Teoría de Bass-Serre

La teoría de Bass-Serre es una parte de la disciplina matemática de la teoría de grupos que se ocupa del análisis de la estructura algebraica de grupos que actúan por automorfismos en árboles simpliciales . La teoría relaciona las acciones de los grupos en árboles con grupos en descomposición como aplicaciones iteradas de las operaciones de producto libre con amalgamación y extensión HNN , a través de la noción de grupo fundamental de un grafo de grupos . La teoría de Bass-Serre puede considerarse como una versión unidimensional de la teoría de orbifold .

La teoría de Bass-Serre fue desarrollada por Jean-Pierre Serre en la década de 1970 y formalizada en Trees , la monografía de Serre de 1977 (desarrollada en colaboración con Hyman Bass ) sobre el tema. ^{[1] [2]} La motivación original de Serre era comprender la estructura de ciertos grupos algebraicos cuyos edificios de Bruhat-Tits son árboles. Sin embargo, la teoría rápidamente se convirtió en una herramienta estándar de la teoría de grupos geométricos y la topología geométrica , particularmente el estudio de las 3-variedades . El trabajo posterior de Bass ^[3] contribuyó sustancialmente a la formalización y el desarrollo de herramientas básicas de la teoría y actualmente el término "teoría de Bass-Serre" se usa ampliamente para describir el tema.

Matemáticamente, la teoría de Bass-Serre se basa en la explotación y generalización de las propiedades de dos construcciones teóricas de grupos más antiguas: producto libre con amalgamación y extensión HNN . Sin embargo, a diferencia del estudio algebraico tradicional de estas dos construcciones, la teoría de Bass-Serre utiliza el lenguaje geométrico de la teoría de recubrimiento y los grupos fundamentales . Los gráficos de grupos , que son los objetos básicos de la teoría de Bass-Serre, pueden verse como versiones unidimensionales de orbifolds .

Además del libro de Serre, ^[2] el tratamiento básico de la teoría de Bass-Serre está disponible en el artículo de Bass, ^[3] el artículo de G. Peter Scott y CTC Wall ^[4] y los libros de Allen Hatcher , ^[5] Gilbert Baumslag , ^[6] Warren Dicks y Martin Dunwoody ^[7] y Daniel E. Cohen. ^[8]

El formalismo de grafos de Serre es ligeramente diferente del formalismo estándar de la teoría de grafos . Aquí un grafo A consiste en un conjunto de vértices V , un conjunto de aristas E , una función de inversión de aristas tal que e ≠ e y para cada e en E , y una función de vértice inicial . Así, en A, cada arista e viene equipada con su inversa formal e . El vértice o ( e ) se llama origen o vértice inicial de e y el vértice o ( e ) se llama término de e y se denota t ( e ). Se permiten tanto aristas de bucle (es decir, aristas e tales que o ( e ⁾ =  t ( e )) como aristas múltiples . Una orientación en A es una partición de E en la unión de dos subconjuntos disjuntos E ⁺ y E− de modo que para cada arista e exactamente una de las aristas del par e , e pertenece a E ⁺ y la otra pertenece a E− ^.${\displaystyle E\to E,\ e\mapsto {\overline {e}}}$${\displaystyle {\overline {\overline {e}}}=e}$ ${\displaystyle o\colon E\to V}$

Un gráfico de grupos A consta de los siguientes datos:

• Un gráfico conexo A ;
• Una asignación de un grupo de vértices A _v a cada vértice v de A .
• Una asignación de un grupo de aristas A _e a cada arista e de A de modo que tengamos para cada e  ∈  E .${\displaystyle A_{e}=A_{\overline {e}}}$
• Monomorfismos de contorno para todas las aristas e de A , de modo que cada uno es un homomorfismo de grupo inyectivo .${\displaystyle \alpha _ {e}:A_ {e} \to A_ {o (e)}}$${\displaystyle \alpha _{e}}$

Para cada el mapa también se denota por .${\displaystyle e\en E}$${\displaystyle \alpha _{\overline {e}}\colon A_{e}\to A_{t(e)}}$${\displaystyle \omega _{e}}$

Hay dos definiciones equivalentes de la noción de grupo fundamental de un grafo de grupos: la primera es una definición algebraica directa a través de una presentación explícita del grupo (como una cierta aplicación iterada de productos libres amalgamados y extensiones HNN ), y la segunda utiliza el lenguaje de los grupoides .

