Subgrupo de congruencia

En matemáticas , un subgrupo de congruencia de un grupo de matrices con entradas enteras es un subgrupo definido por condiciones de congruencia en las entradas. Un ejemplo muy simple es el subgrupo de matrices enteras invertibles de 2 × 2 con determinante 1 en el que las entradas fuera de la diagonal son pares . De manera más general, la noción de subgrupo de congruencia se puede definir para subgrupos aritméticos de grupos algebraicos ; es decir, aquellos para los que tenemos una noción de "estructura integral" y podemos definir funciones de reducción módulo un entero.

La existencia de subgrupos de congruencia en un grupo aritmético le proporciona una gran cantidad de subgrupos; en particular, muestra que el grupo es residualmente finito . Una cuestión importante con respecto a la estructura algebraica de los grupos aritméticos es el problema de los subgrupos de congruencia , que plantea la cuestión de si todos los subgrupos de índice finito son esencialmente subgrupos de congruencia.

Los subgrupos de congruencia de matrices 2 × 2 son objetos fundamentales en la teoría clásica de formas modulares ; la teoría moderna de formas automórficas hace un uso similar de los subgrupos de congruencia en grupos aritméticos más generales.

El entorno más simple e interesante en el que se pueden estudiar los subgrupos de congruencia es el del grupo modular . ${\displaystyle \mathrm {SL} _ {2}(\mathbb {Z} )}$^[1]

Si es un entero existe un homomorfismo inducido por la reducción módulo morfismo ⁠ ⁠ . El subgrupo de congruencia principal de nivel en es el núcleo de ⁠ ⁠ , y se suele denotar ⁠ ⁠ . Explícitamente se describe de la siguiente manera:${\displaystyle n\geqslant 1}$${\displaystyle \pi _{n}:\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\to \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} _ {2}(\mathbb {Z} )}$$estilo de visualización {\pi _{n}}$${\displaystyle \Gamma (n)}$

${\displaystyle \Gamma (n)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ):a,d\equiv 1{\pmod {n}},\quad b,c\equiv 0{\pmod {n}}\right\}}$

Esta definición implica inmediatamente que es un subgrupo normal de índice finito en ⁠ ⁠ . El teorema de aproximación fuerte (en este caso una consecuencia fácil del teorema del resto chino ) implica que es sobreyectivo, de modo que el cociente es isomorfo a ⁠ ⁠ . Calculando el orden de este grupo finito se obtiene la siguiente fórmula para el índice:${\displaystyle \Gamma (n)}$${\estilo de visualización \Gamma}$$estilo de visualización {\pi _{n}}$${\displaystyle \Gamma /\Gamma (n)}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle [\Gamma :\Gamma (n)]=n^{3}\cdot \prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)}$

donde se toma el producto de todos los números primos dividiendo ⁠ ⁠${\estilo de visualización n}$ .

Si entonces la restricción de a cualquier subgrupo finito de es inyectiva, esto implica el siguiente resultado: ${\displaystyle n\geqslant 3}$$estilo de visualización {\pi _{n}}$${\estilo de visualización \Gamma}$

Si entonces los subgrupos de congruencia principales están libres de torsión .${\displaystyle n\geqslant 3}$${\displaystyle \Gamma (n)}$

El grupo contiene y no está libre de torsión. Por otra parte, su imagen en sí está libre de torsión y el cociente del plano hiperbólico por este subgrupo es una esfera con tres cúspides.${\displaystyle \Gamma (2)}$${\displaystyle -\nombre del operador {Id} }$${\displaystyle \operatorname {PSL} _ {2}(\mathbb {Z} )}$

Un subgrupo en se llama subgrupo de congruencia si existe tal que contiene al subgrupo de congruencia principal ⁠ ⁠ . El nivel de es entonces el más pequeño de tales ⁠ ⁠ .${\estilo de visualización H}$${\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} _ {2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle n\geqslant 1}$${\estilo de visualización H}$${\displaystyle \Gamma (n)}$ ${\estilo de visualización l}$${\estilo de visualización H}$${\estilo de visualización n}$

De esta definición se desprende que:

• Los subgrupos de congruencia son de índice finito en ⁠ ⁠${\estilo de visualización \Gamma}$ ;
• Los subgrupos de congruencia de nivel están en correspondencia uno a uno con los subgrupos de ⁠ ⁠ .${\displaystyle \ell}$${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} /\ell \mathbb {Z} )}$

El subgrupo ⁠ ⁠${\displaystyle \Gamma _{0}(n)}$ , a veces llamado subgrupo de congruencia de Hecke de nivel ⁠ ⁠${\estilo de visualización n}$ , se define como la preimagen por del grupo de matrices triangulares superiores. Es decir,$estilo de visualización {\pi _{n}}$

${\displaystyle \Gamma _{0}(n)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma :c\equiv 0{\pmod {n}}\right\}.}$

El índice viene dado por la fórmula:

${\displaystyle [\Gamma :\Gamma _{0}(n)]=n\cdot \prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)}$

donde el producto se toma sobre todos los números primos que dividen a ⁠ ⁠${\estilo de visualización n}$ . Si es primo entonces está en biyección natural con la línea proyectiva sobre el cuerpo finito ⁠ ⁠ , y los representantes explícitos para las clases laterales (izquierda o derecha) de en son las siguientes matrices:${\estilo de visualización p}$${\displaystyle \Gamma /\Gamma _ {0}(p)}$${\displaystyle \mathbb {F}_{p}}$${\displaystyle \Gamma _{0}(p)}$${\estilo de visualización \Gamma}$

${\displaystyle \operatorname {Id} ,{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}},\ldots ,{\begin{pmatrix}1&0\\p-1&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$

Los subgrupos nunca están libres de torsión ya que siempre contienen la matriz ⁠ ⁠ . Hay infinitos tales que la imagen de en también contiene elementos de torsión.${\displaystyle \Gamma _{0}(n)}$${\estilo de visualización -I}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle \Gamma _{0}(n)}$${\displaystyle \mathrm {PSL} _ {2}(\mathbb {Z} )}$

El subgrupo es la preimagen del subgrupo de matrices unipotentes:${\displaystyle \Gamma _{1}(n)}$

${\displaystyle \Gamma _{1}(n)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma :a,d\equiv 1{\pmod {n}},c\equiv 0{\pmod {n}}\right\}.}$

Sus índices vienen dados por la fórmula:

${\displaystyle [\Gamma :\Gamma _{1}(n)]=n^{2}\cdot \prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)}$

El subgrupo theta es el subgrupo de congruencia de definido como la preimagen del grupo cíclico de orden dos generado por . Es de índice 3 y se describe explícitamente por: ^[2]${\estilo de visualización \Lambda}$${\estilo de visualización \Gamma}$${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle \Lambda =\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma :ac\equiv 0{\pmod {2}},bd\equiv 0{\pmod {2}}\right\}.}$

Estos subgrupos satisfacen las siguientes inclusiones: ⁠ ⁠${\displaystyle \Gamma (n)\subset \Gamma _{1}(n)\subset \Gamma _{0}(n)}$ , así como ⁠ ⁠${\displaystyle \Gamma (2)\subset \Lambda }$ .

Los subgrupos de congruencia del grupo modular y las superficies de Riemann asociadas se distinguen por algunas propiedades geométricas y topológicas particularmente interesantes. A continuación se muestra un ejemplo:

• Sólo hay un número finito de cubiertas de congruencia de la superficie modular que tienen género cero; ^[3]
• ( Teorema 3/16 de Selberg ) Si es una función propia no constante del operador de Laplace-Beltrami en una cubierta de congruencia de la superficie modular con valor propio entonces ⁠ ⁠ .${\displaystyle f}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda \geqslant {\tfrac {3}{16}}}$

También existe una colección de operadores distinguidos llamados operadores de Hecke sobre funciones suaves en cubiertas de congruencia, que conmutan entre sí y con el operador de Laplace-Beltrami y son diagonalizables en cada espacio propio de este último. Sus funciones propias comunes son un ejemplo fundamental de formas automórficas . Otras formas automórficas asociadas a estos subgrupos de congruencia son las formas modulares holomorfas, que pueden interpretarse como clases de cohomología sobre las superficies de Riemann asociadas a través del isomorfismo de Eichler-Shimura .

