Tensor de elasticidad

El tensor de elasticidad es un tensor de cuarto rango que describe la relación tensión-deformación en un material elástico lineal . ^{[1] [2]} Otros nombres son tensor de módulo elástico y tensor de rigidez . Los símbolos comunes incluyen y .${\displaystyle \mathbf {C}}$${\displaystyle \mathbf {Y}}$

La ecuación definitoria se puede escribir como

${\displaystyle T^{ij}=C^{ijkl}E_{kl}}$

donde y son los componentes del tensor de tensión de Cauchy y del tensor de deformación infinitesimal , y son los componentes del tensor de elasticidad. Se implica la suma sobre índices repetidos. ^{[nota 1]} Esta relación puede interpretarse como una generalización de la ley de Hooke a un continuo 3D .$Estilo de visualización T^{ij}}$${\displaystyle E_{kl}}$${\displaystyle C^{ijkl}}$

Un tensor general de cuarto rango en 3D tiene 3 ⁴ = 81 componentes independientes , pero el tensor de elasticidad tiene como máximo 21 componentes independientes. ^[3] Este hecho se desprende de la simetría de los tensores de tensión y deformación, junto con el requisito de que la tensión derive de un potencial de energía elástica . Para materiales isótropos , el tensor de elasticidad tiene solo dos componentes independientes, que pueden elegirse como el módulo volumétrico y el módulo de corte . ^[3]${\displaystyle \mathbf {F}}$${\displaystyle F_{ijkl}}$

La relación lineal más general entre dos tensores de segundo rango es${\displaystyle \mathbf {T} ,\mathbf {E} }$

${\displaystyle T^{ij}=C^{ijkl}E_{kl}}$

donde son los componentes de un tensor de cuarto rango . ^{[1] [nota 1]} El tensor de elasticidad se define como para el caso donde y son los tensores de tensión y deformación, respectivamente.${\displaystyle C^{ijkl}}$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle \mathbf {E} }$

El tensor de flexibilidad se define a partir de la relación inversa tensión-deformación:${\displaystyle \mathbf {K} }$

${\displaystyle E^{ij}=K^{ijkl}T_{kl}}$

Los dos están relacionados por

${\displaystyle K_{ijpq}C^{pqkl}={\frac {1}{2}}\left(\delta _{i}^{k}\delta _{j}^{l}+\delta _{i}^{l}\delta _{j}^{k}\right)}$

¿Dónde está el delta de Kronecker ? ^{[4] [5] [nota 2]}${\displaystyle \delta _{n}^{m}}$

A menos que se indique lo contrario, este artículo asume que se define a partir de la relación tensión-deformación de un material elástico lineal, en el límite de pequeña deformación.${\displaystyle \mathbf {C} }$

Para un material isótropo, se simplifica a${\displaystyle \mathbf {C} }$

${\displaystyle C^{ijkl}=\lambda \!\left(X\right)g^{ij}g^{kl}+\mu \!\left(X\right)\left(g^{ik}g^{jl}+g^{il}g^{kj}\right)}$

donde y son funciones escalares de las coordenadas del material , y es el tensor métrico en el marco de referencia del material. ^{[6] [7]} En una base de coordenadas cartesianas ortonormales, no hay distinción entre índices superiores e inferiores, y el tensor métrico se puede reemplazar con el delta de Kronecker:${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {g} }$

${\displaystyle C_{ijkl}=\lambda \!\left(X\right)\delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \!\left(X\right)\left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{kj}\right)\quad {\text{[Cartesian coordinates]}}}$

Sustituyendo la primera ecuación en la relación tensión-deformación y sumando sobre índices repetidos se obtiene

${\displaystyle T^{ij}=\lambda \!\left(X\right)\cdot \left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \right)g^{ij}+2\mu \!\left(X\right)E^{ij}}$

donde es la traza de . En esta forma, y ​​se puede identificar con el primer y segundo parámetro de Lamé . Una expresión equivalente es${\displaystyle \mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \equiv E_{\,i}^{i}}$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle T^{ij}=K\!\left(X\right)\cdot \left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \right)g^{ij}+2\mu \!\left(X\right)\Sigma ^{ij}}$

¿Dónde está el módulo volumétrico, y ${\displaystyle K=\lambda +(2/3)\mu }$

${\displaystyle \Sigma ^{ij}\equiv E^{ij}-(1/3)\left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \right)g^{ij}}$

son los componentes del tensor de corte .${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$

El tensor de elasticidad de un cristal cúbico tiene componentes

${\displaystyle {\begin{aligned}C^{ijkl}&=\lambda g^{ij}g^{kl}+\mu \left(g^{ik}g^{jl}+g^{il}g^{kj}\right)\\&+\alpha \left(a^{i}a^{j}a^{k}a^{l}+b^{i}b^{j}b^{k}b^{l}+c^{i}c^{j}c^{k}c^{l}\right)\end{aligned}}}$

donde , , y son vectores unitarios correspondientes a los tres ejes mutuamente perpendiculares de la celda unitaria del cristal . ^[8] Los coeficientes , , y son escalares; debido a que son independientes de las coordenadas, son constantes materiales intrínsecas. Por lo tanto, un cristal con simetría cúbica se describe mediante tres constantes elásticas independientes. ^[9]${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {c} }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \alpha }$