La definición algebraica es más fácil de enunciar:

Primero, elija un árbol de expansión T en A . El grupo fundamental de A con respecto a T , denotado π ₁ ( A , T ), se define como el cociente del producto libre

${\displaystyle (\ast _ {v\in V}A_ {v})\ast F (E)}$

donde F ( E ) es un grupo libre con base libre E , sujeto a las siguientes relaciones:

• ${\displaystyle {\overline {e}}\alpha _{e}(g)e=\alpha _{\overline {e}}(g)}$para cada e en E y cada . (La llamada relación de Bass-Serre .)${\displaystyle g\in A_{e}}$
• e e = 1 para cada e en E .
• e = 1 para cada arista e del árbol de expansión T .

También existe una noción de grupo fundamental de A con respecto a un vértice base v en V , denotado π ₁ ( A , v ), que se define utilizando el formalismo de grupoides . Resulta que para cada elección de un vértice base v y cada árbol de expansión T en A los grupos π ₁ ( A , T ) y π ₁ ( A , v ) son naturalmente isomorfos .

El grupo fundamental de un grafo de grupos tiene también una interpretación topológica natural: es el grupo fundamental de un grafo de espacios cuyos espacios de vértices y espacios de aristas tienen los grupos fundamentales de los grupos de vértices y grupos de aristas, respectivamente, y cuyas funciones de pegado inducen los homomorfismos de los grupos de aristas en los grupos de vértices. Por tanto, se puede tomar esta como una tercera definición del grupo fundamental de un grafo de grupos.

El grupo G = π ₁ ( A , T ) definido anteriormente admite una descripción algebraica en términos de productos libres amalgamados iterados y extensiones HNN . Primero, se forma un grupo B como cociente del producto libre

${\displaystyle (\ast _{v\in V}A_{v})*F(E^{+}T)}$

sujeto a las relaciones

• e ⁻¹ α _e ( g ) e = ω _e ( g ) para cada e en E ⁺ T y cada .${\displaystyle g\in A_{e}}$
• e = 1 para cada e en E ⁺ T .

Esta presentación se puede reescribir como

${\displaystyle B=\ast _{v\in V}A_{v}/{\rm {ncl}}\{\alpha _{e}(g)=\omega _{e}(g),{\text{ donde }}e\in E^{+}T,g\in G_{e}\}}$

lo que demuestra que B es un producto libre amalgamado iterado de los grupos de vértices A _v .

Entonces el grupo G = π ₁ ( A , T ) tiene la presentación

${\displaystyle \langle B,E^{+}(A-T)|e^{-1}\alpha _{e}(g)e=\omega _{e}(g){\text{ where }}e\in E^{+}(A-T),g\in G_{e}\rangle ,}$

lo que demuestra que G = π ₁ ( A , T ) es una extensión HNN múltiple de B con letras estables .${\displaystyle \{e|e\in E^{+}(A-T)\}}$

Un isomorfismo entre un grupo G y el grupo fundamental de un grafo de grupos se denomina desdoblamiento de G. Si los grupos de aristas en el desdoblamiento provienen de una clase particular de grupos (por ejemplo, finitos, cíclicos, abelianos, etc.), se dice que el desdoblamiento es un desdoblamiento sobre esa clase. Por lo tanto, un desdoblamiento en el que todos los grupos de aristas son finitos se denomina desdoblamiento sobre grupos finitos.

Algebraicamente, una división de G con grupos de aristas triviales corresponde a una descomposición de producto libre.

${\displaystyle G=(\ast A_{v})\ast F(X)}$

donde F ( X ) es un grupo libre con base libre X = E ⁺ ( A − T ) que consiste en todas las aristas orientadas positivamente (con respecto a alguna orientación en A ) en el complemento de algún árbol de expansión T de A .