Se ha investigado el normalizador de in ; Un resultado de la década de 1970, debido a Jean-Pierre Serre , Andrew Ogg y John G. Thompson es que la curva modular correspondiente (la superficie de Riemann resultante de tomar el cociente del plano hiperbólico por ) tiene género cero (es decir, la curva modular es una esfera de Riemann) si y solo si es 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 o 71. Cuando Ogg escuchó más tarde sobre el grupo monstruoso , notó que estos eran precisamente los factores primos del tamaño de , escribió un artículo ofreciendo una botella de whisky Jack Daniel's a cualquiera que pudiera explicar este hecho: este fue un punto de partida para la teoría del monstruoso alcohol ilegal , que explica las profundas conexiones entre la teoría de la función modular y el grupo monstruoso.${\displaystyle \Gamma _{0}(p)^{+}}$${\displaystyle \Gamma _{0}(p)}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \Gamma _{0}(p)^{+}}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle M}$

La noción de grupo aritmético es una vasta generalización basada en el ejemplo fundamental de ⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} )}$ . En general, para dar una definición se necesita un grupo algebraico semisimple definido sobre y una representación fiel ⁠ ⁠ , también definida sobre ⁠ ⁠ , de en ⁠ ⁠ ; entonces un grupo aritmético en es cualquier grupo que sea de índice finito en el estabilizador de una subred de índice finito en ⁠ ⁠ .${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \mathrm {GL} _{d}}$${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$${\displaystyle \Gamma \subset \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$

Sea un grupo aritmético: por simplicidad es mejor suponer que ⁠ ⁠ . Como en el caso de hay morfismos de reducción ⁠ ⁠ . Podemos definir un subgrupo de congruencia principal de como el núcleo de (que puede depender a priori de la representación ⁠ ⁠ ), y un subgrupo de congruencia de como cualquier subgrupo que contenga un subgrupo de congruencia principal (una noción que no depende de una representación). Son subgrupos de índice finito que corresponden a los subgrupos de los grupos finitos ⁠ ⁠ , y el nivel está definido.${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma \subset \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \pi _{n}:\Gamma \to \mathrm {GL} _{d}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \pi _{n}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \pi _{n}(\Gamma )}$

Los principales subgrupos de congruencia de son los subgrupos dados por:${\displaystyle \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \Gamma (n)}$

${\displaystyle \Gamma (n)=\left\{(a_{ij})\in \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} ):\forall i\,a_{ii}\equiv 1{\pmod {n}},\,\forall i\neq j\,a_{ij}\equiv 0{\pmod {n}}\right\}}$

Los subgrupos de congruencia corresponden entonces a los subgrupos de .${\displaystyle \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$

Otro ejemplo de grupo aritmético lo dan los grupos donde es el anillo de los números enteros en un cuerpo numérico , por ejemplo ⁠ ⁠ . Entonces, si es un ideal primo que divide a un primo racional , los subgrupos que son el núcleo de la función de reducción mod son un subgrupo de congruencia, ya que contienen el subgrupo de congruencia principal definido por la reducción módulo ⁠ ⁠ .${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(O)}$${\displaystyle O}$${\displaystyle O=\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \Gamma ({\mathfrak {p}})}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle p}$

Otro grupo aritmético son los grupos modulares de Siegel , definidos${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$ por:

${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )=\left\{\gamma \in \mathrm {GL} _{2g}(\mathbb {Z} ):\ \gamma ^{\mathrm {T} }{\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}}\gamma ={\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}}\right\}.}$

Nótese que si entonces ⁠ ⁠ . El subgrupo theta de es el conjunto de todos tales que tanto como tienen entradas diagonales pares. ^[4]${\displaystyle g=1}$${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2}(\mathbb {Z} )=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \Gamma _{\vartheta }^{(n)}}$${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}}\right)\in \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle AB^{\top }}$${\displaystyle CD^{\top }}$

La familia de subgrupos de congruencia en un grupo aritmético dado siempre tiene la propiedad (τ) de Lubotzky–Zimmer. ^[5] Esto puede interpretarse como que la constante de Cheeger de la familia de sus grafos de clase lateral de Schreier (con respecto a un conjunto generador fijo para ⁠ ⁠ ) está uniformemente acotada lejos de cero, en otras palabras, son una familia de grafos expansores . También hay una interpretación teórica de la representación: si es una red en un grupo de Lie ⁠ ⁠ entonces la propiedad (τ) es equivalente a las representaciones unitarias no triviales de ⁠ ⁠ que ocurren en los espacios que están acotados lejos de la representación trivial (en la topología de Fell en el dual unitario de ⁠ ⁠ ). La propiedad (τ) es un debilitamiento de la propiedad (T) de Kazhdan que implica que la familia de todos los subgrupos de índice finito tiene la propiedad (τ).${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle L^{2}(G/\Gamma )}$${\displaystyle G}$

