Sintaxis (lógica)

En lógica , la sintaxis es todo lo que tiene que ver con lenguajes formales o sistemas formales sin tener en cuenta ninguna interpretación o significado que se les dé. La sintaxis se ocupa de las reglas que se utilizan para construir o transformar los símbolos y las palabras de un lenguaje, en contraste con la semántica de un lenguaje, que se ocupa de su significado.

Los símbolos , fórmulas , sistemas , teoremas y pruebas expresados ​​en lenguajes formales son entidades sintácticas cuyas propiedades pueden estudiarse sin tener en cuenta ningún significado que se les pueda dar y, de hecho, no es necesario que se les dé ninguno.

La sintaxis suele asociarse con las reglas (o gramática) que rigen la composición de textos en un lenguaje formal y que constituyen las fórmulas bien formadas de un sistema formal.

En informática , el término sintaxis se refiere a las reglas que rigen la composición de expresiones bien formadas en un lenguaje de programación . Al igual que en la lógica matemática, es independiente de la semántica y la interpretación.

Un símbolo es una idea , abstracción o concepto , cuyos elementos pueden ser marcas o un metalenguaje de marcas que forman un patrón particular. Los símbolos de un lenguaje formal no necesitan ser símbolos de nada. Por ejemplo, hay constantes lógicas que no hacen referencia a ninguna idea, sino que sirven como una forma de puntuación en el lenguaje (por ejemplo, los paréntesis). Un símbolo o una cadena de símbolos puede comprender una fórmula bien formada si la formulación es coherente con las reglas de formación del lenguaje. Los símbolos de un lenguaje formal deben poder especificarse sin ninguna referencia a ninguna interpretación de ellos.

Un lenguaje formal es una entidad sintáctica que consiste en un conjunto de cadenas finitas de símbolos que son sus palabras (usualmente llamadas sus fórmulas bien formadas ). El creador del lenguaje determina qué cadenas de símbolos son palabras, generalmente especificando un conjunto de reglas de formación . Un lenguaje de este tipo puede definirse sin referencia a ningún significado de ninguna de sus expresiones; puede existir antes de que se le asigne ninguna interpretación , es decir, antes de que tenga algún significado.

Las reglas de formación son una descripción precisa de qué cadenas de símbolos son las fórmulas bien formadas de un lenguaje formal. Es sinónimo del conjunto de cadenas sobre el alfabeto del lenguaje formal que constituyen las fórmulas bien formadas. Sin embargo, no describe su semántica (es decir, lo que significan).

Una proposición es una oración que expresa algo verdadero o falso . Una proposición se identifica ontológicamente como una idea , concepto o abstracción cuyas instancias simbólicas son patrones de símbolos , marcas, sonidos o cadenas de palabras. ^[2] Las proposiciones se consideran entidades sintácticas y también portadoras de verdad .

Una teoría formal es un conjunto de oraciones en un lenguaje formal .

Un sistema formal (también llamado cálculo lógico o sistema lógico ) consiste en un lenguaje formal junto con un aparato deductivo (también llamado sistema deductivo ). El aparato deductivo puede consistir en un conjunto de reglas de transformación (también llamadas reglas de inferencia ) o un conjunto de axiomas , o tener ambos. Un sistema formal se utiliza para derivar una expresión a partir de una o más expresiones. Los sistemas formales, como otras entidades sintácticas, pueden definirse sin ninguna interpretación (como, por ejemplo, un sistema de aritmética).

Una fórmula A es una consecuencia sintáctica ^{[3] [4] [5] [6]} dentro de algún sistema formal de un conjunto Г de fórmulas si hay una derivación en el sistema formal de A a partir del conjunto Г.${\displaystyle {\mathcal {FS}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {FS}}}$

${\displaystyle \Gamma \vdash _{\mathrm {F} S}A}$

La consecuencia sintáctica no depende de ninguna interpretación del sistema formal. ^[7]

Un sistema formal es sintácticamente completo ^{[8] [9] [10] [11]} (también deductivamente completo , máximamente completo , negación completa o simplemente completo ) si y solo si para cada fórmula A del lenguaje del sistema, A o ¬A es un teorema de . En otro sentido, un sistema formal es sintácticamente completo si y solo si no se le puede añadir ningún axioma indemostrable como axioma sin introducir una inconsistencia . La lógica proposicional veritativo-funcional y la lógica de predicados de primer orden son semánticamente completas, pero no sintácticamente completas (por ejemplo, el enunciado de lógica proposicional que consiste en una única variable "a" no es un teorema, y ​​tampoco lo es su negación, pero estas no son tautologías ). El teorema de incompletitud de Gödel muestra que ningún sistema recursivo que sea suficientemente potente, como los axiomas de Peano , puede ser a la vez consistente y completo.${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

La interpretación de un sistema formal es la asignación de significados a los símbolos y valores de verdad a las oraciones de un sistema formal. El estudio de las interpretaciones se denomina semántica formal . Dar una interpretación es sinónimo de construir un modelo . Una interpretación se expresa en un metalenguaje , que puede ser en sí mismo un lenguaje formal y, como tal, es en sí mismo una entidad sintáctica.

• Símbolo (formal)
• Regla de formación
• Gramática formal
• Sintaxis (lingüística)
• Sintaxis (lenguajes de programación)
• Lógica matemática
• Fórmula bien formada

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