Facetado
En geometría , el facetado (también escrito facetado ) es el proceso de eliminar partes de un polígono , poliedro o politopo , sin crear ningún vértice nuevo .
Se pueden crear nuevos bordes de un poliedro facetado a lo largo de las diagonales de las caras o de las diagonales del espacio interno . Un poliedro facetado tendrá dos caras en cada borde y creará nuevos poliedros o compuestos de poliedros.
El facetado es el proceso recíproco o dual de la estelación . Por cada estelación de un politopo convexo , existe un facetado dual del politopo dual .
Polígonos facetados
Por ejemplo, un pentágono regular tiene una faceta simétrica, el pentagrama , y el hexágono regular tiene dos facetas simétricas, una como polígono y otra como compuesto de dos triángulos.
| Pentágono | Hexágono | Decágono | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
 |  |  | |||||||
| Pentagrama {5/2} | Hexágono estrellado | Compuesto 2{3} | Decagramo {10/3} | Compuesto 2{5} | Compuesto 2{5/2} | Decágono estrellado | |||
 |  | .svg/1280px-Regular_star_figure_2(3,1).svg.png) |  | .svg/1280px-Regular_star_figure_2(5,1).svg.png) | .svg/1280px-Regular_star_figure_2(5,2).svg.png) |  |  |  |  |
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Poliedros facetados
El icosaedro regular se puede dividir en tres poliedros regulares de Kepler-Poinsot : el pequeño dodecaedro estrellado, el gran dodecaedro y el gran icosaedro. Todos ellos tienen 30 aristas.
| Convexo | Estrellas regulares | ||
|---|---|---|---|
| icosaedro | gran dodecaedro | pequeño dodecaedro estrellado | gran icosaedro |
 |  |  |  |
El dodecaedro regular se puede facetar para formar un poliedro regular de Kepler-Poinsot , tres poliedros estrellados uniformes y tres poliedros compuestos regulares . Los poliedros estrellados uniformes y compuestos de cinco cubos se construyen mediante diagonales de caras . El dodecaedro excavado es un facetado con caras hexagonales estrelladas.
| Convexo | Estrella regular | Estrellas uniformes | Vértice-transitivo | ||
|---|---|---|---|---|---|
| dodecaedro | gran dodecaedro estrellado | Icosidodecaedro ditrigonal pequeño | Dodeca-dodecaedro ditrigonal | Gran icosidodecaedro ditrigonal | Dodecaedro excavado |
 |  |  |  |  |  |
| Convexo | Compuestos regulares | ||
|---|---|---|---|
| dodecaedro | cinco tetraedros | cinco cubos | diez tetraedros |
|  |  |  |
Historia
El facetado no ha sido estudiado tan extensamente como la estelación .
- En 1568 Wenzel Jamnitzer publicó su libro Perspectiva Corporum Regularium , que muestra muchas estelaciones y facetas de poliedros. [1]
- En 1619, Kepler describió un compuesto regular de dos tetraedros que encaja dentro de un cubo, y al que llamó Stella octangula .
- En 1858, Bertrand derivó los poliedros estrellados regulares ( poliedros de Kepler-Poinsot ) mediante facetado del icosaedro y el dodecaedro convexos regulares .
- En 1974, Bridge enumeró las facetas más sencillas de los poliedros regulares , incluidas las del dodecaedro .
- En 2006, Inchbald describió la teoría básica de los diagramas de facetado para poliedros. Para un vértice dado, el diagrama muestra todas las aristas y facetas posibles (nuevas caras) que se pueden utilizar para formar facetas de la envoltura original. Es dual al diagrama de estelación del poliedro dual , que muestra todas las aristas y vértices posibles para algún plano de la cara del núcleo original.
Referencias
Notas
- ^ Tesoro matemático: Los sólidos platónicos de Wenzel Jamnitzer por Frank J. Swetz (2013): "En este estudio de los cinco sólidos platónicos, Jamnitzer truncó, esteló y facetó los sólidos regulares [...]"
Bibliografía
- Bertrand, J. Note sur la théorie des polyèdres réguliers, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences , 46 (1858), págs. 79–82.
- Bridge, NJ Facetado del dodecaedro, Acta crystallographica A30 (1974), págs. 548–552.
- Inchbald, G. Diagramas de facetas, The mathematics gazette , 90 (2006), págs. 253–261.
- Alan Holden, Formas, espacio y simetría . Nueva York: Dover, 1991. p.94
Enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Facetado". MathWorld .
- Olshevsky, George. "Faceting". Glosario de hiperespacio . Archivado desde el original el 4 de febrero de 2007.