Si es un -grupo y es un conjunto finito de primos, un -subgrupo aritmético de se define como un subgrupo aritmético pero utilizando en lugar de ⁠ ⁠ . El ejemplo fundamental es ⁠ ⁠ .${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle S=\{p_{1},\ldots ,p_{r}\}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p_{1},\ldots ,1/p_{r}])}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \operatorname {SL} _{d}(\mathbb {Z} [1/p_{1},\ldots ,1/p_{r}])}$

Sea un grupo -aritmético en un grupo algebraico ⁠ ⁠ . Si es un entero no divisible por ningún primo en ⁠ ⁠ , entonces todos los primos son invertibles módulo y se sigue que hay un morfismo ⁠ ⁠ . Así es posible definir subgrupos de congruencia en ⁠ ⁠ , cuyo nivel sea siempre coprimo con todos los primos en ⁠ ⁠ .${\displaystyle \Gamma _{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {G} \subset \operatorname {GL} _{d}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \pi _{n}:\Gamma _{S}\to \mathrm {GL} _{d}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \Gamma _{S}}$${\displaystyle S}$

Los subgrupos de congruencia en son subgrupos de índice finito: es natural preguntarse si dan cuenta de todos los subgrupos de índice finito en ⁠ ⁠ . La respuesta es un rotundo "no". Este hecho ya lo conocía Felix Klein y hay muchas maneras de exhibir muchos subgrupos de índice finito no congruentes. Por ejemplo: ${\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \Gamma }$

1. El grupo simple en la serie de composición de un cociente ⁠ ⁠${\displaystyle \Gamma /\Gamma '}$ , donde es un subgrupo de congruencia normal, debe ser un grupo simple de tipo Lie (o cíclico), de hecho uno de los grupos para un primo ⁠ ⁠ . Pero para cada hay subgrupos de índice finito tales que son isomorfos al grupo alternante (por ejemplo, sobreyectos en cualquier grupo con dos generadores, en particular en todos los grupos alternantes, y los núcleos de estos morfismos dan un ejemplo). Estos grupos deben ser, por tanto, no congruentes.${\displaystyle \Gamma '}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {F} _{p})}$${\displaystyle p}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \Gamma '\subset \Gamma }$${\displaystyle \Gamma /\Gamma '}$ ${\displaystyle A_{m}}$${\displaystyle \Gamma (2)}$
2. Hay una sobreyección ⁠ ⁠${\displaystyle \Gamma (2)\to \mathbb {Z} }$ ; para un valor suficientemente grande, el núcleo de debe ser no congruente (una forma de ver esto es que la constante de Cheeger del gráfico de Schreier tiende a 0; también hay una prueba algebraica simple en el espíritu del elemento anterior).${\displaystyle m}$${\displaystyle \Gamma (2)\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$
3. El número de subgrupos de congruencia en de índice satisface ⁠ ⁠ . Por otro lado, el número de subgrupos de índice finito de índice en satisface ⁠ ⁠ , por lo que la mayoría de los subgrupos de índice finito deben ser no congruentes. ^[6]${\displaystyle c_{N}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle N}$${\displaystyle \log c_{N}=O\left((\log N)^{2}/\log \log N\right)}$${\displaystyle a_{N}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle N\log N=O(\log a_{N})}$

Para cualquier grupo aritmético se puede plantear la misma pregunta que para el grupo modular:

Problema de subgrupo de congruencia ingenuo: dado un grupo aritmético, ¿son todos sus subgrupos de índice finito subgrupos de congruencia?

