Rigidez innata

La rigidez de Born es un concepto de la relatividad especial . Es una respuesta a la pregunta de qué corresponde, en la relatividad especial, al cuerpo rígido de la mecánica clásica no relativista .

El concepto fue introducido por Max Born (1909), ^{[1] [2]} quien dio una descripción detallada del caso de aceleración propia constante al que llamó movimiento hiperbólico . Cuando autores posteriores como Paul Ehrenfest (1909) ^[3] intentaron incorporar también los movimientos rotacionales, quedó claro que la rigidez de Born es un sentido muy restrictivo de rigidez, lo que llevó al teorema de Herglotz-Noether , según el cual existen severas restricciones a los movimientos rígidos de Born rotacionales. Fue formulado por Gustav Herglotz (1909, quien clasificó todas las formas de movimientos rotacionales) ^[4] y de una manera menos general por Fritz Noether (1909). ^[5] Como resultado, Born (1910) ^[6] y otros dieron definiciones alternativas, menos restrictivas de rigidez.

La rigidez de nacimiento se satisface si la distancia espaciotemporal ortogonal entre curvas o líneas de mundo separadas infinitesimalmente es constante, ^[7] o equivalentemente, si la longitud del cuerpo rígido en sistemas inerciales co-móviles momentáneos medidos por varas de medición estándar (es decir, la longitud adecuada ) es constante y, por lo tanto, está sujeta a la contracción de Lorentz en sistemas relativamente móviles. ^[8] La rigidez de nacimiento es una restricción en el movimiento de un cuerpo extendido, lograda mediante la aplicación cuidadosa de fuerzas a diferentes partes del cuerpo. Un cuerpo rígido en sí mismo violaría la relatividad especial, ya que su velocidad del sonido sería infinita.

Se puede obtener una clasificación de todos los posibles movimientos rígidos de Born utilizando el teorema de Herglotz-Noether. Este teorema establece que todos los movimientos rígidos de Born irrotacionales (clase A) consisten en hiperplanos que se mueven rígidamente a través del espacio-tiempo, mientras que cualquier movimiento rígido de Born rotacional (clase B) debe ser un movimiento de Killing isométrico . Esto implica que un cuerpo rígido de Born solo tiene tres grados de libertad . Por lo tanto, un cuerpo puede ser llevado de manera rígida de Born desde el reposo a cualquier movimiento de traslación , pero no puede ser llevado de manera rígida de Born desde el reposo a un movimiento de rotación. ^[9]

^{Herglotz (1911) [10]} demostró que una teoría relativista de la elasticidad puede basarse en el supuesto de que las tensiones surgen cuando se rompe la condición de rigidez de Born. ^[11]

Un ejemplo de ruptura de la rigidez de Born es la paradoja de Ehrenfest : aunque el estado de movimiento circular uniforme de un cuerpo se encuentra entre los movimientos rígidos de Born permitidos de la clase B, un cuerpo no puede ser llevado desde cualquier otro estado de movimiento a un movimiento circular uniforme sin romper la condición de rigidez de Born durante la fase en la que el cuerpo experimenta varias aceleraciones. Pero si esta fase ha terminado y la aceleración centrípeta se vuelve constante, el cuerpo puede estar rotando uniformemente de acuerdo con la rigidez de Born. Del mismo modo, si ahora está en movimiento circular uniforme, este estado no puede cambiarse sin romper nuevamente la rigidez de Born del cuerpo.

Otro ejemplo es la paradoja de la nave espacial de Bell : si los puntos finales de un cuerpo se aceleran con aceleraciones propias constantes en dirección rectilínea, entonces el punto final principal debe tener una aceleración propia menor para dejar constante la longitud propia de modo que se satisfaga la rigidez de Born. También exhibirá una contracción de Lorentz creciente en un marco inercial externo, es decir, en el marco externo los puntos finales del cuerpo no se aceleran simultáneamente. Sin embargo, si se elige un perfil de aceleración diferente por el cual los puntos finales del cuerpo se aceleran simultáneamente con la misma aceleración propia que se ve en el marco inercial externo, su rigidez de Born se romperá, porque la longitud constante en el marco externo implica una longitud propia creciente en un marco comóvil debido a la relatividad de la simultaneidad. En este caso, un hilo frágil tendido entre dos cohetes experimentará tensiones (que se denominan tensiones de Herglotz-Dewan-Beran ^[8] ) y, en consecuencia, se romperá.

