Filtro de sincronización

En el procesamiento de señales , un filtro sinc puede hacer referencia a un filtro sinc-en-tiempo cuya respuesta al impulso es una función sinc y cuya respuesta en frecuencia es rectangular, o a un filtro sinc-en-frecuencia cuya respuesta al impulso es rectangular y cuya respuesta en frecuencia es una función sinc. Llamarlos de acuerdo con el dominio al que el filtro se asemeja a un sinc evita confusiones. Si el dominio no está especificado, a menudo se supone que es sinc-en-tiempo, o con suerte el contexto puede inferir el dominio correcto.

El filtro sincrónico en el tiempo es un filtro ideal que elimina todos los componentes de frecuencia por encima de una frecuencia de corte determinada , sin atenuar las frecuencias más bajas, y tiene una respuesta de fase lineal . Por lo tanto, se lo puede considerar un filtro de pared de ladrillos o un filtro rectangular.

Su respuesta al impulso es una función sinc en el dominio del tiempo :

$${\displaystyle {\frac {\sin(\pi t)}{\pi t}}}$$

mientras que su respuesta de frecuencia es una función rectangular :

${\displaystyle H(f)=\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B}}\right)={\begin{cases}0,&{\text{si }}|f|>B,\\{\frac {1}{2}},&{\text{si }}|f|=B,\\1,&{\text{si }}|f|<B,\end{cases}}}$

donde (que representa su ancho de banda ) es una frecuencia de corte arbitraria.${\estilo de visualización B}$

Su respuesta al impulso viene dada por la transformada de Fourier inversa de su respuesta de frecuencia:

${\displaystyle {\begin{aligned}h(t)={\mathcal {F}}^{-1}\{H(f)\}&=\int _{-B}^{B}\exp(2\pi ift)\,df\\&=2B\operatorname {sinc} (2Bt)\end{aligned}}}$

donde sinc es la función sinc normalizada .

Un filtro electrónico idealizado con transmisión completa en la banda de paso, atenuación completa en la banda de rechazo y transiciones abruptas se conoce coloquialmente como un "filtro de pared de ladrillos" (en referencia a la forma de la función de transferencia ). El filtro sinc-in-time es un filtro de paso bajo de pared de ladrillos , a partir del cual se construyen fácilmente filtros de paso de banda y filtros de paso alto de pared de ladrillos .

El filtro de paso bajo con corte de pared de ladrillo en la frecuencia B _L tiene una respuesta de impulso y una función de transferencia dadas por:

${\displaystyle h_{LPF}(t)=2B_{L}\nombre del operador {sinc} \left(2B_{L}t\right)}$

${\displaystyle H_{LPF}(f)=\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{L}}}\right).}$

El filtro de paso de banda con borde de banda inferior B _L y borde de banda superior B _H es simplemente la diferencia de dos de estos filtros sincrónicos en el tiempo (ya que los filtros son de fase cero, sus respuestas de magnitud se restan directamente): ^[1]

${\displaystyle h_{BPF}(t)=2B_{H}\nombreoperador {sinc} \left(2B_{H}t\right)-2B_{L}\nombreoperador {sinc} \left(2B_{L}t\right)}$

${\displaystyle H_{BPF}(f)=\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{H}}}\right)-\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{L}}}\right).}$

El filtro de paso alto con borde de banda inferior B _H es simplemente un filtro transparente menos un filtro sinc-in-time, lo que deja en claro que la función delta de Dirac es el límite de un filtro sinc-in-time estrecho en el tiempo:

${\displaystyle h_{HPF}(t)=\delta (t)-2B_{H}\operatorname {sinc} \left(2B_{H}t\right)}$

${\displaystyle H_{HPF}(f)=1-\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{H}}}\right).}$

Como el filtro sinc-in-time tiene una respuesta de impulso infinita tanto en direcciones de tiempo positivas como negativas, no es causal y tiene un retardo infinito (es decir, su soporte compacto en el dominio de la frecuencia obliga a que su respuesta temporal no tenga soporte compacto, lo que significa que es eterna) y un orden infinito (es decir, la respuesta no se puede expresar como una ecuación diferencial lineal con una suma finita). Sin embargo, se utiliza en demostraciones o pruebas conceptuales, como el teorema de muestreo y la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon .

Los filtros sinc-in-time deben aproximarse para aplicaciones del mundo real (no abstractas), generalmente mediante la creación de ventanas y el truncamiento de un núcleo de filtro sinc-in-time ideal , pero al hacerlo se reducen sus propiedades ideales. Esto se aplica a otros filtros de pared de ladrillos creados con filtros sinc-in-time.

El filtro sinc no es estable en cuanto a entrada acotada-salida acotada (BIBO) . Es decir, una entrada acotada puede producir una salida ilimitada, porque la integral del valor absoluto de la función sinc es infinita. Una entrada acotada que produce una salida ilimitada es sgn(sinc( t )). Otra es sin(2 π Bt ) u ( t ), una onda sinusoidal que comienza en el tiempo 0, en la frecuencia de corte.

La implementación más simple de un filtro sinc-in-frequency utiliza una respuesta al impulso boxcar para producir un promedio móvil simple (específicamente si se divide por el número de muestras), también conocido como filtro de acumulación y volcado (específicamente si simplemente se suma sin una división). Se puede modelar como un filtro FIR con todos los coeficientes iguales. A veces se lo utiliza en cascada para producir promedios móviles de orden superior (consulte Respuesta al impulso finito § Ejemplo de promedio móvil y filtro peine integrador en cascada ).${\estilo de visualización N}$

Este filtro se puede utilizar para un muestreo descendente (también conocido como diezmado) rápido y sencillo, pero rudimentario, por un factor de La simplicidad del filtro (acumular muestras de datos, generar el resultado del acumulador, poner a cero el acumulador y repetir) se ve frustrada por sus mediocres capacidades de paso bajo. Su atenuación más pobre en la banda de rechazo es de -13,3 dB ^[2] y la mayoría de los componentes de alta frecuencia solo están ligeramente más atenuados que eso. Un filtro de -muestra muestrea a voluntad alias todos los componentes de señal no completamente atenuados que se encuentran por encima de la banda base que van desde CC a${\estilo de visualización N.}$${\estilo de visualización N}$${\estilo de visualización N}$$estilo de visualización f_{S}}$${\textstyle {\frac {f_{S}}{2N}}}$${\textstyle {\frac {f_{S}}{2N}}.}$

Un filtro de promedio grupal que procesa muestras tiene ceros de transmisión espaciados uniformemente por , con el cero más bajo en y el cero más alto en (la frecuencia de Nyquist ). Por encima de la frecuencia de Nyquist, la respuesta de frecuencia se refleja y luego se repite periódicamente por encima de para siempre.${\estilo de visualización N}$${\displaystyle {\frac {N}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {f_{S}}{N}},}$${\displaystyle {\frac {f_{S}}{N}}}$${\displaystyle {\tfrac {f_{S}}{2}}}$$estilo de visualización f_{S}}$

La magnitud de la respuesta de frecuencia (representada en estos gráficos) es útil cuando se desea saber cuánto se atenúan las frecuencias. Aunque la función sinc oscila realmente entre valores negativos y positivos, los valores negativos de la respuesta de frecuencia simplemente corresponden a un cambio de fase de 180 grados .

Se puede utilizar un filtro sinc inverso para la ecualización en el dominio digital (por ejemplo, un filtro FIR ) o en el dominio analógico (por ejemplo, un filtro opamp ) para contrarrestar la atenuación no deseada en la banda de frecuencia de interés y proporcionar una respuesta de frecuencia plana. ^[3]

Consulte la función de ventana § Ventana rectangular para la aplicación del núcleo sinc como la función de ventana más simple.

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