Este problema puede tener una solución positiva: su origen está en el trabajo de Hyman Bass , Jean-Pierre Serre y John Milnor , y Jens Mennicke quienes demostraron que, en contraste con el caso de , cuando todos los subgrupos de índice finito en son subgrupos de congruencia. La solución de Bass–Milnor–Serre involucró un aspecto de la teoría algebraica de números vinculada a la teoría K . ^[7] Por otro lado, el trabajo de Serre sobre cuerpos de números múltiples muestra que en algunos casos la respuesta a la pregunta ingenua es "no" mientras que una ligera relajación del problema tiene una respuesta positiva. ^[8]${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle n\geqslant 3}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}}$

Este nuevo problema se plantea mejor en términos de ciertos grupos topológicos compactos asociados a un grupo aritmético ⁠ ⁠${\displaystyle \Gamma }$ . Hay una topología en para la cual una base de vecindades del subgrupo trivial es el conjunto de subgrupos de índice finito (la topología profinita ); y hay otra topología definida de la misma manera usando solo subgrupos de congruencia. La topología profinita da lugar a una completitud ⁠ ⁠ de ⁠ ⁠ , mientras que la topología de "congruencia" da lugar a otra completitud ⁠ ⁠ . Ambos son grupos profinitos y hay un morfismo sobreyectivo natural (intuitivamente, hay menos condiciones que una sucesión de Cauchy debe cumplir en la topología de congruencia que en la topología profinita). ^{[9] [10]} El núcleo de congruencia es el núcleo de este morfismo, y el problema del subgrupo de congruencia planteado anteriormente equivale a si es trivial. El debilitamiento de la conclusión conduce entonces al siguiente problema.${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle {\widehat {\Gamma }}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle {\overline {\Gamma }}}$${\displaystyle {\widehat {\Gamma }}\to {\overline {\Gamma }}}$ ${\displaystyle C(\Gamma )}$${\displaystyle C(\Gamma )}$

Problema de subgrupo de congruencia: ¿es finito el núcleo de congruencia ?${\displaystyle C(\Gamma )}$

Cuando el problema tiene una solución positiva se dice que tiene la propiedad de subgrupo de congruencia . Una conjetura generalmente atribuida a Serre establece que una red aritmética irreducible en un grupo de Lie semisimple tiene la propiedad de subgrupo de congruencia si y solo si el rango real de es al menos 2; por ejemplo, las redes en siempre deberían tener la propiedad.${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{3}(\mathbb {R} )}$

La conjetura de Serre establece que una red en un grupo de Lie de rango uno no debería tener la propiedad de subgrupo de congruencia. Existen tres familias de tales grupos: los grupos ortogonales ⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {SO} (d,1),d\geqslant 2}$ , los grupos unitarios y los grupos (los grupos de isometría de una forma sesquilínea sobre los cuaterniones de Hamilton), más el grupo excepcional (véase Lista de grupos de Lie simples ). El estado actual del problema de subgrupo de congruencia es el siguiente:${\displaystyle \mathrm {SU} (d,1),d\geqslant 2}$${\displaystyle \mathrm {Sp} (d,1),d\geqslant 2}$${\displaystyle F_{4}^{-20}}$

• Se sabe que tiene una solución negativa (confirmando la conjetura) para todos los grupos con ⁠ ⁠ . La prueba usa el mismo argumento que 2. en el caso de : en el caso general es mucho más difícil construir una sobreyección a ⁠ ⁠ , la prueba no es en absoluto uniforme para todos los casos y falla para algunas redes en dimensión 7 debido al fenómeno de trialidad . ^{[11] [12]} En las dimensiones 2 y 3 y para algunas redes en dimensiones superiores, también se aplican los argumentos 1 y 3.${\displaystyle \mathrm {SO} (d,1)}$${\displaystyle d\neq 7}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Se conoce para muchas redes en , pero no para todas (nuevamente usando una generalización del argumento 2). ^[13]${\displaystyle \mathrm {SU} (d,1)}$
• Está completamente abierto en todos los casos restantes.