^{Herglotz [4]} dio una clasificación de los movimientos rígidos de Born permitidos, en particular los rotacionales, en el espacio-tiempo plano de Minkowski , que también fue estudiada por Friedrich Kottler (1912, 1914), ^[12] Georges Lemaître (1924), ^[13] Adriaan Fokker (1940), ^[14] George Salzmann y Abraham H. Taub (1954). ^[7] Herglotz señaló que un continuo se mueve como un cuerpo rígido cuando las líneas de universo de sus puntos son curvas equidistantes en . La mundanidad resultante se puede dividir en dos clases: ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$

Herglotz definió esta clase en términos de curvas equidistantes que son las trayectorias ortogonales de una familia de hiperplanos , que también pueden verse como soluciones de una ecuación de Riccati ^[15] (esto fue llamado "movimiento plano" por Salzmann y Taub ^[7] o "movimiento rígido irrotacional" por Boyer ^{[16] [17]} ). Concluyó que el movimiento de tal cuerpo está completamente determinado por el movimiento de uno de sus puntos.

La métrica general para estos movimientos irrotacionales fue dada por Herglotz, cuyo trabajo fue resumido con notación simplificada por Lemaître (1924). También la métrica de Fermi en la forma dada por Christian Møller (1952) para sistemas rígidos con movimiento arbitrario del origen fue identificada como la "métrica más general para el movimiento rígido irrotacional en relatividad especial". ^[18] En general, se demostró que el movimiento de Born irrotacional corresponde a aquellas congruencias de Fermi de las cuales cualquier línea de universo puede usarse como línea base (congruencia de Fermi homogénea). ^[19]

Herglotz 1909	${\displaystyle ds^{2}=da^{2}+\varphi (db,dc)-\Theta ^{2}d\vartheta ^{2}}$[20]
Lemaître 1924	${\displaystyle {\begin{aligned}&ds^{2}=-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}+\phi ^{2}dt^{2}\\&\quad \left(\phi =lx+my+nz+p\right)\end{aligned}}}$[21]
Moller 1952	${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}\left[1+{\frac {g_{\kappa }x^{\kappa }}{c^{2}}}\right]^{2}}$[22]

Ya Born (1909) señaló que un cuerpo rígido en movimiento de traslación tiene una extensión espacial máxima en función de su aceleración, dada por la relación , donde es la aceleración propia y es el radio de una esfera en la que se encuentra el cuerpo, por lo que cuanto mayor sea la aceleración propia, menor será la extensión máxima del cuerpo rígido. ^[2] El caso especial de movimiento de traslación con aceleración propia constante se conoce como movimiento hiperbólico , con la línea de mundo$estilo de visualización b<c^{2}/R}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización R}$

Nacido en 1909	${\displaystyle {\begin{aligned}&x=-q\xi ,\quad y=\eta ,\quad z=\zeta ,\quad t={\frac {p}{c^{2}}}\xi \\&\quad \left(p={\frac {dx}{d\tau }},\quad q=-{\frac {dt}{d\tau }}={\sqrt {1+p^{2}/c^{2}}}\right)\end{aligned}}}$[23]
Herglotz 1909	${\displaystyle x=x',\quad y=y',\quad tz=(t'-z')e^{\vartheta },\quad t+z=(t'+z')e^{- \vartheta }}$[24] ${\displaystyle x=x_{0},\quad y=y_{0},\quad z={\sqrt {z_{0}^{2}+t^{2}}}}$[25]
Verano 1910	${\displaystyle {\begin{aligned}&x=r\cos \varphi ,\quad y=y',\quad z=z',\quad l=r\sin \varphi \\&\quad \left(l=ict,\quad \varphi =i\psi \right)\end{aligned}}}$[26]
Kottler 1912, 1914	${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{(1)}=x_{0}^{(1)},\quad x^{(2)}=x_{0}^{(2)},\quad x^{(3)}=b\cos iu,\quad x^{(4)}=b\sin iu\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=b^{2}(du)^{2}\end{aligned}}}$[27] ${\displaystyle x=x_{0},\quad y=y_{0},\quad z=b\cosh u,\quad ct=b\sinh u}$[28]