Sea g un elemento de G = π ₁ ( A , T ) representado como un producto de la forma

${\displaystyle g=a_{0}e_{1}a_{1}\dots e_{n}a_{n},}$

donde e ₁ , ..., e _n es un camino de aristas cerrado en A con la secuencia de vértices v ₀ , v ₁ , ..., v _n = v ₀ (es decir v ₀ = o ( e ₁ ), v _n = t ( e _n ) y v _i = t ( e _i ) = o ( e _{i +1} ) para 0 < i < n ) y donde para i = 0, ..., n .${\displaystyle a_{i}\in A_{v_{i}}}$

Supongamos que g  = 1 en G . Entonces

• o bien n = 0 y a ₀ = 1 en ,${\displaystyle A_{v_{0}}}$
• o n > 0 y hay algún 0 < i < n tal que e _{i +1} = e _i y .${\displaystyle a_{i}\in \omega _{e_{i}}(A_{e_{i}})}$

El teorema de las formas normales implica inmediatamente que los homomorfismos canónicos A _v → π ₁ ( A , T ) son inyectivos, de modo que podemos pensar en los grupos de vértices A _v como subgrupos de G .

Higgins ha proporcionado una bonita versión de la forma normal utilizando el grupoide fundamental de un gráfico de grupos. ^[9] Esto evita elegir un punto base o un árbol, y ha sido explotado por Moore. ^[10]

A cada grafo de grupos A , con una elección específica de un vértice base, se le puede asociar un árbol de recubrimiento de Bass–Serre , que es un árbol que viene equipado con una acción de grupo natural del grupo fundamental π ₁ ( A , v ) sin inversiones de aristas. Además, el grafo cociente es isomorfo a A .${\displaystyle {\tilde {\mathbf {A} }}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {A} }}/\pi _{1}(\mathbf {A} ,v)}$

De manera similar, si G es un grupo que actúa sobre un árbol X sin inversiones de aristas (es decir, de modo que para cada arista e de X y cada g en G tenemos ge ≠ e ), se puede definir la noción natural de un grafo cociente de grupos A . El grafo subyacente A de A es el grafo cociente X/G . Los grupos de vértices de A son isomorfos a los estabilizadores de vértices en G de vértices de X y los grupos de aristas de A son isomorfos a los estabilizadores de aristas en G de aristas de X .

Además, si X fuera el árbol de cobertura de Bass-Serre de un grafo de grupos A y si G = π ₁ ( A , v ) entonces el grafo cociente de grupos para la acción de G sobre X puede elegirse para que sea naturalmente isomorfo a A .

Sea G un grupo que actúa sobre un árbol X sin inversiones. Sea A el grafo cociente de grupos y sea v un vértice-base en A . Entonces G es isomorfo al grupo π ₁ ( A , v ) y existe un isomorfismo equivariante entre el árbol X y el árbol de recubrimiento de Bass–Serre . Más precisamente, existe un isomorfismo de grupo σ: G → π ₁ ( A , v ) y un isomorfismo de grafo tal que para cada g en G , para cada vértice x de X y para cada arista e de X tenemos j ( gx ) = g j ( x ) y j ( ge ) = g j ( e ).${\displaystyle {\tilde {\mathbf {A} }}}$${\displaystyle j:X\to {\tilde {\mathbf {A} }}}$

Este resultado también se conoce como teorema de estructura . ^[2]

Una de las consecuencias inmediatas es el clásico teorema de subgrupos de Kurosh, que describe la estructura algebraica de los subgrupos de productos libres .

Considérese un grafo de grupos A que consiste en una única arista no-bucle e (junto con su inversa formal e ) con dos vértices finales distintos u = o ( e ) y v = t ( e ), grupos de vértices H = A _u , K = A _v , un grupo de aristas C = A _e y los monomorfismos de contorno . Entonces T = A es un árbol de expansión en A y el grupo fundamental π ₁ ( A , T ) es isomorfo al producto libre amalgamado${\displaystyle \alpha =\alpha _{e}:C\to H,\omega =\omega _{e}:C\to K}$

${\displaystyle G=H\ast _{C}K=H\ast K/{\rm {ncl}}\{\alpha (c)=\omega (c),c\in C\}.}$

En este caso, el árbol de Bass-Serre se puede describir de la siguiente manera: el conjunto de vértices de X es el conjunto de clases laterales${\displaystyle X={\tilde {\mathbf {A} }}}$

${\displaystyle VX=\{gK:g\in G\}\sqcup \{gH:g\in G\}.}$

Dos vértices gK y fH son adyacentes en X siempre que exista k  ∈  K tal que fH = gkH (o, equivalentemente, siempre que exista h  ∈  H tal que gK = fhK ).