En muchas situaciones en las que se espera que el problema del subgrupo de congruencia tenga una solución positiva, se ha demostrado que este es efectivamente el caso. Aquí hay una lista de grupos algebraicos tales que se sabe que la propiedad del subgrupo de congruencia se cumple para los retículos aritméticos asociados, en caso de que el rango del grupo de Lie asociado (o más generalmente la suma del rango de los factores reales y ⁠ ⁠${\displaystyle p}$ -ádicos en el caso de los grupos ⁠ ⁠${\displaystyle S}$ -aritméticos) sea al menos 2: ^[14]

• Cualquier grupo no anisotrópico (esto incluye los casos tratados por Bass–Milnor–Serre, así como is ⁠ ⁠ , y muchos otros);${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)}$${\displaystyle \min(p,q)>1}$
• Cualquier grupo de tipo no (por ejemplo todas las formas anisotrópicas de grupos simplécticos u ortogonales de rango real ⁠ ⁠ );${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle \geqslant 2}$
• Grupos unitarios de formas hermíticas.

Los casos de formas internas y externas de tipo aún están abiertos. Los grupos algebraicos en el caso de formas internas de tipo son aquellos asociados a los grupos unitarios en álgebras de división simples centrales; por ejemplo, la propiedad de subgrupo de congruencia no se conoce para redes en o con cociente compacto. ^[15]${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{3}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

El anillo de adeles es el producto restringido de todas las terminaciones de ⁠ ⁠ , es decir${\displaystyle \mathbb {A} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \mathbb {A} =\mathbb {R} \times \prod _{p}'\mathbb {Q} _{p}}$

donde el producto es sobre el conjunto de todos los primos, es el cuerpo de los números p -ádicos y un elemento pertenece al producto restringido si y solo si para casi todos los primos ⁠ ⁠ , pertenece al subanillo de los números enteros p -ádicos . ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle (x,(x_{p})_{p\in {\mathcal {P}}})}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x_{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

Dado cualquier grupo algebraico sobre el grupo algebraico adélico está bien definido. Se le puede dotar de una topología canónica, que en el caso donde es un grupo algebraico lineal es la topología como subconjunto de ⁠ ⁠ . Los adélicos finitos son el producto restringido de todas las compleciones no arquimedianas (todos los cuerpos p -ádicos).${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {A} )}$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbb {A} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{f}}$

Si es un grupo aritmético entonces sus subgrupos de congruencia se caracterizan por la siguiente propiedad: es un subgrupo de congruencia si y solo si su clausura es un subgrupo compacto-abierto (la compacidad es automática) y ⁠ ⁠ . En general el grupo es igual a la clausura por congruencia de en ⁠ ⁠ , y la topología de congruencia en es la topología inducida como un subgrupo de ⁠ ⁠ , en particular la completitud de congruencia es su clausura en ese grupo. Estas observaciones también son válidas para los subgrupos ⁠ ⁠ -aritméticos, reemplazando el anillo de adéles finitos con el producto restringido sobre todos los primos no en ⁠ ⁠ .${\displaystyle \Gamma \subset \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$${\displaystyle H\subset \Gamma }$${\displaystyle {\overline {H}}\subset \mathbf {G} (\mathbb {A} _{f})}$${\displaystyle H=\Gamma \cap {\overline {H}}}$${\displaystyle \Gamma \cap {\overline {H}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {A} _{f})}$${\displaystyle {\overline {\Gamma }}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

De manera más general, se puede definir lo que significa que un subgrupo sea un subgrupo de congruencia sin referencia explícita a un subgrupo aritmético fijo, pidiendo que sea igual a su clausura de congruencia . De este modo, se hace posible estudiar todos los subgrupos de congruencia a la vez observando el subgrupo discreto . Esto es especialmente conveniente en la teoría de formas automórficas: por ejemplo, todos los tratamientos modernos de la fórmula de traza de Arthur-Selberg se realizan en este contexto adélico.${\displaystyle \Gamma \subset \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$${\displaystyle {\overline {\Gamma }}\cap \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {Q} )\subset \mathbf {G} (\mathbb {A} )}$

• Lubotzky, Alejandro; Segal, Dan (2003). Crecimiento de subgrupos . Birkhäuser. ISBN 3-7643-6989-2.
• Platonov, Vladimir ; Rapinchuk, Andrei (1994). Grupos algebraicos y teoría de números. (Traducido del original ruso de 1991 por Rachel Rowen.) . Matemáticas puras y aplicadas. Vol. 139. Boston, MA: Academic Press, Inc. ISBN 0-12-558180-7.Señor 1278263  .
• Sury, B. (2003). El problema de los subgrupos de congruencia . Agencia de libros Hindustan. ISBN 81-85931-38-0.