Subcociente

En los campos matemáticos de la teoría de categorías y el álgebra abstracta , un subcociente es un objeto cociente de un subobjeto . Los subcocientes son particularmente importantes en las categorías abelianas y en la teoría de grupos , donde también se los conoce como secciones , aunque esto entra en conflicto con un significado diferente en la teoría de categorías.

Entonces, en la estructura algebraica de grupos, es un subcociente de si existe un subgrupo de y un subgrupo normal de tal que es isomorfo a .${\estilo de visualización H}$${\estilo de visualización G}$ ${\estilo de visualización G'}$${\estilo de visualización G}$ ${\estilo de visualización G''}$${\estilo de visualización G'}$${\estilo de visualización H}$$Estilo de visualización G'/G''$

En la literatura sobre grupos esporádicos se pueden encontrar expresiones como “ está involucrado en ” ^[1] con el significado aparente de “ es un subcociente de ”.${\estilo de visualización H}$${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización H}$${\estilo de visualización G}$

Al igual que en el contexto de los subgrupos, en el contexto de los subcocientes se puede utilizar el término trivial para los dos subcocientes y que están presentes en cada grupo . ^{[ cita requerida ]}${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización \{1\}}$${\estilo de visualización G}$

Un cociente de una subrepresentación de una representación (de, digamos, un grupo) podría llamarse una representación subcociente; por ejemplo, el teorema del subcociente de Harish-Chandra . ^[2]

Existen subcocientes de grupos que no son ni subgrupo ni cociente de él. Por ejemplo, según el artículo Grupo esporádico , Fi ₂₂ tiene una doble cobertura que es un subgrupo de Fi ₂₃ , por lo que es un subcociente de Fi ₂₃ sin ser subgrupo ni cociente de él.

La relación subcociente de es una relación de orden – que se denotará por . Se demostrará para grupos.${\displaystyle \precisión}$

Notación

Para el grupo , el subgrupo de y el subgrupo normal del grupo cociente es un subcociente de , es decir .${\estilo de visualización G}$ ${\estilo de visualización G'}$${\estilo de visualización G}$ ${\displaystyle (\Flecha izquierda derecha :G'\leq G)}$ ${\estilo de visualización G''}$${\estilo de visualización G'}$ ${\displaystyle (\flecha izquierda derecha :G''\vartriangleleft G')}$ ${\displaystyle H:=G'/G''}$${\estilo de visualización G}$${\displaystyle H\precisión G}$

1. Reflexividad : es decir, cada elemento está relacionado consigo mismo. En efecto, es isomorfo al subcociente de .${\displaystyle G\precisión G}$${\estilo de visualización G}$$Estilo de visualización G/\{1\}}$${\estilo de visualización G}$
2. Antisimetría : si y entonces , es decir, no hay dos elementos distintos que se precedan entre sí. De hecho, una comparación de los órdenes de grupo de y entonces da como resultado .${\displaystyle G\precisión H}$${\displaystyle H\precisión G}$$Estilo de visualización G cong H$${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización H}$${\displaystyle |G|=|H|}$$Estilo de visualización G cong H$
3. Transitividad : si y entonces .${\displaystyle H'/H''\precisión H}$${\displaystyle H\precisión G}$${\displaystyle H'/H''\precisión G}$

Sea subcociente de , además sea subcociente de y sea el homomorfismo canónico . Entonces todas las funciones verticales ( )${\displaystyle H'/H''}$${\estilo de visualización H}$${\displaystyle H:=G'/G''}$${\estilo de visualización G}$${\displaystyle \varphi \colon G'\to H}$${\displaystyle \flecha hacia abajo}$${\displaystyle \varphi \colon X\a Y,\;x\mapsto x\,G''}$

		${\estilo de visualización G''}$	${\estilo de visualización \leq}$	${\displaystyle \varphi ^{-1}(H'')}$	${\estilo de visualización \leq}$	${\displaystyle \varphi ^{-1}(H')}$	${\displaystyle \vartriangleleft}$	${\estilo de visualización G'}$
	${\estilo de visualización \varphi \!:}$	${\displaystyle {\Grande \downarrow }}$		${\displaystyle {\Grande \downarrow }}$		${\displaystyle {\Grande \downarrow }}$		${\displaystyle {\Grande \downarrow }}$
		${\estilo de visualización \{1\}}$	${\estilo de visualización \leq}$	${\estilo de visualización H''}$	${\displaystyle \vartriangleleft}$	${\estilo de visualización H'}$	${\displaystyle \vartriangleleft}$	${\estilo de visualización H}$

son sobreyectivas para los respectivos pares

${\displaystyle (X,Y)\;\;\;\en }$

${\displaystyle {\Bigl \{}{\bigl (}G'',\{1\}{\bigr )}{\Bigr .}}$

${\estilo de visualización ,}$

${\displaystyle {\bigl (}\varphi ^{-1}(H''),H''{\bigr )}}$

${\estilo de visualización ,}$

${\displaystyle {\bigl (}\varphi ^{-1}(H'),H'{\bigr )}}$

${\estilo de visualización ,}$

${\displaystyle {\Bigl .}{\bigl (}G',H{\bigr )}{\Bigr \}}.}$

Las preimágenes y son ambos subgrupos de que contienen y es y porque cada tiene una preimagen con Además, el subgrupo es normal en${\displaystyle \varphi ^{-1}\izquierda(H'\derecha)}$${\displaystyle \varphi ^{-1}\izquierda(H''\derecha)}$${\estilo de visualización G'}$${\estilo de visualización G'',}$${\displaystyle \varphi \left(\varphi ^{-1}\left(H'\right)\right)=H'}$${\displaystyle \varphi \left(\varphi ^{-1}\left(H''\right)\right)=H'',}$${\displaystyle h\en H}$${\displaystyle g\en G'}$${\displaystyle \varphi (g)=h.}$${\displaystyle \varphi ^{-1}\izquierda(H''\derecha)}$${\displaystyle \varphi ^{-1}\izquierda(H'\derecha).}$

En consecuencia, el subcociente de es un subcociente de en la forma${\displaystyle H'/H''}$${\estilo de visualización H}$${\estilo de visualización G}$${\displaystyle H'/H''\cong \varphi ^{-1}\left(H'\right)/\varphi ^{-1}\left(H''\right).}$

En la teoría de conjuntos constructivos , donde la ley del medio excluido no se cumple necesariamente, se puede considerar la relación subcociente de como reemplazante de la (s) relación(es) de orden usual (es) en los cardinales . Cuando se tiene la ley del medio excluido, entonces un subcociente de es el conjunto vacío o hay una función sobre . Esta relación de orden se denota tradicionalmente como Si además se cumple el axioma de elección , entonces tiene una función biunívoca para y esta relación de orden es la usual en los cardinales correspondientes.${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle X\a Y}$${\displaystyle \leq ^{\ast}.}$${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización \leq}$

• Álgebra homológica
• Subcontable