Sutras de la Shulba

Los Shulva Sutras o Śulbasūtras ( sánscrito : शुल्बसूत्र; śulba : "cuerda, cuerda, soga") son textos sutra que pertenecen al ritual Śrauta y contienen geometría relacionada con la construcción del altar de fuego .

Los Shulba Sutras forman parte de un corpus de textos más amplio llamado Shrauta Sutras , considerados apéndices de los Vedas . Son las únicas fuentes de conocimiento de las matemáticas indias del período védico . Las formas únicas de los Vedi (altares de fuego) se asociaban con dones únicos de los dioses. Por ejemplo, "quien desee el cielo debe construir un altar de fuego en forma de halcón"; "quien desee ganar el mundo de Brahman debe construir un altar de fuego en forma de tortuga" y "quien desee destruir a los enemigos actuales y futuros debe construir un altar de fuego en forma de rombo". ^[1]

Los cuatro principales Shulba Sutras, que matemáticamente son los más significativos, son los atribuidos a Baudhayana , Manava , Apastamba y Katyayana . ^{[2] Su idioma es} el sánscrito védico tardío , lo que apunta a una composición aproximadamente durante el primer milenio a . C. ^[2] El más antiguo es el sutra atribuido a Baudhayana, posiblemente compilado alrededor del 800 a. C. al 500 a. C. ^[2] Pingree dice que el Apastamba es probablemente el siguiente más antiguo; coloca al Katyayana y al Manava tercero y cuarto cronológicamente, sobre la base de préstamos aparentes. ^[3] Según Plofker, el Katyayana fue compuesto después de "la gran codificación gramatical del sánscrito por Pāṇini probablemente a mediados del siglo IV a. C.", pero ella ubica al Manava en el mismo período que el Baudhayana. ^[4]

Respecto a la composición de los textos védicos, Plofker escribe:

La veneración védica del sánscrito como lengua sagrada, cuyos textos divinamente revelados debían ser recitados, escuchados y memorizados en lugar de ser transmitidos por escrito, ayudó a dar forma a la literatura sánscrita en general... Así, los textos se componían en formatos que pudieran memorizarse fácilmente: ya fueran aforismos en prosa condensados ​​( sūtras, una palabra que luego se aplicó para significar una regla o algoritmo en general) o versos, particularmente en el período clásico. Naturalmente, la facilidad de memorización a veces interfería con la facilidad de comprensión. Como resultado, la mayoría de los tratados se complementaban con uno o más comentarios en prosa... ^[5]

Existen múltiples comentarios para cada uno de los Shulba Sutras, pero estos fueron escritos mucho después de las obras originales. El comentario de Sundararāja sobre el Apastamba, por ejemplo, proviene de finales del siglo XV d.C. ^[6] y el comentario de Dvārakãnātha sobre el Baudhayana parece tomar prestado de Sundararāja. ^[7] Según Staal, ciertos aspectos de la tradición descrita en los Shulba Sutras habrían sido "transmitidos oralmente", y señala lugares en el sur de la India donde el ritual del altar de fuego aún se practica y se conserva una tradición oral. ^[8] Sin embargo, la tradición del altar de fuego se extinguió en gran medida en la India, y Plofker advierte que aquellos lugares donde la práctica permanece pueden reflejar un renacimiento védico posterior en lugar de una tradición ininterrumpida. ^[4] La evidencia arqueológica de las construcciones de altar descritas en los Shulba Sutras es escasa. En las excavaciones de 1957-59 realizadas por GR Sharma en Kausambi se encontró un gran altar de fuego con forma de halcón ( śyenaciti ), que data del siglo II a. C. , ^[9] pero este altar no se ajusta a las dimensiones prescritas por los Shulba Sutras. ^{[3] [10]}

El contenido de los Shulba Sutras es probablemente más antiguo que las obras mismas. El Satapatha Brahmana y el Taittiriya Samhita , cuyo contenido data de finales del segundo milenio o principios del primer milenio a. C., describen altares cuyas dimensiones parecen estar basadas en el triángulo rectángulo con catetos de 15 y 36 pada , uno de los triángulos enumerados en el Baudhayana Shulba Sutra. ^{[11] [12]}