Herglotz definió esta clase en términos de curvas equidistantes que son las trayectorias de un grupo de movimiento de un parámetro ^[29] (esto fue llamado "movimiento de grupo" por Salzmann y Taub ^[7] y fue identificado con el movimiento isométrico de Killing por Felix Pirani y Gareth Williams (1962) ^[30] ). Señaló que consisten en líneas de mundo cuyas tres curvaturas son constantes (conocidas como curvatura , torsión e hipertorsión), formando una hélice . ^[31] Las líneas de mundo de curvaturas constantes en el espacio-tiempo plano también fueron estudiadas por Kottler (1912), ^[12] Petrův (1964), ^[32] John Lighton Synge (1967, quien las llamó hélices temporales en el espacio-tiempo plano), ^[33] o Letaw (1981, quien las llamó líneas de mundo estacionarias) ^[34] como las soluciones de las fórmulas de Frenet-Serret .

Herglotz separó además la clase B utilizando cuatro grupos de un parámetro de transformaciones de Lorentz (loxodrómica, elíptica, hiperbólica, parabólica) en analogía con los movimientos hiperbólicos (es decir, automorfismos isométricos de un espacio hiperbólico) , y señaló que el movimiento hiperbólico de Born (que se desprende del grupo hiperbólico con en la notación de Herglotz y Kottler, en la notación de Lemaître, en la notación de Synge; véase la siguiente tabla) es el único movimiento rígido de Born que pertenece a ambas clases A y B.${\displaystyle \alpha = 0}$${\displaystyle \lambda = 0}$${\displaystyle q=0}$