El G -estabilizador de cada vértice de X de tipo gK es igual a gKg ⁻¹ y el G -estabilizador de cada vértice de X de tipo gH es igual a gHg ⁻¹ . Para una arista [ gH , ghK ] de X su G -estabilizador es igual a gh α( C ) h ⁻¹ g ⁻¹ .

Para cada c  ∈  C y h  ∈ ' k  ∈  K' las aristas [ gH , ghK ] y [ gH, gh α( c ) K ] son ​​iguales y el grado del vértice gH en X es igual al índice [ H :α( C )]. De manera similar, cada vértice de tipo gK tiene grado [ K :ω( C )] en X .

Sea A un grafo de grupos que consiste en una única arista de bucle e (junto con su inverso formal e ), un único vértice v = o ( e ) = t ( e ), un grupo de vértices B  =  A _v , un grupo de aristas C  =  A _e y los monomorfismos de contorno . Entonces T = v es un árbol de expansión en A y el grupo fundamental π ₁ ( A , T ) es isomorfo a la extensión HNN${\displaystyle \alpha =\alpha _{e}:C\to B,\omega =\omega _{e}:C\to B}$

${\displaystyle G=\langle B,e|e^{-1}\alpha (c)e=\omega (c),c\in C\rangle .}$

con el grupo base B , letra estable e y los subgrupos asociados H  = α( C ), K  = ω( C ) en B . La composición es un isomorfismo y la presentación de extensión HNN anterior de G se puede reescribir como${\displaystyle \phi =\omega \circ \alpha ^{-1}:H\to K}$

${\displaystyle G=\langle B,e|e^{-1}he=\phi (h),h\in H\rangle .\,}$

En este caso, el árbol de Bass-Serre se puede describir de la siguiente manera: el conjunto de vértices de X es el conjunto de clases laterales VX = { gB  : g ∈ G }.${\displaystyle X={\tilde {\mathbf {A} }}}$

Dos vértices gB y fB son adyacentes en X siempre que exista b en B tal que fB  =  gbeB o fB = gbe ⁻¹ B . El G -estabilizador de cada vértice de X es conjugado a B en G y el estabilizador de cada arista de X es conjugado a H en G . Cada vértice de X tiene grado igual a [ B  :  H ] + [ B  :  K ].

Sea A un grafo de grupos con grafo subyacente A tal que todos los grupos de vértices y aristas en A son triviales. Sea v un vértice base en A . Entonces π ₁ ( A , v ) es igual al grupo fundamental π ₁ ( A , v ) del grafo subyacente A en el sentido estándar de la topología algebraica y el árbol de recubrimiento de Bass–Serre es igual al espacio de recubrimiento universal estándar de A . Además, la acción de π ₁ ( A , v ) sobre es exactamente la acción estándar de π ₁ ( A , v ) sobre mediante transformaciones de barajas .${\displaystyle {\tilde {\mathbf {A} }}}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}}$${\displaystyle {\tilde {\mathbf {A} }}}$${\displaystyle {\tilde {A}}}$

• Si A es un grafo de grupos con un árbol de expansión T y si G = π ₁ ( A , T ), entonces para cada vértice v de A el homomorfismo canónico de A _v a G es inyectivo.
• Si g ∈ G es un elemento de orden finito entonces g es conjugado en G a un elemento de orden finito en algún grupo de vértices A _v .
• Si F ≤ G es un subgrupo finito entonces F es conjugado en G a un subgrupo de algún grupo de vértices A _v .
• Si el grafo A es finito y todos los grupos de vértices A _v son finitos entonces el grupo G es virtualmente libre , es decir, G contiene un subgrupo libre de índice finito.
• Si A es finito y todos los grupos de vértices A _v son finitamente generados , entonces G es finitamente generado.
• Si A es finito y todos los grupos de vértices A _v se presentan finitamente y todos los grupos de aristas A _e se generan finitamente, entonces G se presenta finitamente.