No se conoce el origen de las matemáticas en los Shulba Sutras. Es posible, como lo propone Gupta, que la geometría se desarrollara para satisfacer las necesidades del ritual. ^[13] Algunos académicos van más allá: Staal plantea la hipótesis de un origen ritual común para la geometría india y griega, citando un interés y un enfoque similares para la duplicación y otros problemas de transformación geométrica. ^[14] Seidenberg, seguido por van der Waerden, ve un origen ritual para las matemáticas de manera más amplia, postulando que los principales avances, como el descubrimiento del teorema de Pitágoras, ocurrieron en un solo lugar y se difundieron desde allí al resto del mundo. ^{[15] [16]} Van der Waerden menciona que el autor de los Sulbha Sutras existió antes del 600 a. C. y no podría haber sido influenciado por la geometría griega. ^{[17] [18]} Mientras que Boyer menciona las matemáticas de la antigua Babilonia (c. 2000 a. C.-1600 a. C.) como un posible origen, el c. 1800 a. C. Plimpton 322 tablilla que contiene una tabla de tercetos, sin embargo también afirma que los sutras Shulba contienen una fórmula que no se encuentra en las fuentes babilónicas. ^{[19] [1]} KS Krishnan afirma que los sutras Shulba son anteriores a los tercetos de Pitágoras mesopotámicos. ^[20] Seidenberg sostiene que o bien "la antigua Babilonia obtuvo el teorema de Pitágoras de la India o que la antigua Babilonia y la India lo obtuvieron de una tercera fuente". Seidenberg sugiere que esta fuente podría ser sumeria y puede ser anterior a 1700 a. C. ^[21] En contraste, Pingree advierte que "sería un error ver en las obras [de los constructores del altar] el origen único de la geometría; otros en la India y en otros lugares, ya sea en respuesta a problemas prácticos o teóricos, bien pueden haber avanzado tanto sin que sus soluciones hayan sido memorizadas o finalmente transcritas en manuscritos". ^[22] Plofker también plantea la posibilidad de que "el conocimiento geométrico existente [fuera] incorporado conscientemente a la práctica ritual". ^[23]

1. Apastamba
2. Baudhayana
3. Manava
4. Katyayana
5. Maitrayaniya (algo similar al texto de Manava)
6. Varaha (en manuscrito)
7. Vadhula (en manuscrito)
8. Hiranyakeshin (similar a Apastamba Shulba Sutras)

Los sutras contienen enunciados del teorema de Pitágoras , tanto en el caso de un triángulo rectángulo isósceles como en el caso general, así como listas de ternas pitagóricas . ^[24] En el Baudhayana, por ejemplo, las reglas se dan de la siguiente manera:

1.9. La diagonal de un cuadrado produce el doble del área [del cuadrado].
[...]
1.12. Las áreas [de los cuadrados] producidas por separado por las longitudes de las anchuras de un rectángulo juntas son iguales al área [del cuadrado] producida por la diagonal.
1.13. Esto se observa en rectángulos que tienen lados 3 y 4, 12 y 5, 15 y 8, 7 y 24, 12 y 35, 15 y 36. ^[25]

De manera similar, las reglas de Apastamba para construir ángulos rectos en los altares de fuego utilizan las siguientes ternas pitagóricas: ^{[26] [27]}

• ${\estilo de visualización (3,4,5)}$
• ${\estilo de visualización (5,12,13)}$
• ${\estilo de visualización (8,15,17)}$
• ${\estilo de visualización (12,35,37)}$

Además, los sutras describen procedimientos para construir un cuadrado con un área igual a la suma o a la diferencia de dos cuadrados dados. Ambas construcciones se realizan considerando que el cuadrado más grande es el cuadrado de la diagonal de un rectángulo y que los dos cuadrados más pequeños son los cuadrados de los lados de ese rectángulo. La afirmación de que cada procedimiento produce un cuadrado del área deseada es equivalente a la afirmación del teorema de Pitágoras. Otra construcción produce un cuadrado con un área igual a la de un rectángulo dado. El procedimiento consiste en cortar un trozo rectangular del extremo del rectángulo y pegarlo al costado de modo de formar un gnomon de un área igual al rectángulo original. Dado que un gnomon es la diferencia de dos cuadrados, el problema se puede resolver utilizando una de las construcciones anteriores. ^[28]