Grupo loxodrómico (combinación de movimiento hiperbólico y rotación uniforme)
Herglotz 1909	${\displaystyle x+iy=(x'+iy')e^{i\lambda \vartheta },\quad x-iy=(x'-iy')e^{-i\lambda \vartheta },\quad tz=(t'-z')e^{\vartheta },\quad t+z=(t'+z')e^{-\vartheta }}$[35]
Kottler 1912, 1914	${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{(1)}=a\cos \lambda \left(u-u_{0}\right),\quad x^{(2)}=a\sin \lambda \left(u-u_{0}\right),\quad x^{(3)}=b\cos iu,\quad x^{(4)}=b\sin iu\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-\left(b^{2}-a^{2}\lambda ^{2}\right)(du)^{2}\end{aligned}}}$[36]
Lemaître 1924	${\displaystyle {\begin{aligned}&\xi = x\cos \lambda ty\sin \lambda t,\quad \eta = x\sin \lambda t+y\cos \lambda t,\quad \zeta = z\cosh t,\quad \tau = z\sinh t\\&ds^{2}=-dr^{2}-r^{2}d\theta ^{2}-dz^{2}-2\lambda r^{2}d\theta \ dt+\left(z^{2}-\lambda ^{2}r^{2}\right)dt^{2}\end{aligned}}}$[37]
Sincronización 1967	${\displaystyle x=q\omega ^{-1}\sin \omega s,\cuadrado y=-q\omega ^{-1}\cos \omega s,\cuadrado z=r\chi ^{-1}\cosh \chi s,\cuadrado t=r\chi ^{-1}\sinh \chi s}$[38]
Grupo elíptico (rotación uniforme)
Herglotz 1909	${\displaystyle x+iy=(x'+iy')e^{i\vartheta },\quad x-iy=(x'-iy')e^{-i\vartheta },\quad z=z',\quad t=t'+\delta \vartheta }$[39]
Kottler 1912, 1914	${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{(1)}=a\cos \lambda \left(u-u_{0}\right),\quad x^{(2)}=a\sin \lambda \left(u-u_{0}\right),\quad x^{(3)}=x_{0}^{(3)},\quad x^{(4)}=iu\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-\left(1-a^{2}\lambda ^{2}\right)(du)^{2}\end{aligned}}}$[40]
De Sitter 1916	${\displaystyle {\begin{aligned}&\theta '=\theta -\omega ct,\ \left(d\sigma ^{\prime 2}=dr^{\prime 2}+r^{\prime 2}d\theta ^{\prime 2}+dz^{\prime 2}\right)\\&ds^{2}=-d\sigma ^{\prime 2}-2r^{\prime 2}\omega \ d\theta 'cdt+\left(1-r^{\prime 2}\omega ^{2}\right)c^{2}dt^{2}\end{aligned}}}$[41]
Lemaître 1924	${\displaystyle {\begin{aligned}&\xi =x\cos \lambda t-y\sin \lambda t,\quad \eta =x\sin \lambda t+y\cos \lambda t,\quad \zeta =z,\quad \tau =t\\&ds^{2}=-dr^{2}-r^{2}d\theta ^{2}-dz^{2}-2\lambda r^{2}d\theta \ dt+\left(1-\lambda ^{2}r^{2}\right)dt^{2}\end{aligned}}}$[42]
Sincronización 1967	${\displaystyle x=q\omega ^{-1}\sin \omega s,\quad y=-q\omega ^{-1}\cos \omega s,\quad z=0,\quad t=sr}$[43]
Grupo hiperbólico (movimiento hiperbólico más traslación espacial)
Herglotz 1909	${\displaystyle x=x'+\alpha \vartheta ,\quad y=y',\quad t-z=(t'-z')e^{\vartheta },\quad t+z=(t'+z')e^{-\vartheta }}$[44]
Kottler 1912, 1914	${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{(1)}=x_{0}^{(1)}+\alpha u,\quad x^{(2)}=x_{0}^{(2)},\quad x^{(3)}=b\cos iu,\quad x^{(4)}=b\sin iu\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-\left(b^{2}-\alpha ^{2}\right)(du)^{2}\end{aligned}}}$[45]
Lemaître 1924	${\displaystyle {\begin{aligned}&\xi =x+\lambda t,\quad \eta =y,\quad \zeta =z\cosh t,\quad \tau =z\sinh t\\&ds^{2}=-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}-2\lambda dx\ dt+\left(z^{2}-\lambda ^{2}\right)dt^{2}\end{aligned}}}$[46]
Sincronización 1967	${\displaystyle x=sq,\quad y=0,\quad z=r\chi ^{-1}\cosh \chi s,\quad t=r\chi ^{-1}\sinh \chi s}$[47]
Grupo parabólico (que describe una parábola semicúbica )
Herglotz 1909	${\displaystyle x=x_{0}+{\frac {1}{2}}\delta \vartheta ^{2},\quad y=y_{0}+\beta \vartheta ,\quad z=z_{0}+x_{0}\vartheta +{\frac {1}{6}}\delta \vartheta ^{3},\quad t-z=\delta \vartheta }$[25]
Kottler 1912, 1914	${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{(1)}=x_{0}^{(1)}+{\frac {1}{2}}\alpha u^{2},\quad x^{(2)}=x_{0}^{(2)},\quad x^{(3)}=x_{0}^{(3)}+x_{0}^{(1)}u+{\frac {1}{6}}\alpha u^{3},\quad x^{(4)}=ix^{(3)}+i\alpha u\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-\left(\alpha ^{2}+2x_{0}^{(1)}\right)(du)^{2}\end{aligned}}}$[48]
Lemaître 1924	${\displaystyle {\begin{aligned}&\xi =x+{\frac {1}{2}}\lambda t^{2},\quad \eta =y+\mu t,\quad \zeta =z+xt+{\frac {1}{6}}\lambda t^{3},\quad \tau =\lambda t+z+xt+{\frac {1}{6}}\lambda t^{3}\\&ds^{2}=-dx^{2}-dy^{2}-2\mu \ dy\ dt+2\lambda \ dz\ dt+\left(2\lambda x+\lambda ^{2}-\mu ^{2}\right)dt^{2}\end{aligned}}}$[37]
Sincronización 1967	${\displaystyle x={\frac {1}{6}}b^{2}s^{3},\quad y=0,\quad z={\frac {1}{2}}bs^{2},\quad t=s+{\frac {1}{6}}b^{2}s^{3}}$[49]

^{Salzmann y Taub (1954), [7]} C. Beresford Rayner (1959), ^[50] Pirani y Williams (1962), ^[30] Robert H. Boyer (1964) han intentado extender el concepto de rigidez de Born a la relatividad general . ^[16] Se ha demostrado que el teorema de Herglotz-Noether no se satisface completamente, porque son posibles marcos de referencia o congruencias rotatorias rígidas que no representan movimientos isométricos de Killing. ^[30]