Un grafo de grupos A se llama trivial si A = T ya es un árbol y hay algún vértice v de A tal que A _v = π ₁ ( A , A ). Esto es equivalente a la condición de que A es un árbol y que para cada arista e = [ u ,  z ] de A (con o ( e ) = u , t ( e ) = z ) tal que u está más cerca de v que z tenemos [ A _z  : ω _e ( A _e )] = 1, es decir A _z  = ω _e ( A _e ).

Una acción de un grupo G sobre un árbol X sin inversiones de aristas se llama trivial si existe un vértice x de X que está fijado por G , es decir tal que Gx = x . Se sabe que una acción de G sobre X es trivial si y solo si el gráfico cociente de grupos para esa acción es trivial.

Por lo general, en la teoría de Bass-Serre solo se estudian acciones no triviales sobre árboles, ya que los gráficos triviales de grupos no contienen ninguna información algebraica interesante, aunque las acciones triviales en el sentido mencionado anteriormente (por ejemplo, acciones de grupos por automorfismos sobre árboles con raíces) también pueden ser interesantes por otras razones matemáticas.

Uno de los resultados clásicos y aún importantes de la teoría es un teorema de Stallings sobre los extremos de los grupos. El teorema establece que un grupo finitamente generado tiene más de un extremo si y sólo si este grupo admite una división no trivial en subgrupos finitos, es decir, si y sólo si el grupo admite una acción no trivial sin inversiones en un árbol con estabilizadores de aristas finitas. ^[11]

Un resultado general importante de la teoría establece que si G es un grupo con la propiedad de Kazhdan (T), entonces G no admite ninguna división no trivial, es decir, que cualquier acción de G sobre un árbol X sin inversiones de aristas tiene un vértice fijo global. ^[12]

Sea G un grupo que actúa sobre un árbol X sin inversiones de aristas.

Para cada g ∈ G ponga

${\displaystyle \ell _{X}(g)=\min\{d(x,gx)|x\in VX\}.}$

Entonces ℓ _X ( g ) se llama la longitud de traslación de g en X .

La función

${\displaystyle \ell _{X}:G\to \mathbf {Z} ,\quad g\in G\mapsto \ell _{X}(g)}$

se llama función de longitud hiperbólica o función de longitud de traslación para la acción de G sobre X.

• Para g  ∈  G se cumple exactamente una de las siguientes condiciones:

(a) ℓ _X ( g ) = 0 y g fija un vértice de G . En este caso g se llama elemento elíptico de G .

(b) ℓ _X ( g ) > 0 y hay una única línea bi-infinita incrustada en X , llamada eje de g y denotada L _g que es g -invariante. En este caso g actúa sobre L _g por traslación de magnitud ℓ _X ( g ) y el elemento g  ∈  G se llama hiperbólico .

• Si ℓ _X ( G ) ≠ 0 entonces existe un único subárbol G -invariante mínimo X _G de X . Además, X _G es igual a la unión de los ejes de los elementos hiperbólicos de G .

Se dice que la función de longitud ℓ _X  : G → Z es abeliana si es un homomorfismo de grupo de G a Z y no abeliana en caso contrario. De manera similar, se dice que la acción de G sobre X es abeliana si la función de longitud hiperbólica asociada es abeliana y no abeliana en caso contrario.

En general, se dice que una acción de G sobre un árbol X sin inversiones de aristas es mínima si no hay subárboles G -invariantes adecuados en X.

Un hecho importante en la teoría dice que las acciones mínimas de los árboles no abelianos están determinadas únicamente por sus funciones de longitud hiperbólica: ^[13]

Sea G un grupo con dos acciones mínimas no abelianas sin inversiones de aristas en los árboles X e Y . Supóngase que las funciones de longitud hiperbólicas ℓ _X y ℓ _Y en G son iguales, es decir ℓ _X ( g ) =  ℓ _Y ( g ) para cada g  ∈  G . Entonces las acciones de G en X e Y son iguales en el sentido de que existe un isomorfismo de grafos f  :  X  →  Y que es G -equivariante, es decir f ( gx ) =  g f ( x ) para cada g  ∈  G y cada x  ∈  VX .