En una base de coordenadas cartesianas ortonormales, no hay distinción entre índices superiores e inferiores, y es el delta de Kronecker, por lo que la expresión se simplifica a${\displaystyle g^{ij}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{ijkl}&=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{kj}\right)\\&+\alpha \left(a_{i}a_{j}a_{k}a_{l}+b_{i}b_{j}b_{k}b_{l}+c_{i}c_{j}c_{k}c_{l}\right)\end{aligned}}}$

Existen expresiones similares para los componentes de otras clases de simetría cristalina. ^[10] El número de constantes elásticas independientes para varias de ellas se da en la tabla 1. ^[9]${\displaystyle \mathbf {C} }$

El tensor de elasticidad tiene varias simetrías que se derivan directamente de su ecuación definitoria . ^{[11] [2]} La simetría de los tensores de tensión y deformación implica que${\displaystyle T^{ij}=C^{ijkl}E_{kl}}$

${\displaystyle C_{ijkl}=C_{jikl}\qquad {\text{and}}\qquad C_{ijkl}=C_{ijlk},}$

Generalmente también se supone que la tensión se deriva de un potencial de energía elástica :${\displaystyle U}$

${\displaystyle T^{ij}={\frac {\partial U}{\partial E_{ij}}}}$

Lo que implica

${\displaystyle C_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial E_{ij}\partial E_{kl}}}}$

Por lo tanto, debe ser simétrico bajo el intercambio del primer y segundo par de índices:${\displaystyle \mathbf {C} }$

${\displaystyle C_{ijkl}=C_{klij}}$

Las simetrías enumeradas anteriormente reducen el número de componentes independientes de 81 a 21. Si un material tiene simetrías adicionales, este número se reduce aún más. ^[9]

Bajo rotación, los componentes se transforman como${\displaystyle C^{ijkl}}$

${\displaystyle C'_{ijkl}=R_{ip}R_{jq}R_{kr}R_{ls}C^{pqrs}}$

donde son los componentes covariantes en la base rotada y son los elementos de la matriz de rotación correspondiente . Una regla de transformación similar se aplica a otras transformaciones lineales.${\displaystyle C'_{ijkl}}$${\displaystyle R_{ij}}$

Los componentes de generalmente adquieren valores diferentes bajo un cambio de base. Sin embargo, para ciertos tipos de transformaciones, existen combinaciones específicas de componentes, llamadas invariantes, que permanecen invariables. Los invariantes se definen con respecto a un conjunto dado de transformaciones, formalmente conocido como operación de grupo . Por ejemplo, un invariante con respecto al grupo de transformaciones ortogonales propias, llamado SO(3) , es una cantidad que permanece constante bajo rotaciones arbitrarias en 3D.${\displaystyle \mathbf {C} }$

${\displaystyle \mathbf {C} }$posee dos invariantes lineales y siete invariantes cuadráticos con respecto a SO(3). ^[12] Los invariantes lineales son

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{1}&=C_{\,\,\,ij}^{ij}\\L_{2}&=C_{\,\,\,jj}^{ii}\end{aligned}}}$

y los invariantes cuadráticos son

${\displaystyle \left\{L_{1}^{2},\,L_{2}^{2},\,L_{1}L_{2},\,C_{ijkl}C^{ijkl},\,C_{iikl}C^{jjkl},\,C_{iikl}C^{jkjl},\,C_{kiil}C^{kjjl}\right\}}$

Estas cantidades son linealmente independientes, es decir, ninguna puede expresarse como una combinación lineal de las demás. También son completas, en el sentido de que no existen invariantes lineales o cuadráticos independientes adicionales. ^[12]

Una estrategia común en el análisis de tensores es descomponer un tensor en componentes más simples que se pueden analizar por separado. Por ejemplo, el tensor de gradiente de desplazamiento se puede descomponer como${\displaystyle \mathbf {W} =\mathbf {\nabla } \mathbf {\xi } }$

${\displaystyle \mathbf {W} ={\frac {1}{3}}\Theta \mathbf {g} +\mathbf {\Sigma } +\mathbf {R} }$

donde es un tensor de rango 0 (un escalar), igual a la traza de ; es simétrico y sin trazas; y es antisimétrico. ^[13] Por componentes,${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle \mathbf {W} }$${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$${\displaystyle \mathbf {R} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Sigma ^{ij}\equiv W^{(ij)}&={\frac {1}{2}}\left(W^{ij}+W^{ji}\right)-{\frac {1}{3}}\left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {W} \right)g^{ij}\\R^{ij}\equiv W^{[ij]}&={\frac {1}{2}}\left(W^{ij}-W^{ji}\right)\end{aligned}}}$

Aquí y más adelante, la simetrización y la antisimetrización se denotan por y , respectivamente. Esta descomposición es irreducible, en el sentido de ser invariante bajo rotaciones, y es una herramienta importante en el desarrollo conceptual de la mecánica del medio continuo. ^[11]${\displaystyle (ij)}$${\displaystyle [ij]}$

El tensor de elasticidad tiene rango 4 y sus descomposiciones son más complejas y variadas que las de un tensor de rango 2. ^[14] A continuación se describen algunos ejemplos.