También se han propuesto varios sustitutos más débiles como condiciones de rigidez, como por ejemplo Noether (1909) ^[5] o el propio Born (1910). ^[6]

Epp, Mann y McGrath dieron una alternativa moderna. ^[51] En contraste con la congruencia rígida de Born ordinaria que consiste en la "historia de un conjunto de puntos que llenan el volumen espacial", recuperan los seis grados de libertad de la mecánica clásica utilizando un marco rígido cuasilocal definiendo una congruencia en términos de la "historia del conjunto de puntos en la superficie que delimita un volumen espacial".

• Nacido, Max (1909a), "La teoría del electrón rígido en la cinemática del principio de relatividad" [Traducción de Wikisource: La teoría del electrón rígido en la cinemática del principio de relatividad], Annalen der Physik , 335 (11): 1–56, Bibcode :1909AnP...335....1B, doi :10.1002/andp.19093351102
• Born, Max (1909b), "Über die Dynamik des Elektrons in der Kinematik des Relativitätsprinzips" [traducción de Wikisource: Sobre la dinámica del electrón en la cinemática del principio de relatividad], Physikalische Zeitschrift , 10 : 814–817
• Born, Max (1910), "Zur Kinematik des starren Körpers im System des Relativitätsprinzips" [traducción de Wikisource: Sobre la cinemática del cuerpo rígido en el sistema del principio de la relatividad], Göttinger Nachrichten , 2 : 161–179
• Ehrenfest, Paul (1909), "Gleichförmige Rotation starrer Körper und Relativitätstheorie"  [traducción de Wikisource: Rotación uniforme de cuerpos rígidos y teoría de la relatividad], Physikalische Zeitschrift , 10 : 918, Bibcode : 1909PhyZ...10..918E
• Franklin, Jerrold (2013), "Movimiento de cuerpos rígidos en la relatividad especial", Fundamentos de la física , 95 (12): 1489–1501, arXiv : 1105.3899 , Bibcode :2013FoPh...43.1489F, doi :10.1007/s10701-013-9757-x, S2CID  254514424
• Herglotz, Gustav (1910) [1909], "Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper" [traducción de Wikisource: Sobre cuerpos que deben designarse como "rígidos" desde el punto de vista del principio de relatividad], Annalen der Physik , 336 (2): 393–415, Bibcode :1910AnP...336..393H, doi :10.1002/andp.19103360208
• Herglotz, Gustav (1911), "Über die Mechanik des deformierbaren Körpers vom Standpunkte der Relativitätstheorie", Annalen der Physik , 341 (13): 493–533, Bibcode :1911AnP...341..493H, doi :10.1002/andp. 19113411303; Traducción al español de David Delphenich: Sobre la mecánica de los cuerpos deformables desde el punto de vista de la teoría de la relatividad.
• Noether, Fritz (1910) [1909]. "Zur Kinematik des starren Körpers in der Relativtheorie". Annalen der Physik . 336 (5): 919–944. Código bibliográfico : 1910AnP...336..919N. doi : 10.1002/andp.19103360504.
• Sommerfeld, Arnold (1910). "Zur Relativitätstheorie II: Vierdimensionale Vektoranalysis" [traducción de Wikisource: Sobre la teoría de la relatividad II: análisis de vectores cuatridimensionales]. Annalen der Physik . 338 (14): 649–689. Código bibliográfico : 1910AnP...338..649S. doi : 10.1002/andp.19103381402.
• Kottler, Friedrich (1912). "Über die Raumzeitlinien der Minkowski'schen Welt" [Traducción de Wikisource: Sobre las líneas espacio-temporales de un mundo Minkowski]. Wiener Sitzungsberichte 2a . 121 : 1659-1759. hdl :2027/mdp.39015051107277.
• Kottler, Friedrich (1914a). "Relativitätsprinzip und beschleunigte Bewegung". Annalen der Physik . 349 (13): 701–748. Código bibliográfico : 1914AnP...349..701K. doi : 10.1002/andp.19143491303.
• Kottler, Friedrich (1914b). "Fallende Bezugssysteme vom Standpunkte des Relativitätsprinzips". Annalen der Physik . 350 (20): 481–516. Código bibliográfico : 1914AnP...350..481K. doi : 10.1002/andp.19143502003.
• De Sitter, W. (1916). "Sobre la teoría de la gravitación de Einstein y sus consecuencias astronómicas. Segundo artículo". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 77 (2): 155–184. Bibcode :1916MNRAS..77..155D. doi : 10.1093/mnras/77.2.155 .
• Pauli, Wolfgang (1921), "Die Relativitätstheorie", Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften , 5 (2): 539–776