Los avances importantes en la teoría de Bass-Serre en los últimos 30 años incluyen:

• Diversos resultados de accesibilidad para grupos finitamente presentados que limitan la complejidad (es decir, el número de aristas) en una descomposición en grafos de grupos de un grupo finitamente presentado, donde se imponen algunas restricciones algebraicas o geométricas sobre los tipos de grupos considerados. Estos resultados incluyen:
  • Teorema de Dunwoody sobre la accesibilidad de grupos finitamente presentados ^[14] que establece que para cualquier grupo finitamente presentado G existe un límite en la complejidad de las divisiones de G en subgrupos finitos (las divisiones deben satisfacer un supuesto técnico de estar "reducidas");
  • Teorema de accesibilidad generalizado de Bestvina-Feighn ^[15] que establece que para cualquier grupo G presentado finitamente existe un límite en la complejidad de las divisiones reducidas de G en subgrupos pequeños (la clase de grupos pequeños incluye, en particular, todos los grupos que no contienen subgrupos libres no abelianos);
  • Resultados de accesibilidad acilíndrica para grupos finitamente presentados (Sela, ^[16] Delzant ^[17] ) y finitamente generados (Weidmann ^[18] ) que limitan la complejidad de las denominadas divisiones acilíndricas , es decir divisiones en las que para sus árboles de cobertura de Bass-Serre los diámetros de subconjuntos fijos de elementos no triviales de G están uniformemente limitados.
• La teoría de las descomposiciones JSJ para grupos finitamente presentados. Esta teoría fue motivada por la noción clásica de descomposición JSJ en topología de 3-variedades y fue iniciada, en el contexto de los grupos hiperbólicos de palabras , por el trabajo de Sela. Las descomposiciones JSJ son desdoblamientos de grupos finitamente presentados sobre algunas clases de subgrupos pequeños (cíclicos, abelianos, noetherianos, etc., dependiendo de la versión de la teoría) que proporcionan una descripción canónica, en términos de algunos movimientos estándar, de todos los desdoblamientos del grupo sobre subgrupos de la clase. Hay varias versiones de las teorías de descomposición JSJ:
  • La versión inicial de Sela para divisiones cíclicas de grupos hiperbólicos de palabras libres de torsión . ^[19]
  • Versión de Bowditch de la teoría JSJ para grupos hiperbólicos de palabras (con posible torsión) que codifica sus divisiones en subgrupos virtualmente cíclicos. ^[20]
  • La versión de Rips y Sela de las descomposiciones JSJ de grupos finitamente presentados libres de torsión que codifican sus divisiones sobre subgrupos abelianos libres . ^[21]
  • La versión de Dunwoody y Sageev de las descomposiciones JSJ de grupos finitamente presentados sobre subgrupos noetherianos. ^[22]
  • La versión de Fujiwara y Papasoglu, también de las descomposiciones JSJ de grupos finitamente presentados sobre subgrupos noetherianos . ^[23]
  • Una versión de la teoría de descomposición JSJ para grupos finitamente presentados desarrollada por Scott y Swarup. ^[24]
• La teoría de los retículos en grupos de automorfismos de árboles. La teoría de los retículos de árboles fue desarrollada por Bass, Kulkarni y Lubotzky ^{[25] [26]} por analogía con la teoría de los retículos en grupos de Lie (es decir, subgrupos discretos de grupos de Lie de covolumen finito). Para un subgrupo discreto G del grupo de automorfismos de un árbol localmente finito X se puede definir una noción natural de volumen para el gráfico cociente de grupos A como

${\displaystyle vol(\mathbf {A} )=\sum _{v\in V}{\frac {1}{|A_{v}|}}.}$

El grupo G se denomina red X si vol( A )< ∞. La teoría de redes arbóreas resulta útil en el estudio de subgrupos discretos de grupos algebraicos sobre cuerpos locales no arquimedianos y en el estudio de grupos de Kac-Moody.

