Estrés hidrostático
Componente de tensión mecánica sin esfuerzo cortante

En mecánica de medios continuos , la tensión hidrostática , también conocida como tensión isotrópica o tensión volumétrica , [1] es un componente de la tensión que contiene tensiones uniaxiales , pero no tensiones de corte . [2] Un caso especializado de tensión hidrostática contiene la tensión de compresión isotrópica , que cambia solo en volumen, pero no en forma. [1] La tensión hidrostática pura puede ser experimentada por un punto en un fluido como el agua. A menudo se usa indistintamente con " presión mecánica " y también se conoce como tensión de confinamiento, particularmente en el campo de la geomecánica . [ cita requerida ]

La tensión hidrostática es equivalente al promedio de las tensiones uniaxiales a lo largo de tres ejes ortogonales , por lo que es un tercio del primer invariante del tensor de tensión (es decir, la traza del tensor de tensión): [2]

Diagrama que muestra las tensiones hidrostáticas de compresión.

σ yo = I i 3 = 1 3 es ⁡ ( σ ) {\displaystyle \sigma _{h}={\frac {I_{i}}{3}}={\frac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})}

Por ejemplo, en coordenadas cartesianas (x,y,z) la tensión hidrostática es simplemente: σ yo = σ incógnita incógnita + σ y y + σ el el 3 {\displaystyle \sigma _{h}={\frac {\sigma _{xx}+\sigma _{yy}+\sigma _{zz}}{3}}}

Esfuerzo hidrostático y presión termodinámica

En el caso particular de un fluido incompresible , la presión termodinámica coincide con la presión mecánica (es decir, la opuesta a la tensión hidrostática): pag = − σ yo = − 1 3 es ⁡ ( σ ) {\displaystyle p=-\sigma _{h}=-{\frac {1}{3}}\nombre del operador {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})}

En el caso general de un fluido compresible , la presión termodinámica p ya no es proporcional al término de tensión isótropa (la presión mecánica), ya que hay un término adicional que depende de la traza del tensor de velocidad de deformación :

pag = − 1 3 es ⁡ ( σ ) + o es ⁡ ( o ) {\displaystyle p=-{\frac {1}{3}}\nombre del operador {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})+\zeta \nombre del operador {tr} ({\boldsymbol {\epsilon }})}

donde el coeficiente es la viscosidad volumétrica > La traza del tensor de velocidad de deformación corresponde a la compresión del flujo (la divergencia de la velocidad del flujo ): o {\estilo de visualización \zeta}

es ⁡ ( o ) = es ⁡ ( 1 2 ( ∇ tú + ( ∇ tú ) yo ) ) = ∇ ⋅ tú {\displaystyle \nombreoperador {tr} ({\boldsymbol {\epsilon }})=\nombreoperador {tr} \left({\frac {1}{2}}(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{T})\right)=\nabla \cdot \mathbf {u} }

Entonces, la expresión para la presión termodinámica generalmente se expresa como:

pag = − σ yo + o ∇ ⋅ tú = pag ¯ + o ∇ ⋅ tú {\displaystyle p=-\sigma _{h}+\zeta \nabla \cdot \mathbf {u} ={\bar {p}}+\zeta \nabla \cdot \mathbf {u} }

donde la presión mecánica se ha denotado con . En algunos casos, se puede suponer que la segunda viscosidad es constante, en cuyo caso, el efecto de la viscosidad volumétrica es que la presión mecánica no es equivalente a la presión termodinámica [3] como se indicó anteriormente. Sin embargo, esta diferencia suele descuidarse la mayor parte del tiempo (es decir, siempre que no estemos tratando con procesos como la absorción del sonido y la atenuación de las ondas de choque, [4] donde el segundo coeficiente de viscosidad se vuelve importante) al suponer explícitamente . La suposición de ajuste se denomina hipótesis de Stokes . [5] La validez de la hipótesis de Stokes se puede demostrar para el gas monoatómico tanto experimentalmente como a partir de la teoría cinética; [6] para otros gases y líquidos, la hipótesis de Stokes es generalmente incorrecta. pag ¯ {\textstyle {\bar {p}}} o {\textstyle \zeta} o {\textstyle \zeta} pag ¯ ≡ pag − o ∇ ⋅ tú , {\displaystyle {\bar {p}}\equiv p-\zeta \,\nabla \cdot \mathbf {u} ,} o = 0 {\textstyle \zeta = 0} o = 0 {\textstyle \zeta = 0}

