Estrella Mittag-Leffler

En el análisis complejo , una rama de las matemáticas , la estrella de Mittag-Leffler de una función analítica compleja es un conjunto en el plano complejo que se obtiene al intentar extender esa función a lo largo de rayos que emanan de un punto dado. Este concepto recibe su nombre de Gösta Mittag-Leffler .

Formalmente, la estrella de Mittag-Leffler de una función analítica compleja ƒ definida en un disco abierto U en el plano complejo centrado en un punto a es el conjunto de todos los puntos z en el plano complejo tales que ƒ puede continuarse analíticamente a lo largo del segmento de línea que une a y z (ver continuación analítica a lo largo de una curva ).

De la definición se desprende que la estrella Mittag-Leffler es un conjunto estelar-convexo abierto (con respecto al punto  a ) y que contiene el disco  U . Además, ƒ admite una continuación analítica univaluada de la estrella Mittag-Leffler.

• La estrella Mittag-Leffler de la función exponencial compleja definida en un entorno de a  = 0 es todo el plano complejo.
• La estrella de Mittag-Leffler del logaritmo complejo definido en las proximidades del punto  a  = 1 es todo el plano complejo sin el origen y el eje real negativo. En general, dado el logaritmo complejo definido en las proximidades de un punto a  ≠ 0 en el plano complejo, esta función se puede extender hasta el infinito en cualquier rayo que comience en a , excepto en el rayo que va desde a al origen, no se puede extender el logaritmo complejo más allá del origen a lo largo de ese rayo.
• Cualquier conjunto estrella-convexo abierto es la estrella Mittag-Leffler de alguna función analítica compleja, ya que cualquier conjunto abierto en el plano complejo es un dominio de holomorfía .

Cualquier función analítica compleja ƒ definida alrededor de un punto a en el plano complejo puede desarrollarse en una serie de polinomios que es convergente en toda la estrella de Mittag-Leffler de ƒ en  a . Cada polinomio de esta serie es una combinación lineal de los primeros términos de la expansión de la serie de Taylor de ƒ alrededor  de a .

Una expansión en serie de ƒ de este tipo , llamada expansión de Mittag-Leffler , es convergente en un conjunto más grande que la expansión en serie de Taylor de ƒ en   a . De hecho, el conjunto abierto más grande en el que la última serie es convergente es un disco centrado en a y contenido dentro de la estrella de Mittag-Leffler de ƒ en  a

• Shenitzer, Abe; Stillwell, John, eds. (2002). Evoluciones matemáticas . Washington, DC: Asociación Matemática de Estados Unidos. p. 32. ISBN. 0-88385-536-4.
• Korevaar, Jacob (2004). La teoría de Tauber: un siglo de desarrollos. Berlín; Nueva York: Springer. ISBN 3-540-21058-X.

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• ED Solomentsev (2001) [1994], "Estrella de un elemento funcional", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press