• Desarrollo de plegamientos y métodos de Nielsen para aproximar acciones grupales sobre árboles y analizar su estructura de subgrupos. ^{[27] [18] [28] [29]}
• La teoría de los fines y los fines relativos de los grupos, en particular varias generalizaciones del teorema de Stallings sobre grupos con más de un fin. ^{[30] [31] [32]}
• Resultados de rigidez cuasi-isométrica para grupos que actúan sobre árboles. ^[33]

Ha habido varias generalizaciones de la teoría de Bass-Serre:

• La teoría de complejos de grupos (véase Haefliger, ^[34] Corson ^[35] Bridson-Haefliger ^[36] ) proporciona una generalización de dimensiones superiores de la teoría de Bass-Serre. La noción de un grafo de grupos se reemplaza por la de un complejo de grupos, donde los grupos se asignan a cada celda en un complejo simplicial, junto con monomorfismos entre estos grupos correspondientes a inclusiones de caras (estos monomorfismos son necesarios para satisfacer ciertas condiciones de compatibilidad). Se puede entonces definir un análogo del grupo fundamental de un grafo de grupos para un complejo de grupos. Sin embargo, para que esta noción tenga buenas propiedades algebraicas (como la incrustabilidad de los grupos de vértices en él) y para que exista un buen análogo para la noción del árbol de recubrimiento de Bass-Serre en este contexto, se necesita requerir algún tipo de condición de "curvatura no positiva" para el complejo de grupos en cuestión (véase, por ejemplo, ^{[37] [38]} ).
• La teoría de acciones de grupo isométricas en árboles reales (o árboles R ) que son espacios métricos que generalizan la noción de árbol de la teoría de grafos . La teoría se desarrolló en gran parte en la década de 1990, donde la máquina de Rips de Eliyahu Rips en la teoría de la estructura de acciones de grupo estables en árboles R jugó un papel clave (ver Bestvina-Feighn ^[39] ). Esta teoría de la estructura asigna a una acción isométrica estable de un grupo finitamente generado G una cierta aproximación de "forma normal" de esa acción por una acción estable de G en un árbol simplicial y, por lo tanto, una división de G en el sentido de la teoría de Bass-Serre. Las acciones de grupo sobre árboles reales surgen naturalmente en varios contextos en topología geométrica : por ejemplo, como puntos límite del espacio de Teichmüller ^[40] (cada punto en el límite de Thurston del espacio de Teichmüller está representado por una laminación geodésica medida en la superficie; esta laminación se eleva a la cubierta universal de la superficie y un objeto naturalmente dual para esa elevación es un árbol R dotado de una acción isométrica del grupo fundamental de la superficie), como límites de Gromov-Hausdorff de acciones de grupo kleinianas reescaladas apropiadamente , ^{[41] [42]} y así sucesivamente. El uso de la maquinaria de árboles R proporciona atajos sustanciales en las pruebas modernas del Teorema de Hiperbolización de Thurston para 3-variedades de Haken . ^{[42] [43]} De manera similar, los árboles R juegan un papel clave en el estudio del espacio exterior de Culler - Vogtmann ^{[44] [45]} así como en otras áreas de la teoría de grupos geométricos ; Por ejemplo, los conos asintóticos de grupos a menudo tienen una estructura similar a un árbol y dan lugar a acciones grupales en árboles reales . ^{[46] [47]} El uso de árboles R , junto con la teoría de Bass-Serre, es una herramienta clave en el trabajo de Sela sobre la solución del problema del isomorfismo para grupos hiperbólicos de palabras (sin torsión) , la versión de Sela de la teoría de descomposición JSJ y el trabajo de Sela sobre la conjetura de Tarski para grupos libres y la teoría de grupos límite. ^{[48] [49]}
• La teoría de acciones grupales en árboles Λ , donde Λ es un grupo abeliano ordenado (como R o Z ) proporciona una generalización adicional tanto de la teoría de Bass-Serre como de la teoría de acciones grupales en árboles R (ver Morgan, ^[50] Alperin-Bass, ^[13] Chiswell ^[51] ).

• Teoría de grupos geométricos