Esta descomposición se obtiene por simetrización y antisimetrización de los dos índices centrales:

${\displaystyle C^{ijkl}=M^{ijkl}+N^{ijkl}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}M^{ijkl}\equiv C^{i(jk)l}={\frac {1}{2}}\left(C^{ijkl}+C^{ikjl}\right)\\N^{ijkl}\equiv C^{i[jk]l}={\frac {1}{2}}\left(C^{ijkl}-C^{ikjl}\right)\end{aligned}}}$

Una desventaja de esta descomposición es que y no obedecen a todas las simetrías originales de , ya que no son simétricas bajo el intercambio de los dos primeros índices. Además, no es irreducible, por lo que no es invariante bajo transformaciones lineales como las rotaciones. ^[2]${\displaystyle M^{ijkl}}$${\displaystyle N^{ijkl}}$${\displaystyle C^{ijkl}}$

Se puede construir una representación irreducible considerando la noción de un tensor totalmente simétrico, que es invariante bajo el intercambio de dos índices cualesquiera. Se puede construir un tensor totalmente simétrico sumando todas las permutaciones de los índices${\displaystyle \mathbf {S} }$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle 4!=24}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S^{ijkl}&={\frac {1}{4!}}\sum _{(i,j,k,l)\in S_{4}}C^{ijkl}\\&={\frac {1}{4!}}\left(C^{ijkl}+C^{jikl}+C^{ikjl}+\ldots \right)\end{aligned}}}$

donde es el conjunto de todas las permutaciones de los cuatro índices. ^[2] Debido a las simetrías de , esta suma se reduce a${\displaystyle \mathbb {S} _{4}}$${\displaystyle C^{ijkl}}$

${\displaystyle S^{ijkl}={\frac {1}{3}}\left(C^{ijkl}+C^{iklj}+C^{iljk}\right)}$

La diferencia

${\displaystyle A^{ijkl}\equiv C^{ijkl}-S^{ijkl}={\frac {1}{3}}\left(2C^{ijkl}-C^{ilkj}-C^{iklj}\right)}$

es un tensor asimétrico ( no antisimétrico). Se puede demostrar que la descomposición es única e irreducible con respecto a . En otras palabras, cualquier operación de simetrización adicional en o lo dejará sin cambios o lo evaluará como cero. También es irreducible con respecto a transformaciones lineales arbitrarias, es decir, el grupo lineal general . ^{[2] [15]}${\displaystyle C^{ijkl}=S^{ijkl}+A^{ijkl}}$${\displaystyle \mathbb {S} _{4}}$${\displaystyle \mathbf {S} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle G(3,\mathbb {R} )}$

Sin embargo, esta descomposición no es irreducible respecto del grupo de rotaciones SO(3), sino que se descompone en tres partes irreducibles, y en dos:${\displaystyle \mathbf {S} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}C^{ijkl}&=S^{ijkl}+A^{ijkl}\\&=\left(^{(1)}\!S^{ijkl}+\,^{(2)}\!S^{ijkl}+\,^{(3)}\!S^{ijkl}\right)+\,\left(^{(1)}\!A^{ijkl}+^{(2)}\!A^{ijkl}\right)\end{aligned}}}$

Véase Itin (2020) ^[15] para expresiones explícitas en términos de los componentes de .${\displaystyle \mathbf {C} }$

Esta representación descompone el espacio de tensores de elasticidad en una suma directa de subespacios:

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\left(^{(1)}\!{\mathcal {C}}\oplus \,^{(2)}\!{\mathcal {C}}\oplus \,^{(3)}\!{\mathcal {C}}\right)\oplus \,\left(^{(4)}\!{\mathcal {C}}\oplus \,^{(5)}\!{\mathcal {C}}\right)}$

con dimensiones

${\displaystyle 21=(1\oplus 5\oplus 9)\oplus (1\oplus 5)}$

Estos subespacios son cada uno isomorfos a un espacio tensorial armónico . ^{[15] [16]} Aquí, es el espacio de tensores tridimensionales, totalmente simétricos y sin trazas de rango . En particular, y corresponden a , y corresponden a , y corresponden a .${\displaystyle \mathbb {H} _{n}(\mathbb {R} ^{3})}$${\displaystyle \mathbb {H} _{n}(\mathbb {R} ^{3})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle ^{(1)}\!{\mathcal {C}}}$${\displaystyle ^{(4)}\!{\mathcal {C}}}$${\displaystyle \mathbb {H} _{1}}$${\displaystyle ^{(2)}\!{\mathcal {C}}}$${\displaystyle ^{(5)}\!{\mathcal {C}}}$${\displaystyle \mathbb {H} _{2}}$${\displaystyle ^{(3)}\!{\mathcal {C}}}$${\displaystyle \mathbb {H} _{4}}$

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