El sutra Baudhayana Shulba ofrece la construcción de formas geométricas como cuadrados y rectángulos. ^[29] También ofrece, a veces de forma aproximada, transformaciones geométricas que preservan el área de una forma geométrica a otra. Estas incluyen la transformación de un cuadrado en un rectángulo , un trapezoide isósceles , un triángulo isósceles , un rombo y un círculo , y la transformación de un círculo en un cuadrado. ^[29] En estos textos, las aproximaciones, como la transformación de un círculo en un cuadrado, aparecen junto a afirmaciones más precisas. Como ejemplo, la afirmación de rodear el cuadrado se da en Baudhayana como:

2.9. Si se desea transformar un cuadrado en un círculo, se extiende una cuerda de la mitad de la diagonal del cuadrado desde el centro hacia el este, y se añade un tercio de la parte que queda fuera del lado oriental del cuadrado, para dibujar el círculo deseado. ^[30]

y el enunciado de la cuadratura del círculo se da como:

2.10. Para transformar un círculo en un cuadrado, se divide el diámetro en ocho partes; una [de esas] partes, después de ser dividida en veintinueve partes, se reduce en veintiocho de ellas y, además, en la sexta [de la parte restante] menos la octava [de la sexta parte].
2.11. Alternativamente, se divide [el diámetro] en quince partes y se reduce en dos de ellas; esto da el lado aproximado del cuadrado [deseado]. ^[30]

Las construcciones en 2.9 y 2.10 dan un valor de π como 3.088, mientras que la construcción en 2.11 da π como 3.004. ^[31]

La construcción de altares también condujo a una estimación de la raíz cuadrada de 2, como se encuentra en tres de los sutras. En el sutra Baudhayana aparece como:

2.12. La medida se aumenta en su tercio y este [tercio] a su vez en su propio cuarto menos la trigésima cuarta parte [de ese cuarto]; esto es [el valor de] la diagonal de un cuadrado [cuyo lado es la medida]. ^[30]

lo que lleva al valor de la raíz cuadrada de dos a ser:

${\displaystyle {\sqrt {2}}\aprox 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}={\frac {577}{408}}=1,4142...}$^{[32] [33]}

De hecho, un método temprano para calcular raíces cuadradas se puede encontrar en algunos Sutras ^{[ cita requerida ]} , el método involucra la fórmula recursiva : para valores grandes de x, que se basa en la identidad no recursiva para valores de r extremadamente pequeños en relación a a .${\displaystyle {\sqrt {x}}\approx {\sqrt {x-1}}+{\frac {1}{2\cdot {\sqrt {x-1}}}}}$${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+r}}\approx a+{\frac {r}{2\cdot a}}}$

También se ha sugerido, por ejemplo, por Bürk ^[34] que esta aproximación de √2 implica el conocimiento de que √2 es irracional . En su traducción de los Elementos de Euclides , Heath describe una serie de hitos necesarios para que se considere que se ha descubierto la irracionalidad, y señala la falta de evidencia de que las matemáticas indias hubieran alcanzado esos hitos en la era de los Shulba Sutras. ^[35]

Wikiquote tiene citas relacionadas con Shulba Sutras .

• Kalpa (Vedanga)