En inglés: Pauli, W. (1981) [1921]. Teoría de la relatividad . Vol. 165. Dover Publications. ISBN. 0-486-64152-X. {{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda )

• Lemaître, G. (1924), "El movimiento de un sólido rígido según el principio de relatividad", Philosophical Magazine , Serie 6, 48 (283): 164–176, doi :10.1080/14786442408634478
• Fokker, AD (1949), "Sobre la geometría espacio-temporal de un cuerpo rígido en movimiento", Reviews of Modern Physics , 21 (3): 406–408, Bibcode :1949RvMP...21..406F, doi : 10.1103/RevModPhys.21.406
• Møller, C. (1955) [1952]. La teoría de la relatividad. Oxford Clarendon Press.
• Salzman, G., y Taub, AH (1954), "Movimiento rígido de tipo Born en relatividad", Physical Review , 95 (6): 1659–1669, Bibcode :1954PhRv...95.1659S, doi :10.1103/PhysRev.95.1659{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Rayner, CB (1959), "Le corps rigide en relativité générale", Séminaire Janet. Mécanique Analytique et Mécanique Céleste , 2 : 1–15
• Pirani, FAE y Williams, G. (1962), "Movimiento rígido en un campo gravitacional", Séminaire Janet. Mécanique Analytique et Mécanique Céleste , 5 : 1–16{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Petrův, V. (1964). "Die Lösung der Formeln von Frenet im Falle konstanter Krümmungen". Aplicaciones Matemáticas . 9 (4): 239–240.
• Boyer, RH (1965), "Marcos rígidos en la relatividad general", Actas de la Royal Society of London A , 28 (1394): 343–355, Bibcode :1965RSPSA.283..343B, doi :10.1098/rspa.1965.0025, S2CID  120278621
• Synge, JL (1967) [1966]. "Hélices temporales en un espacio-tiempo plano". Actas de la Real Academia Irlandesa, Sección A. 65 : 27–42. JSTOR  20488646.
• Grøn, Ø. (1981), "Formulación covariante de la ley de Hooke", American Journal of Physics , 49 (1): 28–30, Bibcode :1981AmJPh..49...28G, doi :10.1119/1.12623
• Letaw, JR (1981). "Líneas del mundo estacionario y la excitación en vacío de detectores no inerciales". Physical Review D . 23 (8): 1709–1714. Bibcode :1981PhRvD..23.1709L. doi :10.1103/PhysRevD.23.1709.
• Bel, L. (1995) [1993], "Grupo de Born e isometrías generalizadas", Relatividad en general: Actas de la Reunión de Relatividad'93 , Atlantica Séguier Frontières: 47, arXiv : 1103.2509 , Bibcode :2011arXiv1103.2509B
• Giulini, Domenico (2008). "La rica estructura del espacio de Minkowski". Minkowski Spacetime: A Hundred Years Later (El espacio-tiempo de Minkowski: cien años después ). Vol. 165. Springer. pág. 83. arXiv : 0802.4345 . Código Bibliográfico : 2008arXiv0802.4345G. ISBN. 978-90-481-3474-8. {{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda )
• Epp, RJ, Mann, RB y McGrath, PL (2009), "Revisión del movimiento rígido: marcos rígidos cuasilocales", Gravedad clásica y cuántica , 26 (3): 035015, arXiv : 0810.0072 , Bibcode :2009CQGra..26c5015E, doi :10.1088/0264-9381/26/3/035015, S2CID  118856653{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

• Rigidez, aceleración e inercia en el nacimiento en mathpages.com
• El disco giratorio rígido en la relatividad en USENET Preguntas frecuentes sobre física