }} mi ∈ ( 0 , mi 0 ) {\displaystyle \varepsilon \in \left(0,\varepsilon _{0}\right)}

y ⟼ ρ mi ( incógnita − y ) {\displaystyle y\longmapsto \rho _{\varepsilon }(xy)}

pertenece a funciones de prueba y por eso podemos considerar D ( Ohmio ) {\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega)}

⟨ tú , ρ mi ( incógnita − ⋅ ) ⟩ {\displaystyle \left\langle u,\rho _{\varepsilon }(x-\cdot )\right\rangle }

Afirmamos que es independiente de . Para demostrarlo calculamos para . mi ∈ ( 0 , mi 0 ) {\displaystyle \varepsilon \in \left(0,\varepsilon _{0}\right)} d d mi ρ mi ( incógnita − y ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\rho _ {\varepsilon }(xy)} incógnita , y ∈ R norte {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}}

Recuerde que

ρ mi ( incógnita − y ) = mi − norte ρ ( incógnita − y mi ) {\displaystyle \rho _{\varepsilon }(xy)=\varepsilon ^{-n}\rho \left({\frac {xy}{\varepsilon }}\right)}

donde el núcleo del suavizador estándar se definió en Mollifier#Concrete_example . Si ponemos ρ {\estilo de visualización \rho} R norte {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}

θ ( a ) = { 1 do norte mi 1 a − 1  si  a < 1 , 0  si  a ⩾ 1 , {\displaystyle \theta (t)={\begin{cases}{\frac {1}{c_{n}}}\mathrm {e} ^{\frac {1}{t-1}}&{\text{ si }}t<1,\\0&{\text{ si }}t\geqslant 1,\end{cases}}}

entonces . ρ ( incógnita ) = θ ( | incógnita | 2 ) {\displaystyle \rho(x)=\theta \left(|x|^{2}\right)}

Satisface claramente para . Ahora calcula θ ∈ do ∞ ( R ) {\displaystyle \theta \in \mathrm {C} ^{\infty }(\mathbb {R} )} θ ( a ) = 0 {\displaystyle \theta (t)=0} t ⩾ 1 {\displaystyle t\geqslant 1}

d d ε ( ε − n ρ ( x − y ε ) ) = − n ε − n − 1 ρ ( x − y ε ) − ε − n ∇ ρ ( x − y ε ) ⋅ x − y ε 2 = − 1 ε n + 1 ( n ρ ( x − y ε ) + ∇ ρ ( x − y ε ) ⋅ x − y ε ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\left(\varepsilon ^{-n}\rho \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)\right)&=-n\varepsilon ^{-n-1}\rho \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)-\varepsilon ^{-n}\nabla \rho \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)\cdot {\frac {x-y}{\varepsilon ^{2}}}\\&=-{\frac {1}{\varepsilon ^{n+1}}}\left(n\rho \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)+\nabla \rho \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)\cdot {\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)\end{aligned}}}

Ponerlo de tal manera K ( x ) = − n ρ ( x ) − ∇ ρ ( x ) ⋅ x {\displaystyle K(x)=-n\rho (x)-\nabla \rho (x)\cdot x}

d d ε ( ε − n ρ ( x − y ε ) ) = 1 ε n + 1 K ( x − y ε ) . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\left(\varepsilon ^{-n}\rho \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)\right)={\frac {1}{\varepsilon ^{n+1}}}K\left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right).}

En términos de lo que obtenemos ρ ( x ) = θ ( | x | 2 ) {\displaystyle \rho (x)=\theta \left(|x|^{2}\right)}

K ( x ) = − div ⁡ ( ρ ( x ) x ) = − div ⁡ ( θ ( | x | 2 ) x ) {\displaystyle K(x)=-\operatorname {div} (\rho (x)x)=-\operatorname {div} \left(\theta \left(|x|^{2}\right)x\right)}