• Boyer, Carl B. (1991). Una historia de las matemáticas (segunda edición). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-54397-7.
• Bürk, Albert (1901). "Das Āpastamba-Śulba-Sūtra, herausgegeben, übersetzt und mit einer Einleitung versehen". Zeitschrift der Deutschen Morgenländischen Gesellschaft (en alemán). 55 : 543–591.
• Delire, Jean Michele (2009). "Inferencias cronológicas a partir de una comparación entre comentarios sobre diferentes Śulbasūtras ". En Wujastyk, Dominik (ed.). Matemáticas y medicina en sánscrito . pp. 37–62.
• Bryant, Edwin (2001). La búsqueda de los orígenes de la cultura védica: el debate sobre la migración indoaria . Oxford University Press. ISBN 9780195137774.
• Cooke, Roger (2005) [Publicado por primera vez en 1997]. La historia de las matemáticas: un breve curso . Wiley-Interscience . ISBN 0-471-44459-6.
• Datta, Bibhutibhushan (1932). La ciencia de la sulba. Un estudio sobre la geometría hindú temprana. Universidad de Calcuta .
• Gupta, RC (1997). "Baudhāyana". En Selin, Helaine (ed.). Enciclopedia de la historia de la ciencia, la tecnología y la medicina en culturas no occidentales . Springer. ISBN 978-0-7923-4066-9.
• Heath, Sir Thomas L. (1925) [1908]. Los trece libros de los Elementos de Euclides, traducidos del texto de Heiberg, con introducción y comentario. Vol. I (2.ª ed.). Nueva York: Dover.
• Pingree, David (1981), Gonda, Jan (ed.), Jyotiḥśāstra: literatura astral y matemática , Una historia de la literatura india, vol. VI, Literatura científica y técnica
• Plofker, Kim (2007). "Matemáticas en la India". En Katz, Victor J (ed.). Las matemáticas de Egipto, Mesopotamia, China, India e Islam: un libro de consulta . Princeton University Press . ISBN 978-0-691-11485-9.
• Plofker, Kim (2009). Matemáticas en la India . Princeton University Press. ISBN 9780691120676.
• Sarma, KV (1997). "Sulbasutras". En Selin, Helaine (ed.). Enciclopedia de la historia de la ciencia, la tecnología y la medicina en culturas no occidentales . Springer. ISBN 978-0-7923-4066-9.
• Seidenberg, A. (1978). "El origen de las matemáticas". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 18 (4): 301–342. doi :10.1007/BF00348435. S2CID  118671661.
• Seidenberg, A. (1983). "La geometría de los rituales védicos". En Staal, Frits (ed.). Agni: El ritual védico del altar de fuego . Berkeley: Asian Humanities Press.
• Staal, Frits (1999). "Geometría griega y védica". Revista de filosofía india . 27 : 105–127. doi :10.1023/A:1004364417713. S2CID  16466375.
• Thibaut, George (1875). "Sobre los Śulvasútras". Revista de la Sociedad Asiática de Bengala . 44 : 227–275.
• van der Waerden, Bartel Leendert (1983). Geometría y Álgebra en las Civilizaciones Antiguas . Springer-Verlag. ISBN 9783642617812.

• "El Śulvasútra de Baudháyana, con el comentario de Dvárakánáthayajvan", de George Thibaut, fue publicado en una serie de números de The Pandit, una revista mensual del Benares College dedicada a la literatura sánscrita. Nótese que el comentario no está traducido.
  • (1875) 9 (108): 292–298
  • (1875–1876) 10 (109): 17–22, (110): 44–50, (111): 72–74, (114): 139–146, (115): 166–170, (116): 186–194, (117): 209–218
  • (nueva serie) (1876–1877) 1 (5): 316–322, (9): 556–578, (10): 626–642, (11): 692–706, (12): 761–770
• "El Śulbapariśishta de Kátyáyana con el comentario de Ráma, hijo de Súryadása", de George Thibaut, se publicó en una serie de números de The Pandit, una revista mensual del Benares College dedicada a la literatura sánscrita. Nótese que el comentario no se ha traducido.
  • (nueva serie) (1882) 4 (1–4): 94–103, (5–8): 328–339, (9–10): 382–389, (9–10): 487–491
• Bürk, Albert (1902). "Das Āpastamba-Śulba-Sūtra, herausgegeben, übersetzt und mit einer Einleitung versehen". Zeitschrift der Deutschen Morgenländischen Gesellschaft (en alemán). 56 : 327–391. Transcripción y análisis en Bürk (1901).
• Sen, SN; Bag, AK (1983). Los Śulba Sūtras de Baudhāyana, Āpastamba, Kātyāyana y Mānava con texto, traducción al inglés y comentarios . Nueva Delhi: Academia Nacional de Ciencias de la India.