Campo externo potencial en un fluido

Su magnitud en un fluido, , puede darse por la Ley de Stevin : σ yo estilo de visualización sigma _{h}

σ yo = ∑ i = 1 norte ρ i gramo yo i {\displaystyle \sigma _{h}=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\rho _{i}gh_{i}}

dónde

  • i es un índice que denota cada capa distinta de material por encima del punto de interés;
  • ρ i {\displaystyle \rho_{i}} es la densidad de cada capa;
  • gramo {\estilo de visualización g} es la aceleración gravitacional (aquí se supone constante; puede sustituirse por cualquier aceleración que sea importante para definir el peso );
  • yo i estilo de visualización h_{i}} es la altura (o espesor) de cada capa dada de material.

Por ejemplo, la magnitud de la tensión hidrostática sentida en un punto bajo diez metros de agua dulce sería

σ yo = ρ el gramo yo el = 1000 kilogramos metro − 3 ⋅ 9.8 EM − 2 ⋅ 10 metro = 9.8 ⋅ 10 4  kilogramos metro − 1 s − 2 = 9.8 ⋅ 10 4  Número de metros − 2 {\displaystyle \sigma _{h}=\rho _{w}gh_{w}=1000\,{\text{kg m}}^{-3}\cdot 9.8\,{\text{ms}}^{-2}\cdot 10\,{\text{m}}=9.8\cdot {10^{4}}{\text{ kg m}}^{-1}{\text{s}}^{-2}=9.8\cdot 10^{4}{\text{ N m}}^{-2}}

donde el índice w indica "agua".

Como la tensión hidrostática es isotrópica, actúa por igual en todas las direcciones. En forma tensorial , la tensión hidrostática es igual a

σ yo ⋅ I 3 = σ yo [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] = [ σ yo 0 0 0 σ yo 0 0 0 σ yo ] {\displaystyle \sigma _{h}\cdot I_{3}=\sigma _{h}\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}\sigma _{h}&0&0\\0&\sigma _{h}&0\\0&0&\sigma _{h}\end{array}}\right]}

donde es la matriz identidad de 3 por 3 . I 3 {\displaystyle I_{3}}

La tensión de compresión hidrostática se utiliza para determinar el módulo volumétrico de los materiales.

Notas

  1. ^ ab Megson, THG (Thomas Henry Gordon) (2005). Análisis estructural y de tensiones (2.ª ed.). Ámsterdam: Elsevier Butterworth-Heineman. pp. 400. ISBN 0-08-045534-4.OCLC 76822373  .
  2. ^ ab Soboyejo, Winston (2003). "3.6 Esfuerzo hidrostático y desviatorio". Propiedades mecánicas de materiales de ingeniería . Marcel Dekker. págs. 88-89. ISBN 0-8247-8900-8.OCLC 300921090  .
  3. ^ Landau y Lifshitz (1987) págs. 44-45, 196
  4. ^ Blanco (2006) pág. 67.
  5. ^ Stokes, GG (2007). Sobre las teorías de la fricción interna de fluidos en movimiento y del equilibrio y movimiento de sólidos elásticos.
  6. ^ Vincenti, WG, Kruger Jr., CH (1975). Introducción a la dinámica física de los gases. Introducción a la dinámica física de los gases/Huntington.

Referencias

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