Y si nos ponemos

Θ ( t ) = 1 2 ∫ t ∞ θ ( s ) d s {\displaystyle \Theta (t)={\frac {1}{2}}\int _{t}^{\infty }\theta (s)\mathrm {d} s}

entonces con para , y . En consecuencia Θ ∈ C ∞ ( R ) {\displaystyle \Theta \in \mathrm {C} ^{\infty }(\mathbb {R} )} Θ ( t ) = 0 {\displaystyle \Theta (t)=0} t ⩾ 1 {\displaystyle t\geqslant 1} Θ ′ ( t ) = − 1 2 θ ( t ) {\displaystyle \Theta ^{\prime }(t)=-{\frac {1}{2}}\theta (t)}

− θ ( | x | 2 ) x = ∇ ( Θ ( | x | 2 ) ) {\displaystyle -\theta \left(|x|^{2}\right)x=\nabla \left(\Theta \left(|x|^{2}\right)\right)}

y entonces , donde . Observe que , y K ( x ) = div ⁡ ∇ ( Θ ( | x | 2 ) ) = ( Δ Φ ) ( x ) {\displaystyle K(x)=\operatorname {div} \nabla \left(\Theta \left(|x|^{2}\right)\right)=(\Delta \Phi )(x)} Φ ( x ) = Θ ( | x | 2 ) {\displaystyle \Phi (x)=\Theta \left(|x|^{2}\right)} Φ ∈ D ( B 1 ( 0 ) ¯ ) {\displaystyle \Phi \in {\mathcal {D}}\left({\overline {B_{1}(0)}}\right)}

− 1 ε n + 1 ( n ρ ( x − y ε ) + ∇ ρ ( x − y ε ) ⋅ x − y ε ) = 1 ε n + 1 Δ y ( Φ ( x − y ε ) ) = Δ y ( ε 1 − n Φ ( x − y ε ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {1}{\varepsilon ^{n+1}}}\left(n\rho \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)+\nabla \rho \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)\cdot {\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)&={\frac {1}{\varepsilon ^{n+1}}}\Delta _{y}\left(\Phi \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)\right)\\&=\Delta _{y}\left(\varepsilon ^{1-n}\Phi \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)\right).\end{aligned}}}

Aquí se apoya en , y por lo tanto por suposición y ↦ ε 1 − n Φ ( x − y ε ) {\displaystyle y\mapsto \varepsilon ^{1-n}\Phi \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)} B ε ( x ) ¯ ⊂ Ω {\displaystyle {\overline {B_{\varepsilon }(x)}}\subset \Omega }

⟨ u , Δ y ( ε 1 − n Φ ( x − y ε ) ) ⟩ = 0 {\displaystyle \left\langle u,\Delta _{y}\left(\varepsilon ^{1-n}\Phi \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)\right)\right\rangle =0} .

Ahora, al considerar los cocientes de diferencias, vemos que

d d ε ⟨ u , ρ ε ( x − ⋅ ) ⟩ = ⟨ u , d d ε ρ ε ( x − ⋅ ) ⟩ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\left\langle u,\rho _{\varepsilon }(x-\cdot )\right\rangle =\left\langle u,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\rho _{\varepsilon }(x-\cdot )\right\rangle } .

En efecto, porque tenemos ε , ε ′ > 0 {\displaystyle \varepsilon ,\varepsilon ^{\prime }>0}

ρ ε + ε ′ ( x − y ) − ρ ε ( x − y ) ε ′ = F T C ∫ 0 1 d d t ρ ε + t ε ′ ( x − y ) d t ⟶ ε ′ ↘ 0 d d s | s = ε ρ s ( x − y ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\rho _{\varepsilon +\varepsilon ^{\prime }}(x-y)-\rho _{\varepsilon }(x-y)}{\varepsilon ^{\prime }}}&{\stackrel {\mathrm {FTC} }{=}}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\rho _{\varepsilon +t\varepsilon ^{\prime }}(x-y)\mathrm {d} t\\&\left.{\underset {\varepsilon ^{\prime }\searrow 0}{\longrightarrow }}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\right|_{s=\varepsilon }\rho _{s}(x-y)\end{aligned}}}

con respecto a , siempre que y ( ya que podemos diferenciar ambos lados con respecto a . Pero entonces , y así para todos , donde . Ahora sea . Entonces, por el truco habitual al convolucionar distribuciones con funciones de prueba , D ′ ( Ω ) {\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(\Omega )} y {\displaystyle y} x ∈ Ω ′ {\displaystyle x\in \Omega ^{\prime }} 0 < ε < ε 0 {\displaystyle 0<\varepsilon <\varepsilon _{0}} y ) {\displaystyle y)} d d ε ⟨ u , ρ ε ( x − ⋅ ) ⟩ = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\left\langle u,\rho _{\varepsilon }(x-\cdot )\right\rangle =0} ⟨ u , ρ ε ( x − ⋅ ) ⟩ = ⟨ u , ρ ε 1 ( x − ⋅ ) ⟩ {\displaystyle \left\langle u,\rho _{\varepsilon }(x-\cdot )\right\rangle =\left\langle u,\rho _{\varepsilon _{1}}(x-\cdot )\right\rangle } ε ∈ ( 0 , ε 0 ) {\displaystyle \varepsilon \in \left(0,\varepsilon _{0}\right)} ε 1 ∈ ( 0 , ε 0 ) {\displaystyle \varepsilon _{1}\in \left(0,\varepsilon _{0}\right)} φ ∈ D ( Ω ′ ) {\displaystyle \varphi \in {\mathcal {D}}\left(\Omega ^{\prime }\right)}

∫ Ω ′ ⟨ u , ρ ε ( x − ⋅ ) ⟩ φ ( x ) d x = ⟨ u , ∫ Ω ′ ρ ε ( x − ⋅ ) φ ( x ) d x ⟩ = ⟨ u , ρ ε ∗ φ ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Omega ^{\prime }}\left\langle u,\rho _{\varepsilon }(x-\cdot )\right\rangle \varphi (x)\mathrm {d} x&=\left\langle u,\int _{\Omega ^{\prime }}\rho _{\varepsilon }(x-\cdot )\varphi (x)\mathrm {d} x\right\rangle \\&=\left\langle u,\rho _{\varepsilon }*\varphi \right\rangle \end{aligned}}}

y así pues tenemos ε ∈ ( 0 , ε 1 ) {\displaystyle \varepsilon \in \left(0,\varepsilon _{1}\right)}

⟨ u , ρ ε ∗ φ ⟩ = ∫ Ω ′ ⟨ u , ρ ε 1 ( x − ⋅ ) ⟩ φ ( x ) d x {\displaystyle \left\langle u,\rho _{\varepsilon }*\varphi \right\rangle =\int _{\Omega ^{\prime }}\left\langle u,\rho _{\varepsilon _{1}}(x-\cdot )\right\rangle \varphi (x)\mathrm {d} x} .

Por lo tanto, como en , obtenemos ρ ε ∗ φ → φ {\displaystyle \rho _{\varepsilon }*\varphi \rightarrow \varphi } D ( Ω ) {\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )} ε ↘ 0 {\displaystyle \varepsilon \searrow 0}

⟨ u , φ ⟩ = ∫ Ω ′ ⟨ u , ρ ε 1 ( x − ⋅ ) ⟩ φ ( x ) d x {\displaystyle \langle u,\varphi \rangle =\int _{\Omega ^{\prime }}\left\langle u,\rho _{\varepsilon _{1}}(x-\cdot )\right\rangle \varphi (x)\mathrm {d} x} .

En consecuencia , y puesto que fue arbitrario, estamos acabados. u | Ω ′ ∈ C ∞ ( Ω ′ ) {\displaystyle \left.u\right|_{\Omega ^{\prime }}\in \mathrm {C} ^{\infty }\left(\Omega ^{\prime }\right)} Ω ′ {\displaystyle \Omega ^{\prime }}

Generalización a distribuciones

De manera más general, el mismo resultado se cumple para cada solución distributiva de la ecuación de Laplace: si satisface para cada , entonces es una distribución regular asociada con una solución suave de la ecuación de Laplace. [5] T ∈ D ′ ( Ω ) {\displaystyle T\in D'(\Omega )} ⟨ T , Δ φ ⟩ = 0 {\displaystyle \langle T,\Delta \varphi \rangle =0} φ ∈ C c ∞ ( Ω ) {\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )} T = T u {\displaystyle T=T_{u}} u ∈ C ∞ ( Ω ) {\displaystyle u\in C^{\infty }(\Omega )}

Conexión con hipoelipticidad

El lema de Weyl se desprende de resultados más generales relativos a las propiedades de regularidad de los operadores elípticos o hipoelípticos. [6] Un operador diferencial parcial lineal con coeficientes suaves es hipoelíptico si el soporte singular de es igual al soporte singular de para cada distribución . El operador de Laplace es hipoelíptico, por lo que si , entonces el soporte singular de está vacío ya que el soporte singular de está vacío, lo que significa que . De hecho, dado que el laplaciano es elíptico, un resultado más fuerte es verdadero y las soluciones de son analíticas reales . P {\displaystyle P} P u {\displaystyle Pu} u {\displaystyle u} u {\displaystyle u} Δ u = 0 {\displaystyle \Delta u=0} u {\displaystyle u} 0 {\displaystyle 0} u ∈ C ∞ ( Ω ) {\displaystyle u\in C^{\infty }(\Omega )} Δ u = 0 {\displaystyle \Delta u=0}

Notas

  1. ^ Hermann Weyl , El método de proyecciones ortogonales en la teoría del potencial, Duke Math. J. , 7, 411–444 (1940). Véase Lema 2, pág. 415
  2. ^ Se sabe que la propiedad del valor medio caracteriza las funciones armónicas en el siguiente sentido. Sea . Entonces es armónico en el sentido habitual (por lo que y si y solo si para todas las bolas tenemos h ∈ C ( Ω ) {\displaystyle h\in \mathrm {C} (\Omega )} h {\displaystyle h} h ∈ C 2 ( Ω ) {\displaystyle h\in \mathrm {C} ^{2}(\Omega )} Δ h = 0 ) {\displaystyle \left.\Delta h=0\right)} B r ( x 0 ) ⋐ Ω {\displaystyle B_{r}\left(x_{0}\right)\Subset \Omega }
    h ( x 0 ) = 1 ω n − 1 r n − 1 ∫ ∂ B r ( x 0 ) h ( x ) d S x . {\displaystyle h\left(x_{0}\right)={\frac {1}{\omega _{n-1}r^{n-1}}}\int _{\partial B_{r}\left(x_{0}\right)}h(x)\mathrm {d} S_{x}.}
    donde es el área ( n − 1)-dimensional de la hiperesfera . Usando coordenadas polares sobre vemos que cuando es armónico , entonces para , ω n − 1 r n − 1 {\displaystyle \omega _{n-1}r^{n-1}} ∂ B r ( x 0 ) {\displaystyle \partial B_{r}\left(x_{0}\right)} x 0 {\displaystyle x_{0}} h {\displaystyle h} B r ( x 0 ) ⋐ Ω {\displaystyle B_{r}\left(x_{0}\right)\Subset \Omega }
    h ( x 0 ) = ( ρ r ∗ h ) ( x 0 ) . {\displaystyle h\left(x_{0}\right)=\left(\rho _{r}*h\right)\left(x_{0}\right).}
  3. ^ Bernard Dacorogna, Introducción al cálculo de variaciones, 2.ª ed., Imperial College Press (2009), pág. 148.
  4. ^ Stroock, Daniel W. "El lema de Weyl, uno de muchos" (PDF) .
  5. ^ Lars Gårding , Algunos puntos de análisis y su historia , AMS (1997), pág. 66.
  6. ^ Lars Hörmander , El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , 2.ª ed., Springer-Verlag (1990), pág. 110

Referencias

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